【典型例题2】尺规作图:如图,已知线段$a$,求作以$a$为底,以$2a$为高的等腰三角形.

思路导引 先用直尺和圆规“作一条线段等于已知线段”,作出底边;再结合“作线段的垂直平分线”作出底边上的高,进而确定了三个顶点,即可作出等腰三角形.
【解】如图.

(1)作线段$BC=a$;
(2)作线段$BC$的垂直平分线$MN$,与$BC$交于点$D$;
(3)在$DM$上截取$DA=2a$;
(4)连接$AB$,$AC$,则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形.
规律方法 解决该类问题的关键是结合基本几何图形的性质与判定,把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.

解：
作法如下：
(1) 作线段$BC=a$；
(2) 作线段$BC$的垂直平分线$MN$，与$BC$交于点$D$；
(3) 在$DM$上截取$DA=2a$；
(4) 连接$AB$，$AC$，则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。

【分析】
要完成该等腰三角形的作图，可结合等腰三角形的性质拆解步骤思考：首先确定底边的两个端点，先作线段BC等于已知线段a，得到B、C两个顶点；再根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的高必然在底边的垂直平分线上，因此作BC的垂直平分线MN，即可确定第三个顶点A的所在直线；最后根据高为2a的要求，在垂直平分线上截取DA=2a，确定顶点A的位置，连接三个顶点即可得到所求等腰三角形。
【解析】
作图步骤如下：
(1) 作线段$BC=a$；
(2) 作线段$BC$的垂直平分线$MN$，与$BC$交于点$D$；
(3) 在$DM$上截取$DA=2a$；
(4) 连接$AB$，$AC$，则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
【答案】
作法如下：
(1) 作线段$BC=a$；
(2) 作线段$BC$的垂直平分线$MN$，与$BC$交于点$D$；
(3) 在$DM$上截取$DA=2a$；
(4) 连接$AB$，$AC$，则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
【知识点】
作相等线段；作线段的垂直平分线；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础类尺规作图题，核心是将组合作图拆解为作相等线段、作垂直平分线等基本作图，结合几何图形的性质逐步操作即可，需熟练掌握常见基本尺规作图的操作规范。
【难度系数】
0.8

2.尺规作图:已知等腰三角形的底边长为a,顶角的平分线的长为b,求作这个等腰三角形.

2.【解】如图.
(1)作线段$BC=a$;
(2)作线段$BC$的垂直平分线$MN$,与$BC$相交于点$D$;
(3)在$MN$上截取$DA=b$;
(4)连接$AB,AC$,则$△ABC$就是所求作的等腰三角形.

【分析】
我们可以借助等腰三角形“三线合一”的性质解题：等腰三角形顶角的平分线同时是底边的高和底边的中线，因此顶角平分线必然在底边的垂直平分线上。解题时可以先确定长度为a的底边，再作出底边的垂直平分线，之后在垂直平分线上截取长度为b的线段作为顶角平分线，最后连接顶点和底边两端即可得到所求的等腰三角形。
【解析】
作图步骤如下：
(1) 用直尺作线段$BC$，使$BC=a$；
(2) 用尺规作线段$BC$的垂直平分线$MN$，$MN$与$BC$相交于点$D$，此时$D$为$BC$中点，且$MN⊥ BC$；
(3) 在$MN$上朝向垂直于$BC$的方向截取线段$DA$，使$DA=b$；
(4) 用直尺依次连接$AB$、$AC$，所得$△ ABC$即为所求的等腰三角形。
【答案】
如图。
(1)作线段$BC=a$；
(2)作线段$BC$的垂直平分线$MN$,与$BC$相交于点$D$；
(3)在$MN$上截取$DA=b$；
(4)连接$AB,AC$,则$△ABC$就是所求作的等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质，尺规作垂直平分线，尺规作线段
【点评】
本题是基础几何作图题，核心考查等腰三角形“三线合一”性质的应用，解题关键是利用性质确定顶角平分线的位置，既巩固了尺规作图的基本操作，也加深了对等腰三角形性质的理解。
【难度系数】
0.8

1.如图,下列选项说法正确的是 （）


A.①是等腰三角形
B.②是等腰三角形
C.①和②均是等腰三角形
D.①和②都不是等腰三角形

1.B 【解析】①第三边的长没有确定,故不一定是等腰三角形,②第三个角的度数为 $180°-50°-80°=50°$,所以它是等腰三角形.

