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6. 在用平方差公式计算$(x+y+a-b)·(x-y+a+b)$时，第一步正确的是（
A.$(x+b)^2-(y-a)^2$
B.$(x-y)^2-(a-b)^2$
C.$(x+a)^2-(y-b)^2$
D.$(x-b)^2-(y+a)^2$
C
）.A.$(x+b)^2-(y-a)^2$
B.$(x-y)^2-(a-b)^2$
C.$(x+a)^2-(y-b)^2$
D.$(x-b)^2-(y+a)^2$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先回忆平方差公式的结构特征：$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，即两个相乘的因式中，存在一组完全相同的项和一组互为相反数的项。因此我们需要先从原式的两个因式中找出相同项和相反项，把相同项看作整体$m$，相反项整理后看作整体$n$，即可转化为平方差公式的标准形式，得到第一步的计算结果。
【解析】
平方差公式为：$\boldsymbol{(m+n)(m-n)=m^2-n^2}$，其中$m$是两个因式的相同项，$n$是两个因式的相反项。
观察原式的两个因式：
第一个因式：$x+y+a-b$，第二个因式：$x-y+a+b$
1. 找相同项：两个因式中都有$+x$、$+a$，将它们组合为整体$m=x+a$；
2. 找相反项：第一个因式剩余$+y$、$-b$，可整理为$+(y-b)$；第二个因式剩余$-y$、$+b$，可整理为$-(y-b)$，即相反项整体为$n=y-b$；
3. 代入平方差公式，原式变形为$[(x+a)+(y-b)]·[(x+a)-(y-b)]$，第一步计算结果为$(x+a)^2-(y-b)^2$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，代数式分组
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，解题核心是准确区分两个因式中的相同项和相反项，将多项式合理分组为平方差的标准形式，是乘法公式章节的基础典型题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平方差公式的结构特征：$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，即两个相乘的因式中，存在一组完全相同的项和一组互为相反数的项。因此我们需要先从原式的两个因式中找出相同项和相反项，把相同项看作整体$m$，相反项整理后看作整体$n$，即可转化为平方差公式的标准形式，得到第一步的计算结果。
【解析】
平方差公式为：$\boldsymbol{(m+n)(m-n)=m^2-n^2}$，其中$m$是两个因式的相同项，$n$是两个因式的相反项。
观察原式的两个因式：
第一个因式：$x+y+a-b$，第二个因式：$x-y+a+b$
1. 找相同项：两个因式中都有$+x$、$+a$，将它们组合为整体$m=x+a$；
2. 找相反项：第一个因式剩余$+y$、$-b$，可整理为$+(y-b)$；第二个因式剩余$-y$、$+b$，可整理为$-(y-b)$，即相反项整体为$n=y-b$；
3. 代入平方差公式，原式变形为$[(x+a)+(y-b)]·[(x+a)-(y-b)]$，第一步计算结果为$(x+a)^2-(y-b)^2$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，代数式分组
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，解题核心是准确区分两个因式中的相同项和相反项，将多项式合理分组为平方差的标准形式，是乘法公式章节的基础典型题。
【难度系数】
0.7
7. 根据添括号法则，在括号内填入适当的项.
(1) $a+b-c=a+(\quad)$；
(2) $a-b+c=a-(\quad)$；
(3) $1-2x^2-2y=1-(\quad)$；
(4) $ax-bx-2ay+2by=(ax-bx)-2(\quad)$.
(1) $a+b-c=a+(\quad)$；
(2) $a-b+c=a-(\quad)$；
(3) $1-2x^2-2y=1-(\quad)$；
(4) $ax-bx-2ay+2by=(ax-bx)-2(\quad)$.
