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知识梳理4
幂的运算
同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = \_\_\_\_\_\_$（$m$，$n$都是正整数）.即同底数幂相乘，底数________，指数________.
（2）注意：底数可以是单项式或________.如：$(a+b)^2 · (a+b)^3 = \_\_\_\_\_\_$.
幂的乘方
（3）幂的乘方法则：$(a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$（$m$，$n$都是正整数）.即幂的乘方，底数________，指数________.如：$(-3^5)^2 = 3^{10}$.
（4）幂的乘方法则可以逆用，即$a^{mn}=(a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$.如：$4^6=(4^2)^3 = \_\_\_\_\_\_$.
积的乘方
（5）积的乘方法则：$(ab)^n = \_\_\_\_\_\_$（$n$是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.如：$(-2x^3y^2z)^5 = (-2)^5 · (x^3)^5 · (y^2)^5 · z^5 = \_\_\_\_\_\_$.
整式的乘法
（6）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂________作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个________.
（7）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的________，再把所得的积________，即$m(a+b+c) = \_\_\_\_\_\_$（$m$，$a$，$b$，$c$都是单项式）.
（8）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的________乘另一个多项式的________，再把所得的积________.
整式的除法
（9）同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = \_\_\_\_\_\_$（$a≠0$，$m$，$n$都是正整数，$m＞n$）.即同底数幂相除，底数________，指数________.
（10）$a^0 = \_\_\_\_\_\_$（$a≠0$），即任何不等于0的数的0次幂都等于________.
（11）单项式的除法法则：单项式相除，把系数与同底数幂________作为商的________，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为________.
（12）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的________除以这个单项式，再把所得的商________.
乘法公式
平方差公式
（13）平方差公式：$(a+b)(a-b) = \_\_\_\_\_\_$.即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：平方差公式展开只有________.
（14）公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项________，另一项互为________.右边是________减去________.$(x+y-z)(x-y+z) = \_\_\_\_\_\_$.
完全平方公式
（15）完全平方公式：$(a±b)^2 = \_\_\_\_\_\_$.即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
（16）公式特征：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个一样.
（17）公式的变形使用：$(a+b)^2 -2ab=(a-b)^2 +2ab=a^2 +b^2$；$(a-b)^2=(a+b)^2 -4ab$；$(-a-b)^2 = [-(a+b) ]^2=(a+b)^2$；$(-a+b)^2 = [-(a-b) ]^2=(a-b)^2$.
幂的运算
同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = \_\_\_\_\_\_$（$m$，$n$都是正整数）.即同底数幂相乘，底数________，指数________.
（2）注意：底数可以是单项式或________.如：$(a+b)^2 · (a+b)^3 = \_\_\_\_\_\_$.
幂的乘方
（3）幂的乘方法则：$(a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$（$m$，$n$都是正整数）.即幂的乘方，底数________，指数________.如：$(-3^5)^2 = 3^{10}$.
（4）幂的乘方法则可以逆用，即$a^{mn}=(a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$.如：$4^6=(4^2)^3 = \_\_\_\_\_\_$.
积的乘方
（5）积的乘方法则：$(ab)^n = \_\_\_\_\_\_$（$n$是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.如：$(-2x^3y^2z)^5 = (-2)^5 · (x^3)^5 · (y^2)^5 · z^5 = \_\_\_\_\_\_$.
整式的乘法
（6）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂________作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个________.
（7）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的________，再把所得的积________，即$m(a+b+c) = \_\_\_\_\_\_$（$m$，$a$，$b$，$c$都是单项式）.
（8）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的________乘另一个多项式的________，再把所得的积________.
整式的除法
（9）同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = \_\_\_\_\_\_$（$a≠0$，$m$，$n$都是正整数，$m＞n$）.即同底数幂相除，底数________，指数________.
（10）$a^0 = \_\_\_\_\_\_$（$a≠0$），即任何不等于0的数的0次幂都等于________.
（11）单项式的除法法则：单项式相除，把系数与同底数幂________作为商的________，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为________.
（12）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的________除以这个单项式，再把所得的商________.
乘法公式
平方差公式
（13）平方差公式：$(a+b)(a-b) = \_\_\_\_\_\_$.即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：平方差公式展开只有________.
（14）公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项________，另一项互为________.右边是________减去________.$(x+y-z)(x-y+z) = \_\_\_\_\_\_$.
完全平方公式
（15）完全平方公式：$(a±b)^2 = \_\_\_\_\_\_$.即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
（16）公式特征：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个一样.
（17）公式的变形使用：$(a+b)^2 -2ab=(a-b)^2 +2ab=a^2 +b^2$；$(a-b)^2=(a+b)^2 -4ab$；$(-a-b)^2 = [-(a+b) ]^2=(a+b)^2$；$(-a+b)^2 = [-(a-b) ]^2=(a-b)^2$.
