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(1)下列约分中，正确的是（
A.$\frac{x+1}{x^2+1}=\frac{x}{x+1}$
B.$\frac{b^2}{a^2}=\frac{b}{a}$
C.$\frac{9b}{6a+3}=\frac{3b}{2a+1}$
D.$\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2}=-1$
C
）A.$\frac{x+1}{x^2+1}=\frac{x}{x+1}$
B.$\frac{b^2}{a^2}=\frac{b}{a}$
C.$\frac{9b}{6a+3}=\frac{3b}{2a+1}$
D.$\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2}=-1$
答案
(1) C
解析
【分析】
解决分式约分题的核心是牢记约分的规则：约分是将分式分子、分母的公因式约去，前提是分子分母都能分解为乘积形式，仅加减形式的项不能直接约分，同时要注意运算的符号性质。解题时逐一分析每个选项，先判断分子分母是否存在公因式，再验证约分结果是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：分母$x^2+1$无法分解因式，和分子$x+1$没有公因式，不能进行约分，因此A错误；
B选项：$\frac{b^2}{a^2}$的分子分母没有公因式，不能直接去掉平方得到$\frac{b}{a}$，因此B错误；
C选项：先对分母提取公因式3，可得$6a+3=3(2a+1)$，分子$9b=3×3b$，分子分母约去公因式3，可得$\frac{9b}{6a+3}=\frac{3b}{2a+1}$，因此C正确；
D选项：根据平方的非负性，$(a-b)^2=(b-a)^2$，因此$\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2}=1$，不是-1，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式约分，因式分解，分式基本性质
【点评】
本题重点考查分式约分的基本规则，解题时要注意只有分子分母存在公因式时才能约分，不能直接约去加减形式的项，同时要注意平方运算的结果恒为非负，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.8
解决分式约分题的核心是牢记约分的规则：约分是将分式分子、分母的公因式约去，前提是分子分母都能分解为乘积形式，仅加减形式的项不能直接约分，同时要注意运算的符号性质。解题时逐一分析每个选项，先判断分子分母是否存在公因式，再验证约分结果是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：分母$x^2+1$无法分解因式，和分子$x+1$没有公因式，不能进行约分，因此A错误；
B选项：$\frac{b^2}{a^2}$的分子分母没有公因式，不能直接去掉平方得到$\frac{b}{a}$，因此B错误；
C选项：先对分母提取公因式3，可得$6a+3=3(2a+1)$，分子$9b=3×3b$，分子分母约去公因式3，可得$\frac{9b}{6a+3}=\frac{3b}{2a+1}$，因此C正确；
D选项：根据平方的非负性，$(a-b)^2=(b-a)^2$，因此$\frac{(a-b)^2}{(b-a)^2}=1$，不是-1，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式约分，因式分解，分式基本性质
【点评】
本题重点考查分式约分的基本规则，解题时要注意只有分子分母存在公因式时才能约分，不能直接约去加减形式的项，同时要注意平方运算的结果恒为非负，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.8
(2)若嘉琪化简分式$\frac{*}{x^2 -1}$的结果为$\frac{x-1}{x+1}$，其中“*”部分不小心滴上了墨水，则“*”部分代表的式子应该是（
A.$x^2 -2x +1$
B.$x^2 +2x +1$
C.$x^2 -1$
D.$x^2 -2x -1$
A
）A.$x^2 -2x +1$
B.$x^2 +2x +1$
C.$x^2 -1$
D.$x^2 -2x -1$
答案
(2) A
解析
【分析】
要计算被墨水污染的分子部分，我们可以利用分式运算的逆关系：被除式（即分子）= 商 × 除式（即原分式的分母）。首先明确已知的商和原分母，代入后通过因式分解、约分、整式乘法计算即可得到结果，再对应选项选择即可。
【解析】
根据题意可知，“*”代表的式子 = 化简结果 × 原分式的分母，即：
$\begin{aligned}* &= \frac{x-1}{x+1} × (x^2 -1) \\&= \frac{x-1}{x+1} × (x+1)(x-1) \quad \mathrm{（利用平方差公式分解} \ x^2-1\mathrm{）} \\&= (x-1)(x-1) \quad \mathrm{（约去公因式} \ x+1\mathrm{，此处} \ x+1≠0\mathrm{）} \\&= x^2 -2x +1\end{aligned}$