答案
(1) $b-c$ (2) $b-c$ (3) $2x^2+2y$ (4) $ay-by$
解析
【分析】
解题的核心是熟练运用添括号法则：添括号时，若括号前是正号，括到括号内的各项符号都不变；若括号前是负号，括到括号内的各项符号都要改变。
(1) 括号前为正号，直接将剩余的$b$、$-c$两项放入括号即可；
(2) 括号前为负号，需要将剩余的$-b$、$+c$两项变号后放入括号；
(3) 括号前为负号，需要将剩余的$-2x^2$、$-2y$两项变号后放入括号；
(4) 先对后两项提取公因式$-2$，即可得到括号内的项，注意各项符号变化。
【解析】
根据添括号法则逐个求解：
(1) 括号前是“$+$”，括号内各项符号不变，故$a+b-c=a+(b-c)$；
(2) 括号前是“$-$”，括号内各项符号改变，$-b$变$b$，$+c$变$-c$，故$a-b+c=a-(b-c)$；
(3) 括号前是“$-$”，括号内各项符号改变，$-2x^2$变$2x^2$，$-2y$变$+2y$，故$1-2x^2-2y=1-(2x^2+2y)$；
(4) 对后两项变形：$-2ay+2by=-2(ay-by)$，故$ax-bx-2ay+2by=(ax-bx)-2(ay-by)$。
【答案】
(1) $b-c$ (2) $b-c$ (3) $2x^2+2y$ (4) $ay-by$
【知识点】
添括号法则；整式变形；提公因式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查添括号的符号变化规则，是后续学习因式分解、乘法公式简便运算的重要基础，解题时需格外注意括号前为负号时的符号变号问题，避免出错。
【难度系数】
0.85
解题的核心是熟练运用添括号法则：添括号时，若括号前是正号，括到括号内的各项符号都不变；若括号前是负号，括到括号内的各项符号都要改变。
(1) 括号前为正号，直接将剩余的$b$、$-c$两项放入括号即可；
(2) 括号前为负号，需要将剩余的$-b$、$+c$两项变号后放入括号；
(3) 括号前为负号，需要将剩余的$-2x^2$、$-2y$两项变号后放入括号；
(4) 先对后两项提取公因式$-2$，即可得到括号内的项，注意各项符号变化。
【解析】
根据添括号法则逐个求解：
(1) 括号前是“$+$”，括号内各项符号不变，故$a+b-c=a+(b-c)$；
(2) 括号前是“$-$”，括号内各项符号改变，$-b$变$b$，$+c$变$-c$，故$a-b+c=a-(b-c)$；
(3) 括号前是“$-$”，括号内各项符号改变，$-2x^2$变$2x^2$，$-2y$变$+2y$，故$1-2x^2-2y=1-(2x^2+2y)$；
(4) 对后两项变形：$-2ay+2by=-2(ay-by)$，故$ax-bx-2ay+2by=(ax-bx)-2(ay-by)$。
【答案】
(1) $b-c$ (2) $b-c$ (3) $2x^2+2y$ (4) $ay-by$
【知识点】
添括号法则；整式变形；提公因式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查添括号的符号变化规则，是后续学习因式分解、乘法公式简便运算的重要基础，解题时需格外注意括号前为负号时的符号变号问题，避免出错。
【难度系数】
0.85
8. 已知$a - 2b = 1$，则$3 - a + 2b$的值为
2
答案
8. 2
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构关系，发现所求代数式中的“-a+2b”可以变形为“-(a-2b)”，正好和已知条件中的“a-2b”对应，因此不需要分别求解a、b的值，直接采用整体代入的方法就能快速算出结果。
【解析】
首先利用添括号法则对所求代数式进行变形：
$3 - a + 2b = 3 - (a - 2b)$
已知$a - 2b = 1$，将其整体代入上式计算：
原式$= 3 - 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
代数式求值、整体代入法
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是发现已知式子和所求式子之间的关联，通过合理变形后用整体代入法计算，比单独求解未知数的值更简便，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.9
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构关系，发现所求代数式中的“-a+2b”可以变形为“-(a-2b)”，正好和已知条件中的“a-2b”对应，因此不需要分别求解a、b的值，直接采用整体代入的方法就能快速算出结果。
【解析】
首先利用添括号法则对所求代数式进行变形：
$3 - a + 2b = 3 - (a - 2b)$
已知$a - 2b = 1$，将其整体代入上式计算：
原式$= 3 - 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
代数式求值、整体代入法
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是发现已知式子和所求式子之间的关联，通过合理变形后用整体代入法计算，比单独求解未知数的值更简便，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.9
