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4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$E$,$CD$平分$∠ ACB$交$BE$于点$D$,图中有
5
个等腰三角形.答案
4.5 【解析】在$△ABC$中,$AB=AC$,$∠A=36°$,所以$∠ABC=∠ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠A)=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$. 因为 $BD$ 平分$∠ABC$,$CD$ 平分$∠ACB$,
所以 $∠ABE = ∠CBE = 36°$,$∠BCD = ∠ECD = 36°$, 所以 $∠CDE = ∠CBE + ∠BCD =72°$,$∠CED=∠A+∠ABE=72°$.
①因为 $AB=AC$,所以$△ABC$ 为等腰三角形;
②因为 $∠A=∠ABE=36°$,所以$△ABE$ 为等腰三角形;
③因为 $∠BCD=∠CBE=36°$,所以$△BCD$ 为等腰三角形;
④因为 $∠ACB=∠CED=72°$,所以$△BCE$ 为等腰三角形;
⑤因为 $∠CDE=∠CED=72°$,所以$△CDE$ 为等腰三角形.
综上,题图中共有 5 个等腰三角形.
所以 $∠ABE = ∠CBE = 36°$,$∠BCD = ∠ECD = 36°$, 所以 $∠CDE = ∠CBE + ∠BCD =72°$,$∠CED=∠A+∠ABE=72°$.
①因为 $AB=AC$,所以$△ABC$ 为等腰三角形;
②因为 $∠A=∠ABE=36°$,所以$△ABE$ 为等腰三角形;
③因为 $∠BCD=∠CBE=36°$,所以$△BCD$ 为等腰三角形;
④因为 $∠ACB=∠CED=72°$,所以$△BCE$ 为等腰三角形;
⑤因为 $∠CDE=∠CED=72°$,所以$△CDE$ 为等腰三角形.
综上,题图中共有 5 个等腰三角形.
解析
【分析】
解题时首先明确等腰三角形的判定依据为“等角对等边”，先从已知的△ABC入手，先计算其底角度数，再结合角平分线的性质得到各分角的度数，借助三角形外角或内角和性质算出其余未知角的度数，最后按顺序逐一判断每个三角形是否为等腰三角形，计数时注意不重复不遗漏。
【解析】
在$△ABC$中，$AB=AC$，$∠A=36°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$
因为$BD$平分$∠ABC$，$CD$平分$∠ACB$，所以：
$∠ ABE = ∠ CBE = 36°$，$∠ BCD = ∠ ECD = 36°$
根据三角形外角的性质，可得：
$∠ CDE = ∠ CBE + ∠ BCD =36°+36°=72°$，$∠ CED=∠A+∠ABE=36°+36°=72°$
逐个判断等腰三角形：
① 因为$AB=AC$，所以$△ABC$为等腰三角形；
② 因为$∠A=∠ABE=36°$，所以$AE=BE$，$△ABE$为等腰三角形；
③ 因为$∠BCD=∠CBE=36°$，所以$BD=CD$，$△BCD$为等腰三角形；
④ 因为$∠ACB=∠BEC=72°$，所以$BE=BC$，$△BCE$为等腰三角形；
⑤ 因为$∠CDE=∠CED=72°$，所以$CD=CE$，$△CDE$为等腰三角形。
综上，图中共有5个等腰三角形。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题考查等腰三角形判定与性质的综合应用，解题的关键是准确计算图中各角的度数，结合“等角对等边”逐一判断，计数时按固定顺序排查可有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确等腰三角形的判定依据为“等角对等边”，先从已知的△ABC入手，先计算其底角度数，再结合角平分线的性质得到各分角的度数，借助三角形外角或内角和性质算出其余未知角的度数，最后按顺序逐一判断每个三角形是否为等腰三角形，计数时注意不重复不遗漏。
【解析】
在$△ABC$中，$AB=AC$，$∠A=36°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$
因为$BD$平分$∠ABC$，$CD$平分$∠ACB$，所以：
$∠ ABE = ∠ CBE = 36°$，$∠ BCD = ∠ ECD = 36°$
根据三角形外角的性质，可得：
$∠ CDE = ∠ CBE + ∠ BCD =36°+36°=72°$，$∠ CED=∠A+∠ABE=36°+36°=72°$
逐个判断等腰三角形：
① 因为$AB=AC$，所以$△ABC$为等腰三角形；
② 因为$∠A=∠ABE=36°$，所以$AE=BE$，$△ABE$为等腰三角形；
③ 因为$∠BCD=∠CBE=36°$，所以$BD=CD$，$△BCD$为等腰三角形；
④ 因为$∠ACB=∠BEC=72°$，所以$BE=BC$，$△BCE$为等腰三角形；
⑤ 因为$∠CDE=∠CED=72°$，所以$CD=CE$，$△CDE$为等腰三角形。
综上，图中共有5个等腰三角形。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题考查等腰三角形判定与性质的综合应用，解题的关键是准确计算图中各角的度数，结合“等角对等边”逐一判断，计数时按固定顺序排查可有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7
5.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,0),在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形,符合条件的C点有
4
个.答案
5.4 【解析】若以点 A 为圆心,$AB$ 为半径画弧,与 $y$ 轴有 2 个交点,故此时符合条件的点有 2 个;若以点 B 为圆心,$AB$ 为半径画弧,与 $y$ 轴有 2 个交点,这两个交点中有一个是与 A 重合的,应舍掉,故只有 1 个;线段 $AB$ 的垂直平分线与 $y$ 轴有 1 个交点. 故符合条件的 $C$ 点有 $2+1+1=4$(个).