对比选项可知选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；乘法公式
【点评】
本题主要考查分式运算的逆用，结合因式分解和整式乘法公式求解，解题关键是明确分式各部分之间的运算关系，熟练掌握相关公式和运算法则。
【难度系数】
0.8
要计算被墨水污染的分子部分，我们可以利用分式运算的逆关系：被除式（即分子）= 商 × 除式（即原分式的分母）。首先明确已知的商和原分母，代入后通过因式分解、约分、整式乘法计算即可得到结果，再对应选项选择即可。
【解析】
根据题意可知，“*”代表的式子 = 化简结果 × 原分式的分母，即：
$\begin{aligned}* &= \frac{x-1}{x+1} × (x^2 -1) \\&= \frac{x-1}{x+1} × (x+1)(x-1) \quad \mathrm{（利用平方差公式分解} \ x^2-1\mathrm{）} \\&= (x-1)(x-1) \quad \mathrm{（约去公因式} \ x+1\mathrm{，此处} \ x+1≠0\mathrm{）} \\&= x^2 -2x +1\end{aligned}$
对比选项可知选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；乘法公式
【点评】
本题主要考查分式运算的逆用，结合因式分解和整式乘法公式求解，解题关键是明确分式各部分之间的运算关系，熟练掌握相关公式和运算法则。
【难度系数】
0.8
(3)下列运算中，不正确的是（
A.$\frac{0.2a + b}{0.7a - b} = \frac{2a + b}{7a - b}$
B.$\frac{x^3 y^2}{x^2 y^3} = \frac{x}{y}$
C.$\frac{a - b}{b - a} = -1$
D.$\frac{x^2 - y^2}{x - y} = x + y$
A
）A.$\frac{0.2a + b}{0.7a - b} = \frac{2a + b}{7a - b}$
B.$\frac{x^3 y^2}{x^2 y^3} = \frac{x}{y}$
C.$\frac{a - b}{b - a} = -1$
D.$\frac{x^2 - y^2}{x - y} = x + y$
答案
(3) A
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路为：先明确分式的核心性质——分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，再逐个验证每个选项的运算是否符合该性质，最终选出运算错误的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：对$\frac{0.2a + b}{0.7a - b}$的分子分母同时乘10时，分子、分母的每一项都要乘10，正确结果应为$\frac{(0.2a+b)×10}{(0.7a-b)×10}=\frac{2a + 10b}{7a - 10b}$，选项中漏乘了分子的$b$和分母的$-b$，运算错误。
选项B：$\frac{x^3 y^2}{x^2 y^3}$的分子分母同时除以不为0的$x^2y^2$，可得$\frac{x^3y^2÷ x^2y^2}{x^2y^3÷ x^2y^2}=\frac{x}{y}$，运算正确。
选项C：将分子变形可得$\frac{a - b}{b - a}=\frac{-(b-a)}{b-a}=-1$（$b≠ a$时分式有意义），运算正确。
选项D：先对分子用平方差公式因式分解，$\frac{x^2 - y^2}{x - y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x-y}=x+y$（$x≠ y$时分式有意义），运算正确。
综上，运算不正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、分式的约分、平方差公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查分式基本性质的规范应用，易错点是给分式分子分母同乘一个数时，漏乘其中的常数项，另外约分前要先将分子、分母变形为乘积形式再化简。
【难度系数】
0.8
本题考查分式基本性质的应用，解题思路为：先明确分式的核心性质——分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，再逐个验证每个选项的运算是否符合该性质，最终选出运算错误的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：对$\frac{0.2a + b}{0.7a - b}$的分子分母同时乘10时，分子、分母的每一项都要乘10，正确结果应为$\frac{(0.2a+b)×10}{(0.7a-b)×10}=\frac{2a + 10b}{7a - 10b}$，选项中漏乘了分子的$b$和分母的$-b$，运算错误。
选项B：$\frac{x^3 y^2}{x^2 y^3}$的分子分母同时除以不为0的$x^2y^2$，可得$\frac{x^3y^2÷ x^2y^2}{x^2y^3÷ x^2y^2}=\frac{x}{y}$，运算正确。