9.若$a+b+1=-3$，则$(a+b-1)·(1-a-b)$的值为
-25
答案
9. -25
解析
【分析】
观察已知条件和待求代数式，发现两者都含有$a+b$的共同结构，因此可以把$a+b$看作一个整体。首先通过已知等式求出$a+b$的值，再将待求代数式变形为含有$a+b$整体的形式，最后代入数值计算即可，无需单独求出$a$、$b$的具体值，可简化计算过程。
【解析】
解：由$a+b+1=-3$，移项计算得：
$a+b=-3-1=-4$
利用添括号法则对待求式变形：
$(a+b-1)·(1-a-b)=(a+b-1)·[1-(a+b)]$
将$a+b=-4$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=(-4-1)×[1-(-4)]\\&=(-5)×(1+4)\\&=-5×5\\&=-25\end{aligned}$
【答案】
-25
【知识点】
1.整体代入法 2.添括号法则 3.代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，核心考查整体代换思想的应用，能规避求解单个未知量的繁琐运算，熟练掌握整体代换技巧可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
观察已知条件和待求代数式，发现两者都含有$a+b$的共同结构，因此可以把$a+b$看作一个整体。首先通过已知等式求出$a+b$的值，再将待求代数式变形为含有$a+b$整体的形式，最后代入数值计算即可，无需单独求出$a$、$b$的具体值，可简化计算过程。
【解析】
解：由$a+b+1=-3$，移项计算得：
$a+b=-3-1=-4$
利用添括号法则对待求式变形：
$(a+b-1)·(1-a-b)=(a+b-1)·[1-(a+b)]$
将$a+b=-4$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=(-4-1)×[1-(-4)]\\&=(-5)×(1+4)\\&=-5×5\\&=-25\end{aligned}$
【答案】
-25
【知识点】
1.整体代入法 2.添括号法则 3.代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，核心考查整体代换思想的应用，能规避求解单个未知量的繁琐运算，熟练掌握整体代换技巧可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
10. 利用乘法公式计算：$(a+b-c)^2$。
答案
原式$=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$
解析
【分析】
我们已学习两数和/差的完全平方公式，本题是三项代数和的平方，可通过整体思想转化为熟悉的公式求解：先将$(a+b)$看作一个整体，把原式变形为两数差的平方形式$[(a+b)-c]^2$，先套用两数差的完全平方公式展开，再对$(a+b)^2$套用两数和的完全平方公式展开，最后去括号合并同类项即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
解：将$a+b$看作一个整体，对原式变形得：
$\begin{aligned}(a+b-c)^2&=[(a+b)-c]^2\\&=(a+b)^2 - 2·(a+b)· c + c^2 \quad \mathrm{（套用两数差的完全平方公式）}\\&=a^2 + 2ab + b^2 - 2ac - 2bc + c^2 \quad \mathrm{（展开$(a+b)^2$并去括号）}\\&=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc\end{aligned}$
【答案】
$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$
【知识点】
完全平方公式；整体思想；整式化简
【点评】
本题考查乘法公式的灵活运用，核心是通过合理分组将陌生的三项式平方转化为已学的两数完全平方公式结构，计算时需注意去括号的符号规则，避免出现符号错误或漏乘项的问题。
【难度系数】
0.8
我们已学习两数和/差的完全平方公式，本题是三项代数和的平方，可通过整体思想转化为熟悉的公式求解：先将$(a+b)$看作一个整体，把原式变形为两数差的平方形式$[(a+b)-c]^2$，先套用两数差的完全平方公式展开，再对$(a+b)^2$套用两数和的完全平方公式展开，最后去括号合并同类项即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
解：将$a+b$看作一个整体，对原式变形得：
$\begin{aligned}(a+b-c)^2&=[(a+b)-c]^2\\&=(a+b)^2 - 2·(a+b)· c + c^2 \quad \mathrm{（套用两数差的完全平方公式）}\\&=a^2 + 2ab + b^2 - 2ac - 2bc + c^2 \quad \mathrm{（展开$(a+b)^2$并去括号）}\\&=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc\end{aligned}$