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合等腰三角形“两边相等”的判定，分三类情况讨论符合条件的点C：①AB为腰，点A为等腰三角形的顶点；②AB为腰，点B为等腰三角形的顶点；③AB为底边，点C为等腰三角形的顶点。结合点C在y轴上的要求，分别通过画圆弧、作垂直平分线的方法找交点，同时排除重复的点，最后统计总数即可。
【解析】
1. 当AB为腰、A为顶点时：以点A为圆心，AB长为半径画弧，与y轴共有2个交点，这两个点均满足AC=AB，且不与其他情况重合，符合要求；
2. 当AB为腰、B为顶点时：以点B为圆心，AB长为半径画弧，与y轴共有2个交点，其中一个交点与点A重合，需舍去，剩余1个点满足BC=AB，符合要求；
3. 当AB为底边时：作线段AB的垂直平分线，与y轴有1个交点，该点满足AC=BC，符合要求。
综上，符合条件的C点共有2+1+1=4个。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题属于等腰三角形的分类讨论典型题型，解题时要按照顶点的不同分类梳理，避免漏解，同时要注意排除重复的交点，培养分类讨论思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需结合等腰三角形“两边相等”的判定，分三类情况讨论符合条件的点C：①AB为腰，点A为等腰三角形的顶点；②AB为腰，点B为等腰三角形的顶点；③AB为底边，点C为等腰三角形的顶点。结合点C在y轴上的要求，分别通过画圆弧、作垂直平分线的方法找交点，同时排除重复的点，最后统计总数即可。
【解析】
1. 当AB为腰、A为顶点时：以点A为圆心，AB长为半径画弧，与y轴共有2个交点，这两个点均满足AC=AB，且不与其他情况重合，符合要求；
2. 当AB为腰、B为顶点时：以点B为圆心，AB长为半径画弧，与y轴共有2个交点，其中一个交点与点A重合，需舍去，剩余1个点满足BC=AB，符合要求；
3. 当AB为底边时：作线段AB的垂直平分线，与y轴有1个交点，该点满足AC=BC，符合要求。
综上，符合条件的C点共有2+1+1=4个。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题属于等腰三角形的分类讨论典型题型，解题时要按照顶点的不同分类梳理，避免漏解，同时要注意排除重复的交点，培养分类讨论思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
6. 如图，$∠ BAC=∠ ABD$，$AC=BD$，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点。试判断OE和AB的位置关系，并说明理由。
答案
6.【解】$OE⊥AB$. 理由:
在$△BAC$ 和$△ABD$ 中,$\begin{cases}AC=BD, \\∠BAC=∠ABD, \\AB=BA,\end{cases}$
所以$△BAC≌△ABD(\mathrm{SAS})$,
所以$∠OBA=∠OAB$,所以 $OA=OB$.
因为 $E$ 是 $AB$ 的中点,所以 $AE=BE$, 所以 $OE⊥AB$.
在$△BAC$ 和$△ABD$ 中,$\begin{cases}AC=BD, \\∠BAC=∠ABD, \\AB=BA,\end{cases}$
所以$△BAC≌△ABD(\mathrm{SAS})$,
所以$∠OBA=∠OAB$,所以 $OA=OB$.
因为 $E$ 是 $AB$ 的中点,所以 $AE=BE$, 所以 $OE⊥AB$.
