1.如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接AD，BE交于点O，AC与BE交于点P.求证：∠AOB＝60°.

1.【证明】因为△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
所以 AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
所以∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD.
在△ACD 和△BCE 中,$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE, \end{cases}$
所以△ACD≌△BCE(SAS)，
所以∠CAD=∠CBE.
因为∠APO=∠BPC，
所以∠AOP=∠BCP=60°,即∠AOB=60°.

【分析】
要证明∠AOB=60°，可按以下思路推导：首先利用等边三角形的性质，得到两组相等的边以及两个60°的内角；随后给两个60°内角同时加上公共角∠ACE，得到相等的夹角，即可通过SAS判定△ACD和△BCE全等；再由全等三角形的性质得到对应角∠CAD=∠CBE；最后结合对顶角∠APO=∠BPC，利用三角形内角和的性质，可推出∠AOB与等边三角形的内角∠ACB相等，即可得到结论。
【解析】
证明：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB + ∠ACE = ∠DCE + ∠ACE，即∠BCE=∠ACD。
在△ACD和△BCE中：
$\begin{cases} AC=BC\\ ∠ACD=∠BCE\\ CD=CE \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE。
∵∠APO=∠BPC（对顶角相等），
在△APO和△BPC中，根据三角形内角和为180°，可得∠AOP=∠BCP=60°，
即∠AOB=60°。
【答案】
∠AOB=60°，得证
【知识点】
1.等边三角形的性质
2.全等三角形的SAS判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型基础题，解题核心是利用等边三角形的边、角性质构造全等三角形，再通过角的等量代换得到所求角度，熟练掌握相关性质和判定定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

【典型例题2】如图,在四边形ABCD中,AB//DC,DB平分∠ADC,∠A=60°,求证:△ABD是等边三角形.

【证明】因为DB平分∠ADC,所以∠ADB=∠CDB.因为AB//DC,所以∠ABD=∠CDB,所以∠ABD=∠ADB,所以AB=AD,即△ABD是等腰三角形.因为∠A=60°,所以△ABD是等边三角形.
规律方法 等边三角形的判定思路

证明：
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB。
∵ AB//DC，
∴ ∠ABD = ∠CDB，
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ AB = AD，即△ABD是等腰三角形。
又∵ ∠A = 60°，
∴ △ABD是等边三角形。

【分析】
要证明△ABD是等边三角形，已知∠A=60°，根据等边三角形的判定规则，只需先证明△ABD是等腰三角形即可。要得到等腰三角形，需证明一组边相等，即AB=AD，对应要证明底角∠ABD=∠ADB。结合已知条件：首先DB平分∠ADC，根据角平分线定义可得∠ADB=∠CDB；再由AB//DC，根据平行线的内错角相等性质可得∠ABD=∠CDB，通过等量代换即可得到∠ABD=∠ADB，进而推出AB=AD，得到等腰三角形，最后结合∠A=60°的条件即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB。
∵ AB//DC，
∴ ∠ABD = ∠CDB，
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ AB = AD，即△ABD是等腰三角形。
又
∵ ∠A = 60°，
∴ △ABD是等边三角形。
【答案】
证明：
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB。
∵ AB//DC，
∴ ∠ABD = ∠CDB，
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ AB = AD，即△ABD是等腰三角形。
又
∵ ∠A = 60°，
∴ △ABD是等边三角形。
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形判定的基础应用题型，综合了角平分线、平行线的基础性质，解题关键是先通过角的等量关系推导得到待证三角形为等腰三角形，再结合60°内角完成等边三角形的判定，能够帮助学生熟练掌握等边三角形的证明思路。
【难度系数】
0.8

2. 如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC的三等分点.分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的$△ DEF$的周长是.

2.6 【解析】因为△ABC 是等边三角形,所以∠B=∠C=60°.因为 AB//DE,AC//DF,所以∠DEF=∠B=60°,∠DFE=∠C=60°,所以∠D=60°,所以∠DEF=∠DFE=∠D,所以△DEF 为等边三角形.因为 E,F 是边 BC 的三等分点,所以 EF=$\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×6=2$,所以△DEF 的周长是 2×3=6.

【分析】
解题时首先从已知条件入手：①等边三角形ABC，可得它的三个内角均为60°，边长BC=6；②DE//AB、DF//AC，可联想到平行线的同位角相等，由此能推导出△DEF的两个内角的度数，进而判断△DEF的形状；③E、F是BC的三等分点，可求出EF的长度。若判断出△DEF为等边三角形，那么它的周长就是边长的3倍，代入EF的长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=6，
∵DE//BA，DF//CA，
∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，
∴在△DEF中，∠D=180°-∠DEF-∠DFE=60°，
∴∠D=∠DEF=∠DFE，即△DEF为等边三角形，
∵E，F是边BC的三等分点，
∴EF=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{3}$×6=2，
∴△DEF的周长为3×2=6。
【答案】
6
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查了平行线的性质和等边三角形的相关知识，解题核心是先判定△DEF为等边三角形，再结合线段的三等分关系求出边长，即可快速计算周长，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

1.(2024·山东泰安中考)如图,直线$ l // m $,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若$ ∠ ABE = 21° $,则$ ∠ ACD $的度数为（）


A.$ 45° $
B.$ 39° $
C.$ 29° $
D.$ 21° $

1.B 【解析】延长 CA,交直线 l 于点 F(图略),由 l//m,得∠ACD=∠CFB. 因为∠CFB=∠CAB -∠ABE=60°-21°=39°,所以∠ACD=39°.

【分析】
解题时首先梳理已知条件：直线$l// m$，$△ ABC$是等边三角形，$∠ ABE=21°$，要求$∠ ACD$的度数。第一步，结合平行线的性质，我们可以通过添加辅助线（延长$CA$交直线$l$于点$F$），将待求的$∠ ACD$转化为直线$l$上的内错角$∠ AFB$；第二步，利用等边三角形的性质得到$∠ CAB=60°$，再结合三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），可知$∠ CAB=∠ ABE+∠ AFB$，代入已知角度即可求出$∠ AFB$的度数，也就得到了$∠ ACD$的度数。
【解析】
延长$CA$，交直线$l$于点$F$。
1. 因为$△ ABC$是等边三角形，所以$∠ CAB=60°$。
2. $∠ CAB$是$△ ABF$的外角，根据三角形外角的性质可得：$∠ CAB=∠ ABE+∠ AFB$。
将$∠ CAB=60°$，$∠ ABE=21°$代入得：$60°=21°+∠ AFB$，解得$∠ AFB=60°-21°=39°$。
3. 因为直线$l// m$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ACD=∠ AFB=39°$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础类几何综合题，考查学生对基础几何性质的综合运用能力，解题的关键是通过添加合适的辅助线，将未知角和已知角通过平行线、三角形外角的性质建立关联，是等边三角形相关考点的常考题型。
【难度系数】
0.7