答案
1. $a^{m+n}$ 不变 相加
2. 多项式 $(a+b)^5$
3. $a^{mn}$ 不变 相乘
4. $(a^n)^m$ $(4^3)^2$
5. $a^n b^n$ $-32x^{15}y^{10}z^5$
6. 分别相乘 因式
7. 每一项 相加 $ma+mb+mc$
8. 每一项 每一项 相加
9. $a^{m-n}$ 不变 相减
10. 1 1
11. 分别相除 因式 商的一个因式
12. 每一项 相加
13. $a^2-b^2$ 两项
14. 完全相同 相反数 相同项的平方 相反项的平方 $[x+(y-z)][x-(y-z)]=x^2-(y-z)^2$
15. $a^2±2ab+b^2$
2. 多项式 $(a+b)^5$
3. $a^{mn}$ 不变 相乘
4. $(a^n)^m$ $(4^3)^2$
5. $a^n b^n$ $-32x^{15}y^{10}z^5$
6. 分别相乘 因式
7. 每一项 相加 $ma+mb+mc$
8. 每一项 每一项 相加
9. $a^{m-n}$ 不变 相减
10. 1 1
11. 分别相除 因式 商的一个因式
12. 每一项 相加
13. $a^2-b^2$ 两项
14. 完全相同 相反数 相同项的平方 相反项的平方 $[x+(y-z)][x-(y-z)]=x^2-(y-z)^2$
15. $a^2±2ab+b^2$
解析
【分析】
本题是整式乘除模块的基础知识点梳理填空题，考查该模块核心的运算法则、公式定义。解题时只需回忆对应知识点的标准表述：①先区分幂的三类运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）的指数变化规律，不要混淆；②再对应整式乘除（单项式、多项式之间的乘除）的运算步骤；最后明确平方差公式、完全平方公式的结构特征，逐一匹配空缺即可。
【解析】
（1）根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^m·a^n=a^{m+n}$，依次填$a^{m+n}$、不变、相加；
（2）同底数幂的底数可以是任意整式，即单项式或多项式；把$(a+b)$看作整体，指数相加得$2+3=5$，因此$(a+b)^2·(a+b)^3=(a+b)^5$，依次填多项式、$(a+b)^5$；
（3）根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^m)^n=a^{mn}$，依次填$a^{mn}$、不变、相乘；
（4）幂的乘方法则逆用时，指数$mn$可以拆为$m×n$也可以拆为$n×m$，因此$a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m$；$4^6$中指数6可以拆为$3×2$，因此$4^6=(4^2)^3=(4^3)^2$，依次填$(a^n)^m$、$(4^3)^2$；
（5）根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式分别乘方再相乘，因此$(ab)^n=a^nb^n$；计算$(-2x^3y^2z)^5$时，$(-2)^5=-32$，$(x^3)^5=x^{15}$，$(y^2)^5=y^{10}$，$z^5$不变，合并得$-32x^{15}y^{10}z^5$，依次填$a^nb^n$、$-32x^{15}y^{10}z^5$；
（6）单项式与单项式相乘的法则：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式含有的字母连同指数作为积的一个因式，依次填分别相乘、因式；
（7）单项式与多项式相乘的法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，因此$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，依次填每一项、相加、$ma+mb+mc$；
（8）多项式与多项式相乘的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，依次填每一项、每一项、相加；
（9）根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^m÷a^n=a^{m-n}（a≠0）$，依次填$a^{m-n}$、不变、相减；
（10）零指数幂的规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即$a^0=1（a≠0）$，依次填1、1；
（11）单项式除法法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，只在被除式里含有的字母连同指数作为商的一个因式，依次填分别相除、因式、商的一个因式；
（12）多项式除以单项式的法则：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，依次填每一项、相加；
（13）平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，展开后只有两项，依次填$a^2-b^2$、两项；
（14）平方差公式的结构特征：左边两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是相同项的平方减去相反项的平方；计算$(x+y-z)(x-y+z)$时，把$(y-z)$看作整体，变形为$[x+(y-z)][x-(y-z)]=x^2-(y-z)^2$，依次填完全相同、相反数、相同项的平方、相反项的平方、$x^2-(y-z)^2$；
（15）完全平方公式为$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，填$a^2±2ab+b^2$。
【答案】
（1）$a^{m+n}$；不变；相加
（2）多项式；$(a+b)^5$
（3）$a^{mn}$；不变；相乘
（4）$(a^n)^m$；$(4^3)^2$
（5）$a^nb^n$；$-32x^{15}y^{10}z^5$
（6）分别相乘；因式
（7）每一项；相加；$ma+mb+mc$