【答案】
$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$
【知识点】
完全平方公式；整体思想；整式化简
【点评】
本题考查乘法公式的灵活运用，核心是通过合理分组将陌生的三项式平方转化为已学的两数完全平方公式结构，计算时需注意去括号的符号规则，避免出现符号错误或漏乘项的问题。
【难度系数】
0.8
11. (1) 将式子 $3x + (2x - x) = 3x + 2x - x$，$3x - (2x - x) = 3x - 2x + x$ 分别反过来，你得到两个怎样的等式？
(2)【探究】比较你得到的等式，你能总结出添括号的法则吗？
(3)【应用】根据前面你总结出的添括号法则，不改变多项式 $x^3 + 3x^2 + 3x - 1$ 的值，把它的后两项放在：①前面带有“+”的括号里；②前面带有“-”的括号里。
(4)【拓展】若 $2m + n = 4$，则 $6 - 2m - n$ 的值为
(2)【探究】比较你得到的等式，你能总结出添括号的法则吗？
(3)【应用】根据前面你总结出的添括号法则，不改变多项式 $x^3 + 3x^2 + 3x - 1$ 的值，把它的后两项放在：①前面带有“+”的括号里；②前面带有“-”的括号里。
(4)【拓展】若 $2m + n = 4$，则 $6 - 2m - n$ 的值为
2
。答案
11. (1) $3x+2x-x=3x+(2x-x)$，$3x-2x+x=3x-(2x-x)$ (2)所添括号前是“+”，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前是“−”，括到括号里的各项都要改变符号 (3)①$x^3+3x^2+3x-1=x^3+3x^2+(3x-1)$ ②$x^3+3x^2+3x-1=x^3+3x^2-(-3x+1)$ (4) 2
解析
【分析】
(1) 只需将已知两个等式的等号左右两边互换位置，即可得到反过来的等式；
(2) 对比两个新得到的等式，观察添括号前后，括号内各项的符号随括号前符号的变化规律，即可总结出添括号法则；
(3) 应用法则变形时：①后两项放在带“+”的括号里，括号内各项符号保持不变；②后两项放在带“-”的括号里，括号内每一项的符号都要改变，保证多项式的值不变；
(4) 先利用添括号法则把$6-2m-n$变形为$6-(2m+n)$，再将已知条件$2m+n=4$整体代入计算即可求出结果。
【解析】
(1) 将两个已知等式左右互换，可得：
$3x+2x-x=3x+(2x-x)$，$3x-2x+x=3x-(2x-x)$
(2) 观察上述两个等式：
添括号前为“+”时，括进括号的各项符号均不改变；添括号前为“-”时，括进括号的各项符号均发生改变，由此可得添括号法则：所添括号前是“+”，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前是“−”，括到括号里的各项都要改变符号。
(3) 对多项式$x^3 + 3x^2 + 3x - 1$按要求变形：
① 后两项放入带“+”的括号：$x^3+3x^2+3x-1=x^3+3x^2+(3x-1)$
② 后两项放入带“-”的括号：$x^3+3x^2+3x-1=x^3+3x^2-(-3x+1)$
(4) 对$6-2m-n$添括号变形得：$6-2m-n=6-(2m+n)$，将$2m+n=4$代入得：原式$=6-4=2$。
【答案】
(1) $3x+2x-x=3x+(2x-x)$，$3x-2x+x=3x-(2x-x)$
(2) 所添括号前是“+”，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前是“−”，括到括号里的各项都要改变符号
(3) ①$x^3+3x^2+(3x-1)$；②$x^3+3x^2-(-3x+1)$
(4) $2$
【知识点】
添括号法则，整体代入求值，整式恒等变形
【点评】
本题从逆向观察去括号等式切入，引导学生自主推导添括号法则，再通过法则应用、拓展求值逐层考察，既重视基础法则的理解记忆，也渗透了整体代入的数学思想，是整式变形模块的典型基础题。
【难度系数】
0.75
(1) 只需将已知两个等式的等号左右两边互换位置，即可得到反过来的等式；
(2) 对比两个新得到的等式，观察添括号前后，括号内各项的符号随括号前符号的变化规律，即可总结出添括号法则；
(3) 应用法则变形时：①后两项放在带“+”的括号里，括号内各项符号保持不变；②后两项放在带“-”的括号里，括号内每一项的符号都要改变，保证多项式的值不变；
(4) 先利用添括号法则把$6-2m-n$变形为$6-(2m+n)$，再将已知条件$2m+n=4$整体代入计算即可求出结果。
【解析】
(1) 将两个已知等式左右互换，可得：
$3x+2x-x=3x+(2x-x)$，$3x-2x+x=3x-(2x-x)$
(2) 观察上述两个等式：
添括号前为“+”时，括进括号的各项符号均不改变；添括号前为“-”时，括进括号的各项符号均发生改变，由此可得添括号法则：所添括号前是“+”，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前是“−”，括到括号里的各项都要改变符号。
(3) 对多项式$x^3 + 3x^2 + 3x - 1$按要求变形：