【分析】
要判断两个三角形是否为等腰三角形，需结合等腰三角形的判定条件（两边相等或两角相等）分别分析：①号三角形仅给出两条边长分别为8和5，第三条边的长度未知，无法确定是否存在两条相等的边，因此不能判定其为等腰三角形；②号三角形已知两个内角的度数，可先根据三角形内角和为180°算出第三个角的度数，再看是否存在两个相等的角，若存在则可判定为等腰三角形。
【解析】
先分析①号三角形：已知两条边长为8和5，第三条边的长度未给出，无法确定是否有两条边相等，因此①不一定是等腰三角形。
再分析②号三角形：根据三角形内角和为180°，可算出第三个角的度数为$180° - 50° - 80° = 50°$，该三角形有两个角均为50°，根据“等角对等边”的判定规则，可知②是等腰三角形。
综上只有②是等腰三角形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确掌握等腰三角形的判定规则，注意判断等腰三角形时需要明确有两条边相等或者两个角相等，不能仅凭部分已知条件就盲目下结论，易错点是容易忽略①号三角形第三条边不确定的情况，误判其为等腰三角形。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在$△ ABC$中，$CE$，$CF$分别平分$∠ ACB$和$∠ ACG$，$DE=6$，$EF// BC$，则
$DF$ 的长度为.

2.6 【解析】因为 $CE$ 平分$∠ACB$,所以$∠ACE=∠BCE$. 因为 $CF$ 平分$∠ACG$,所以$∠ACF=∠GCF$. 因为 $EF // BC$, 所以 $∠GCF=∠F$,$∠BCE=∠CEF$, 所以 $∠ACE=∠CEF$,$∠F=∠DCF$, 所以 $CD=ED$,$CD=DF$, 所以 $DF=DE=6$.

【分析】
解题时首先观察题目条件：存在角平分线、平行线，可联想到“角平分线+平行线”常能构造出等腰三角形。第一步先利用角平分线的定义得到两组相等的角，第二步结合平行线的内错角相等进行角的等量代换，第三步根据“等角对等边”分别推出DE与CD相等、DF与CD相等，最后通过等量代换得到DF的长度。
【解析】
∵ CE平分∠ACB，
∴ ∠ACE=∠BCE。
∵ CF平分∠ACG，
∴ ∠ACF=∠GCF。
∵ EF//BC，
∴ ∠BCE=∠CEF，∠GCF=∠F（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ACE=∠CEF，∠ACF=∠F。
∴ △CDE和△CDF均为等腰三角形，即CD=DE，CD=DF。
∴ DF=DE=6。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线、平行线与等腰三角形判定的综合应用题，掌握“角平分线+平行线可推出等腰三角形”这一常用几何模型，能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.8

3.如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 $70°$方向的 M 处,它以每小时 45 海里的速度向正北方向航行,2 小时后到达位于灯塔 P 的北偏东 $40°$方向的 N 处,则 N 处与灯塔 P 的距离为海里.

3.90 【解析】因为向北的方向线是平行的,所以$∠M=70°$. 因为$∠NPM=180°-70°-40°=70°$,所以$∠NPM=∠M$,所以 $NP=MN=45×2=90$(海里).

【分析】
解题时先梳理已知条件：海轮航行速度为45海里/小时，向正北航行2小时从M到达N，结合方向角特征推导三角形内角的度数，再利用等腰三角形的判定求解边长。第一步先根据路程公式计算MN的长度；第二步利用南北方向线互相平行的性质，得到内错角∠M=70°；第三步根据三角形内角和计算∠NPM的度数，发现∠NPM与∠M相等，根据等角对等边即可得到NP=MN，最终求出N处与灯塔P的距离。
【解析】
解：先计算MN的长度：
海轮2小时航行的路程$MN=45×2=90$（海里）。
由题意得南北方向的方向线互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ M=70°$。
在$△ NPM$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ NPM=180° - 40° -70°=70°$，
因此$∠ NPM=∠ M$，根据等角对等边，可得$NP=MN=90$（海里）。
【答案】
90
【知识点】
等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题以航海方向角为实际背景，考查几何基础知识的综合应用，解题的关键是将方向角转化为几何图形中的角度，结合平行线性质和等腰三角形判定建立边长关系，侧重基础概念的灵活运用。
【难度系数】
0.7