解析
【分析】
首先观察图形可初步猜想OE与AB的位置关系为垂直，我们可以通过逆向思路推导：要证OE⊥AB，已知E是AB中点，若能证明△OAB是等腰三角形（OA=OB），就可利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论。要得到OA=OB，只需证明∠OAB=∠OBA，结合已知的∠BAC=∠ABD、AC=BD，以及公共边AB，可先证明△BAC≌△ABD，利用全等三角形对应角相等即可得到等角，顺着这个思路即可完成证明。
【解析】
解：OE⊥AB，理由如下：
在$△ BAC$和$△ ABD$中，
$\begin{cases} AC=BD \\ ∠ BAC=∠ ABD \\ AB=BA \end{cases}$
$\therefore △ BAC ≌ △ ABD(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ OBA=∠ OAB$
$\therefore OA=OB$，即$△ OAB$为等腰三角形
$\because E$是$AB$的中点，即$OE$是等腰$△ OAB$底边$AB$上的中线
$\therefore OE⊥ AB$（等腰三角形三线合一）
【答案】
$OE⊥ AB$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查全等三角形和等腰三角形的相关知识，解题时可通过逆向推理明确证明方向，先证全等得等角，再推出等腰三角形，最后利用三线合一得到线段的位置关系，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可初步猜想OE与AB的位置关系为垂直，我们可以通过逆向思路推导：要证OE⊥AB，已知E是AB中点，若能证明△OAB是等腰三角形（OA=OB），就可利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论。要得到OA=OB，只需证明∠OAB=∠OBA，结合已知的∠BAC=∠ABD、AC=BD，以及公共边AB，可先证明△BAC≌△ABD，利用全等三角形对应角相等即可得到等角，顺着这个思路即可完成证明。
【解析】
解：OE⊥AB，理由如下：
在$△ BAC$和$△ ABD$中，
$\begin{cases} AC=BD \\ ∠ BAC=∠ ABD \\ AB=BA \end{cases}$
$\therefore △ BAC ≌ △ ABD(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ OBA=∠ OAB$
$\therefore OA=OB$，即$△ OAB$为等腰三角形
$\because E$是$AB$的中点，即$OE$是等腰$△ OAB$底边$AB$上的中线
$\therefore OE⊥ AB$（等腰三角形三线合一）
【答案】
$OE⊥ AB$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查全等三角形和等腰三角形的相关知识，解题时可通过逆向推理明确证明方向，先证全等得等角，再推出等腰三角形，最后利用三线合一得到线段的位置关系，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
7.(1)如图 
，在$△ ABC$中，$AB=AC=10$，$BD$平分$∠ ABC$，$CD$平分$∠ ACB$，过点$D$作$EF // BC$，分别交$AB$，$AC$于$E$，$F$两点，则图中共有
(2)如图
，若将(1)中“在$△ ABC$中，$AB=AC=10$”改为“若$△ ABC$为不等边三角形，$AB=8$，$AC=10$”其余条件不变，则图中共有
，在$△ ABC$中，$AB=AC=10$，$BD$平分$∠ ABC$，$CD$平分$∠ ACB$，过点$D$作$EF // BC$，分别交$AB$，$AC$于$E$，$F$两点，则图中共有5
个等腰三角形；$EF$，$BE$，$CF$三者之间的数量关系是$BE+CF=EF$
，$△ AEF$的周长是20
.(2)如图
，若将(1)中“在$△ ABC$中，$AB=AC=10$”改为“若$△ ABC$为不等边三角形，$AB=8$，$AC=10$”其余条件不变，则图中共有2
个等腰三角形；$EF$，$BE$，$CF$三者之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出$△ AEF$的周长.答案
7.【解】(1)5 $BE+CF=EF$ 20
(2)2 $BE+CF=EF$.
证明:因为 $BD$ 平分$∠ABC$,$CD$ 平分$∠ACB$,所以$∠EBD=∠CBD$,$∠FCD=∠BCD$.
因为 $EF // BC$,所以$∠EDB=∠CBD$,$∠FDC=∠BCD$,所以$∠EBD=∠EDB$,$∠FDC=∠FCD$,
所以 $BE=DE$,$CF=DF$,
所以等腰三角形有$△BDE$,$△CFD$,$BE+CF=DE+DF=EF$,即 $BE+CF=EF$,
所以$△AEF$ 的周长为 18.
(2)2 $BE+CF=EF$.
证明:因为 $BD$ 平分$∠ABC$,$CD$ 平分$∠ACB$,所以$∠EBD=∠CBD$,$∠FCD=∠BCD$.