（8）每一项；每一项；相加
（9）$a^{m-n}$；不变；相减
（10）1；1
（11）分别相除；因式；商的一个因式
（12）每一项；相加
（13）$a^2-b^2$；两项
（14）完全相同；相反数；相同项的平方；相反项的平方；$x^2-(y-z)^2$
（15）$a^2±2ab+b^2$
【知识点】
幂的运算法则；整式乘除法则；乘法公式
【点评】
本题是整式运算模块的基础概念梳理题，全面覆盖了幂的运算、整式乘除、乘法公式三类核心基础内容，这些知识点是后续整式化简、因式分解、解方程等运算的核心基础，需要准确辨析不同运算的规则，熟练掌握各公式的结构特征，避免混淆指数变化规律和公式形式。
【难度系数】
0.85
本题是整式乘除模块的基础知识点梳理填空题，考查该模块核心的运算法则、公式定义。解题时只需回忆对应知识点的标准表述：①先区分幂的三类运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）的指数变化规律，不要混淆；②再对应整式乘除（单项式、多项式之间的乘除）的运算步骤；最后明确平方差公式、完全平方公式的结构特征，逐一匹配空缺即可。
【解析】
（1）根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^m·a^n=a^{m+n}$，依次填$a^{m+n}$、不变、相加；
（2）同底数幂的底数可以是任意整式，即单项式或多项式；把$(a+b)$看作整体，指数相加得$2+3=5$，因此$(a+b)^2·(a+b)^3=(a+b)^5$，依次填多项式、$(a+b)^5$；
（3）根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^m)^n=a^{mn}$，依次填$a^{mn}$、不变、相乘；
（4）幂的乘方法则逆用时，指数$mn$可以拆为$m×n$也可以拆为$n×m$，因此$a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m$；$4^6$中指数6可以拆为$3×2$，因此$4^6=(4^2)^3=(4^3)^2$，依次填$(a^n)^m$、$(4^3)^2$；
（5）根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式分别乘方再相乘，因此$(ab)^n=a^nb^n$；计算$(-2x^3y^2z)^5$时，$(-2)^5=-32$，$(x^3)^5=x^{15}$，$(y^2)^5=y^{10}$，$z^5$不变，合并得$-32x^{15}y^{10}z^5$，依次填$a^nb^n$、$-32x^{15}y^{10}z^5$；
（6）单项式与单项式相乘的法则：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式含有的字母连同指数作为积的一个因式，依次填分别相乘、因式；
（7）单项式与多项式相乘的法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，因此$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，依次填每一项、相加、$ma+mb+mc$；
（8）多项式与多项式相乘的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，依次填每一项、每一项、相加；
（9）根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^m÷a^n=a^{m-n}（a≠0）$，依次填$a^{m-n}$、不变、相减；
（10）零指数幂的规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即$a^0=1（a≠0）$，依次填1、1；
（11）单项式除法法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，只在被除式里含有的字母连同指数作为商的一个因式，依次填分别相除、因式、商的一个因式；
（12）多项式除以单项式的法则：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，依次填每一项、相加；
（13）平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，展开后只有两项，依次填$a^2-b^2$、两项；
（14）平方差公式的结构特征：左边两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是相同项的平方减去相反项的平方；计算$(x+y-z)(x-y+z)$时，把$(y-z)$看作整体，变形为$[x+(y-z)][x-(y-z)]=x^2-(y-z)^2$，依次填完全相同、相反数、相同项的平方、相反项的平方、$x^2-(y-z)^2$；
（15）完全平方公式为$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，填$a^2±2ab+b^2$。
【答案】
（1）$a^{m+n}$；不变；相加
（2）多项式；$(a+b)^5$
（3）$a^{mn}$；不变；相乘
（4）$(a^n)^m$；$(4^3)^2$
（5）$a^nb^n$；$-32x^{15}y^{10}z^5$
（6）分别相乘；因式
（7）每一项；相加；$ma+mb+mc$
（8）每一项；每一项；相加
（9）$a^{m-n}$；不变；相减
（10）1；1
（11）分别相除；因式；商的一个因式
（12）每一项；相加
（13）$a^2-b^2$；两项
（14）完全相同；相反数；相同项的平方；相反项的平方；$x^2-(y-z)^2$
（15）$a^2±2ab+b^2$
【知识点】
幂的运算法则；整式乘除法则；乘法公式
【点评】
本题是整式运算模块的基础概念梳理题，全面覆盖了幂的运算、整式乘除、乘法公式三类核心基础内容，这些知识点是后续整式化简、因式分解、解方程等运算的核心基础，需要准确辨析不同运算的规则，熟练掌握各公式的结构特征，避免混淆指数变化规律和公式形式。
【难度系数】
0.85
