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方法点拨 关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题，计算符合算理，过程简洁.这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）.
1. 阅读下列材料，然后解答问题.
学完平方差公式后，小军展示了以下例题.
例：求$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)+1$.
解：原式$=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)+1$
$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)+1$
$=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)+1$
$=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)+1$
$=(2^{16}-1)(2^{16}+1)+1$
$=2^{32}$.
由$2^n$（$n$为正整数）的末尾数的规律，可得$2^{32}$的末尾数字是6.
爱动脑筋的小明，想出了一种新的解法：因为$2^2+1=5$，而$2+1$，$2^4+1$，$2^8+1$，$2^{16}+1$均为奇数，几个奇数与5相乘，末尾数字是5，这样原式的末尾数字是6.
在数学学习中，要像小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题，这样才能学好数学.
请解答下列问题：
（1）$(2+1)(2^2+1)(2^3+1)(2^4+1)(2^5+1)···(2^n+1)+1$（$n$为正整数）的值的末尾数字是
（2）$2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)+1$的值的末尾数字是
（3）计算：$2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)+1$.
完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
1. 阅读下列材料，然后解答问题.
学完平方差公式后，小军展示了以下例题.
例：求$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)+1$.
解：原式$=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)+1$
$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)+1$
$=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)+1$
$=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)+1$
$=(2^{16}-1)(2^{16}+1)+1$
$=2^{32}$.
由$2^n$（$n$为正整数）的末尾数的规律，可得$2^{32}$的末尾数字是6.
爱动脑筋的小明，想出了一种新的解法：因为$2^2+1=5$，而$2+1$，$2^4+1$，$2^8+1$，$2^{16}+1$均为奇数，几个奇数与5相乘，末尾数字是5，这样原式的末尾数字是6.
在数学学习中，要像小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题，这样才能学好数学.
请解答下列问题：
（1）$(2+1)(2^2+1)(2^3+1)(2^4+1)(2^5+1)···(2^n+1)+1$（$n$为正整数）的值的末尾数字是
6
.（2）$2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)+1$的值的末尾数字是
1
.（3）计算：$2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)+1$.
完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
答案
1.（1）6 （2）1 提示：$\because 3^1=3$，$3^2=9$，$3^3=27$，$3^4=81$，$3^5=243$，$3^6=729$，…，$3^n$的个位数字是3，9，7，1四个一循环，$\therefore(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$的个位是0，$\therefore2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)$的个位是0，$\therefore2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)+1$的个位数字是$0+1=1$ （3）$2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)+1=(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)+1=(3^8-1)(3^8+1)+1=3^{16}-1+1=3^{16}$
解析
【分析】
解决这组题的核心思路有两点：一是灵活运用平方差公式，通过凑出与首项相乘符合平方差结构的项（如将2改写为(3-1)，乘(2-1)，均不改变原式大小），连续运用平方差公式快速化简原式；二是求末尾数字时，要么利用特殊因数的尾数特征（如5乘奇数尾数恒为5），要么结合乘方尾数的循环规律求解。具体到各小问：
（1）观察式子可知n≥2时，因式中一定包含$2^2+1=5$，其余的$(2^k+1)$均为奇数，奇数与5相乘尾数为5，加1即可得最终尾数；
（2）先将原式中的2改写为$3-1$，连续运用平方差公式将原式化简为3的乘方形式，再根据3的乘方尾数4次一循环的规律计算尾数；
（3）同样将2改写为$3-1$，连续运用平方差公式逐步化简即可得到结果。
【解析】
（1）当n为正整数且$n≥2$时，原式的因式中包含$2^2+1=5$，其余因式$2+1、2^3+1、2^4+1…2^n+1$的结果都是奇数，几个奇数与5相乘，所得乘积的末尾数字是5，因此原式的末尾数字是$5+1=6$。
（2）先将原式中的2改写为$3-1$，可得：
$\begin{aligned}原式&=(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)+1\\&=(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)+1\\&=(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)+1\\&=(3^8-1)(3^8+1)(3^{16}+1)+1\\&=(3^{16}-1)(3^{16}+1)+1\\&=3^{32}-1+1=3^{32}\end{aligned}$
观察3的乘方尾数规律：$3^1$尾3、$3^2$尾9、$3^3$尾7、$3^4$尾1，每4次为一个循环周期。$32÷4=8$，无余数，说明$3^{32}$的尾数和$3^4$相同，为1，因此原式末尾数字是1。
（3）将原式中的2改写为$3-1$，计算如下：
$\begin{aligned}原式&=(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)+1\\&=(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)+1\\&=(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)+1\\&=(3^8-1)(3^8+1)+1\\&=3^{16}-1+1=3^{16}\end{aligned}$
【答案】
（1）6；（2）1；（3）$3^{16}$
【知识点】
平方差公式，乘方尾数规律，整式化简
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题时需要先观察式子的结构特征，通过恒等变形凑出平方差的结构大幅简化计算，同时求尾数时可以从特殊数字特征、乘方循环规律等多角度思考，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解决这组题的核心思路有两点：一是灵活运用平方差公式，通过凑出与首项相乘符合平方差结构的项（如将2改写为(3-1)，乘(2-1)，均不改变原式大小），连续运用平方差公式快速化简原式；二是求末尾数字时，要么利用特殊因数的尾数特征（如5乘奇数尾数恒为5），要么结合乘方尾数的循环规律求解。具体到各小问：
（1）观察式子可知n≥2时，因式中一定包含$2^2+1=5$，其余的$(2^k+1)$均为奇数，奇数与5相乘尾数为5，加1即可得最终尾数；
（2）先将原式中的2改写为$3-1$，连续运用平方差公式将原式化简为3的乘方形式，再根据3的乘方尾数4次一循环的规律计算尾数；
（3）同样将2改写为$3-1$，连续运用平方差公式逐步化简即可得到结果。
【解析】
（1）当n为正整数且$n≥2$时，原式的因式中包含$2^2+1=5$，其余因式$2+1、2^3+1、2^4+1…2^n+1$的结果都是奇数，几个奇数与5相乘，所得乘积的末尾数字是5，因此原式的末尾数字是$5+1=6$。
（2）先将原式中的2改写为$3-1$，可得：
$\begin{aligned}原式&=(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)+1\\&=(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)+1\\&=(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)+1\\&=(3^8-1)(3^8+1)(3^{16}+1)+1\\&=(3^{16}-1)(3^{16}+1)+1\\&=3^{32}-1+1=3^{32}\end{aligned}$
观察3的乘方尾数规律：$3^1$尾3、$3^2$尾9、$3^3$尾7、$3^4$尾1，每4次为一个循环周期。$32÷4=8$，无余数，说明$3^{32}$的尾数和$3^4$相同，为1，因此原式末尾数字是1。
（3）将原式中的2改写为$3-1$，计算如下：
$\begin{aligned}原式&=(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)+1\\&=(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)+1\\&=(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)+1\\&=(3^8-1)(3^8+1)+1\\&=3^{16}-1+1=3^{16}\end{aligned}$
【答案】
（1）6；（2）1；（3）$3^{16}$
【知识点】
平方差公式，乘方尾数规律，整式化简
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题时需要先观察式子的结构特征，通过恒等变形凑出平方差的结构大幅简化计算，同时求尾数时可以从特殊数字特征、乘方循环规律等多角度思考，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