因为 $EF // BC$,所以$∠EDB=∠CBD$,$∠FDC=∠BCD$,所以$∠EBD=∠EDB$,$∠FDC=∠FCD$,
所以 $BE=DE$,$CF=DF$,
所以等腰三角形有$△BDE$,$△CFD$,$BE+CF=DE+DF=EF$,即 $BE+CF=EF$,
所以$△AEF$ 的周长为 18.
解析
【分析】
本题需结合等腰三角形的判定、角平分线定义和平行线的性质解题，核心是掌握“角平分线+平行线可推出等腰三角形”的常用模型：
（1）首先根据AB=AC确定△ABC为等腰三角形，再结合角平分线和平行线的性质，依次推导其余等腰三角形；再利用等腰三角形等角对等边的性质，将EF拆分为DE+DF，替换为BE、CF即可得到三者数量关系；计算△AEF周长时，通过线段等量替换将周长转化为AB+AC的和即可求解。
（2）当△ABC为不等边三角形时，排除掉（1）中因AB=AC才存在的等腰三角形，剩余的就是符合条件的等腰三角形；线段关系和周长的推导思路与（1）一致，仍通过等量替换求解。
【解析】
(1) ①判断等腰三角形：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB。
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠CBD=∠BCD，
∴△BCD是等腰三角形。
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，∠AEF=∠AFE，
∴△BDE、△CFD、△AEF均为等腰三角形，共5个等腰三角形。
②推导EF、BE、CF的关系：
由上述推导得BE=DE，CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF。
③计算△AEF的周长：
$C_{△AEF}=AE+EF+AF=AE+DE+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=10+10=20$。
(2) ①判断等腰三角形：
∵△ABC为不等边三角形，
∴∠ABC≠∠ACB，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC≠$\frac{1}{2}$∠ACB，即∠CBD≠∠BCD，故△BCD不是等腰三角形；
又EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC≠∠ACB=∠AFE，故△AEF不是等腰三角形。
同(1)的推导可得∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，
∴△BDE、△CFD是等腰三角形，共2个。
②推导数量关系：
证明：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD。
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE，CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF，即$BE+CF=EF$。
③计算△AEF的周长：
$C_{△AEF}=AE+EF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=8+10=18$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；$\boxed{BE+CF=EF}$；$\boxed{20}$
(2) $\boxed{2}$；$\boxed{BE+CF=EF}$；$\boxed{△AEF}$的周长为$\boxed{18}$
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型题型，重点考查“角平分线+平行线得等腰三角形”的模型应用，通过线段等量替换简化周长计算的思路在几何题中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题需结合等腰三角形的判定、角平分线定义和平行线的性质解题，核心是掌握“角平分线+平行线可推出等腰三角形”的常用模型：
（1）首先根据AB=AC确定△ABC为等腰三角形，再结合角平分线和平行线的性质，依次推导其余等腰三角形；再利用等腰三角形等角对等边的性质，将EF拆分为DE+DF，替换为BE、CF即可得到三者数量关系；计算△AEF周长时，通过线段等量替换将周长转化为AB+AC的和即可求解。
（2）当△ABC为不等边三角形时，排除掉（1）中因AB=AC才存在的等腰三角形，剩余的就是符合条件的等腰三角形；线段关系和周长的推导思路与（1）一致，仍通过等量替换求解。
【解析】
(1) ①判断等腰三角形：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB。
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠CBD=∠BCD，
∴△BCD是等腰三角形。
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，∠AEF=∠AFE，
∴△BDE、△CFD、△AEF均为等腰三角形，共5个等腰三角形。
②推导EF、BE、CF的关系：
由上述推导得BE=DE，CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF。
③计算△AEF的周长：
$C_{△AEF}=AE+EF+AF=AE+DE+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=10+10=20$。
(2) ①判断等腰三角形：
∵△ABC为不等边三角形，
∴∠ABC≠∠ACB，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC≠$\frac{1}{2}$∠ACB，即∠CBD≠∠BCD，故△BCD不是等腰三角形；
又EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC≠∠ACB=∠AFE，故△AEF不是等腰三角形。
同(1)的推导可得∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，
∴△BDE、△CFD是等腰三角形，共2个。
②推导数量关系：
证明：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD。
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE，CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF，即$BE+CF=EF$。
③计算△AEF的周长：
$C_{△AEF}=AE+EF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=8+10=18$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$；$\boxed{BE+CF=EF}$；$\boxed{20}$
(2) $\boxed{2}$；$\boxed{BE+CF=EF}$；$\boxed{△AEF}$的周长为$\boxed{18}$
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型题型，重点考查“角平分线+平行线得等腰三角形”的模型应用，通过线段等量替换简化周长计算的思路在几何题中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