① 后两项放入带“+”的括号：$x^3+3x^2+3x-1=x^3+3x^2+(3x-1)$
② 后两项放入带“-”的括号：$x^3+3x^2+3x-1=x^3+3x^2-(-3x+1)$
(4) 对$6-2m-n$添括号变形得：$6-2m-n=6-(2m+n)$，将$2m+n=4$代入得：原式$=6-4=2$。
【答案】
(1) $3x+2x-x=3x+(2x-x)$，$3x-2x+x=3x-(2x-x)$
(2) 所添括号前是“+”，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前是“−”，括到括号里的各项都要改变符号
(3) ①$x^3+3x^2+(3x-1)$；②$x^3+3x^2-(-3x+1)$
(4) $2$
【知识点】
添括号法则，整体代入求值，整式恒等变形
【点评】
本题从逆向观察去括号等式切入，引导学生自主推导添括号法则，再通过法则应用、拓展求值逐层考察，既重视基础法则的理解记忆，也渗透了整体代入的数学思想，是整式变形模块的典型基础题。
【难度系数】
0.75
12. 若$x+y=3$，$(x+3)(y+3)=20$。
求：(1)$xy$的值。
(2)$(x-1)(y-1)$的值。
求：(1)$xy$的值。
(2)$(x-1)(y-1)$的值。
答案
(1) $\because x+y=3$，$(x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9=20$，$\therefore xy+3×3+9=20$，$\therefore xy=2$ (2) $\because x+y=3$，$xy=2$，$\therefore (x-1)(y-1)=xy -x -y +1=xy-(x+y)+1=2-3+1=0$
解析
【分析】
解题时无需单独求出x、y的具体值，可借助多项式乘多项式法则展开式子，结合已知条件用整体代入思想求解：
(1) 先将已知的$(x+3)(y+3)$展开，整理为含$xy$和$x+y$的形式，再将$x+y=3$代入，即可直接求出$xy$的值；
(2) 先将待求的$(x-1)(y-1)$展开，整理为含$xy$和$x+y$的形式，再将已知的$x+y$和已求出的$xy$的值整体代入计算即可。
【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则展开$(x+3)(y+3)$：
$\begin{aligned}(x+3)(y+3)&=xy+3x+3y+9\\&=xy+3(x+y)+9\end{aligned}$
将$x+y=3$，$(x+3)(y+3)=20$代入上式：
$xy+3×3+9=20$
计算得：$xy+18=20$，解得$xy=2$。
(2) 根据多项式乘多项式法则展开$(x-1)(y-1)$：
$\begin{aligned}(x-1)(y-1)&=xy-x-y+1\\&=xy-(x+y)+1\end{aligned}$
将$x+y=3$，$xy=2$代入上式：
原式$=2-3+1=0$。
【答案】
(1) $xy=2$；(2) $0$
【知识点】
多项式乘多项式、整体代入求值、整式化简求值
【点评】
本题考查整式运算的应用，解题关键是正确展开多项式，灵活运用整体代入思想简化计算，无需单独求解未知数，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.85
解题时无需单独求出x、y的具体值，可借助多项式乘多项式法则展开式子，结合已知条件用整体代入思想求解：
(1) 先将已知的$(x+3)(y+3)$展开，整理为含$xy$和$x+y$的形式，再将$x+y=3$代入，即可直接求出$xy$的值；
(2) 先将待求的$(x-1)(y-1)$展开，整理为含$xy$和$x+y$的形式，再将已知的$x+y$和已求出的$xy$的值整体代入计算即可。
【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则展开$(x+3)(y+3)$：
$\begin{aligned}(x+3)(y+3)&=xy+3x+3y+9\\&=xy+3(x+y)+9\end{aligned}$
将$x+y=3$，$(x+3)(y+3)=20$代入上式：
$xy+3×3+9=20$
计算得：$xy+18=20$，解得$xy=2$。
(2) 根据多项式乘多项式法则展开$(x-1)(y-1)$：
$\begin{aligned}(x-1)(y-1)&=xy-x-y+1\\&=xy-(x+y)+1\end{aligned}$
将$x+y=3$，$xy=2$代入上式：
原式$=2-3+1=0$。
【答案】
(1) $xy=2$；(2) $0$
【知识点】
多项式乘多项式、整体代入求值、整式化简求值
【点评】
本题考查整式运算的应用，解题关键是正确展开多项式，灵活运用整体代入思想简化计算，无需单独求解未知数，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.85
13. 若$2x - 3y = 2$，则$6y - 4x + 1 =$
-3
。答案
13. -3
解析
【分析】
解题时先观察已知等式和所求代数式的结构关系，发现所求代数式中含未知数的项$6y-4x$与已知的$2x-3y$存在倍数关系，因此不需要分别求解$x$、$y$的值，只需将所求代数式提取公因式变形为含有$(2x-3y)$的形式，再将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$2x - 3y = 2$，
对所求代数式变形可得：
$6y - 4x + 1 = -2(2x - 3y) + 1$
将$2x - 3y = 2$代入上式得：
原式$= -2×2 + 1 = -4 + 1 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
整体代入法；代数式求值；提公因式变形
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是找到所求代数式与已知条件的内在联系，通过简单变形即可快速求解，避免了单独求解未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.85
解题时先观察已知等式和所求代数式的结构关系，发现所求代数式中含未知数的项$6y-4x$与已知的$2x-3y$存在倍数关系，因此不需要分别求解$x$、$y$的值，只需将所求代数式提取公因式变形为含有$(2x-3y)$的形式，再将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$2x - 3y = 2$，
对所求代数式变形可得：
$6y - 4x + 1 = -2(2x - 3y) + 1$
将$2x - 3y = 2$代入上式得：
原式$= -2×2 + 1 = -4 + 1 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
整体代入法；代数式求值；提公因式变形
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是找到所求代数式与已知条件的内在联系，通过简单变形即可快速求解，避免了单独求解未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.85
14. 已知实数$m$满足$m^2 - m - 1 = 0$，则$2m^3 - 3m^2 - m + 9 =$
8
.答案
14. 8
解析
【分析】
本题是已知二次方程求三次代数式的值的问题，若直接求解m的值再代入计算会非常繁琐，因此采用降次法解题：首先从已知等式中得到$m^2$的表达式，再将三次项$m^3$转化为$m· m^2$，用m的一次式替换所有高次项，最后合并同类项即可消去未知数m，求出常数结果。
【解析】
解：已知$m^2 - m - 1 = 0$，移项可得$m^2 = m + 1$。
先对三次项降次：
$2m^3 = 2m · m^2$，将$m^2 = m + 1$代入得：
$2m^3 = 2m(m + 1) = 2m^2 + 2m$
将其代入原式$2m^3 - 3m^2 - m + 9$：
$\begin{aligned}原式&= (2m^2 + 2m) - 3m^2 - m + 9 \\&= -m^2 + m + 9\end{aligned}$
再将$m^2 = m + 1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&= -(m + 1) + m + 9 \\&= -m - 1 + m + 9 \\&= 8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
代数式求值、整体代入法、整式化简
【点评】
本题是整式运算中常见的求值类题型，核心技巧是利用已知等式对高次项降次，避免直接求解未知数，简化计算过程，考察对整体代入思想的运用，熟练掌握降次技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题是已知二次方程求三次代数式的值的问题，若直接求解m的值再代入计算会非常繁琐，因此采用降次法解题：首先从已知等式中得到$m^2$的表达式，再将三次项$m^3$转化为$m· m^2$，用m的一次式替换所有高次项，最后合并同类项即可消去未知数m，求出常数结果。
【解析】
解：已知$m^2 - m - 1 = 0$，移项可得$m^2 = m + 1$。
先对三次项降次：
$2m^3 = 2m · m^2$，将$m^2 = m + 1$代入得：
$2m^3 = 2m(m + 1) = 2m^2 + 2m$
将其代入原式$2m^3 - 3m^2 - m + 9$：
$\begin{aligned}原式&= (2m^2 + 2m) - 3m^2 - m + 9 \\&= -m^2 + m + 9\end{aligned}$
再将$m^2 = m + 1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&= -(m + 1) + m + 9 \\&= -m - 1 + m + 9 \\&= 8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
代数式求值、整体代入法、整式化简
【点评】
本题是整式运算中常见的求值类题型，核心技巧是利用已知等式对高次项降次，避免直接求解未知数，简化计算过程，考察对整体代入思想的运用，熟练掌握降次技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.7