选项C：将分子变形可得$\frac{a - b}{b - a}=\frac{-(b-a)}{b-a}=-1$（$b≠ a$时分式有意义），运算正确。
选项D：先对分子用平方差公式因式分解，$\frac{x^2 - y^2}{x - y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x-y}=x+y$（$x≠ y$时分式有意义），运算正确。
综上，运算不正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、分式的约分、平方差公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查分式基本性质的规范应用，易错点是给分式分子分母同乘一个数时，漏乘其中的常数项，另外约分前要先将分子、分母变形为乘积形式再化简。
【难度系数】
0.8
(4)下列分式中，与分式$\frac{-a + b}{-a - b}$相等的是（
A.$-\frac{a + b}{a - b}$
B.$-\frac{a - b}{-a + b}$
C.$\frac{-a + b}{a + b}$
D.$\frac{a - b}{a + b}$
D
）A.$-\frac{a + b}{a - b}$
B.$-\frac{a - b}{-a + b}$
C.$\frac{-a + b}{a + b}$
D.$\frac{a - b}{a + b}$
答案
(4) D
解析
【分析】
这道题考查分式的等值变形，解题核心是运用分式的基本性质或符号法则。首先回忆分式的符号规律：分式的分子、分母、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值保持不变。我们可以对原式的分子、分母同时提取负号，或者同时乘以-1，化简后和选项对比即可找到答案。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
对原式$\frac{-a + b}{-a - b}$的分子、分母同时乘以$-1$（$-1\ne0$，分式值不变）：
分子计算：$(-a + b)×(-1)=a - b$
分母计算：$(-a - b)×(-1)=a + b$
因此原式化简后为$\frac{a - b}{a + b}$，与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质；分式符号化简
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题关键是注意分子、分母整体变号，不要漏项，熟练掌握分式的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这道题考查分式的等值变形，解题核心是运用分式的基本性质或符号法则。首先回忆分式的符号规律：分式的分子、分母、分式本身的符号，任意改变其中两个，分式的值保持不变。我们可以对原式的分子、分母同时提取负号，或者同时乘以-1，化简后和选项对比即可找到答案。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
对原式$\frac{-a + b}{-a - b}$的分子、分母同时乘以$-1$（$-1\ne0$，分式值不变）：
分子计算：$(-a + b)×(-1)=a - b$
分母计算：$(-a - b)×(-1)=a + b$
因此原式化简后为$\frac{a - b}{a + b}$，与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质；分式符号化简
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题关键是注意分子、分母整体变号，不要漏项，熟练掌握分式的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(5)如图，已知$a＞b＞0$. 设$k=\frac{甲图中涂色部分的面积}{乙图中涂色部分的面积}$，则$k$的值可以为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$
答案
(5) C
解析
【分析】
解题时先分别求出甲、乙两图中涂色部分的面积，再写出k的表达式，利用平方差公式分解因式后约分，化简k的表达式，最后结合a＞b＞0的条件判断k的取值范围，匹配选项即可得到答案。
第一步：分析图形求面积：甲图涂色面积是边长为a的大正方形面积减去边长为b的小正方形面积；乙图涂色部分是长为a、宽为(a-b)的长方形，按面积公式分别计算即可。
第二步：写k的表达式并化简：分子是平方差形式，用平方差公式分解因式，再约去分子分母的公因式(a-b)（a≠b，所以公因式不为0，可约分），得到k的最简形式。
第三步：判断取值范围：根据a＞b＞0，推出b/a的范围，进而得到k的范围，对比选项选出符合范围的答案。
【解析】
解：首先计算两个涂色部分的面积：
甲图涂色面积：$S_甲 = a^2 - b^2$
乙图涂色面积：$S_乙 = a(a - b)$
则$k = \frac{S_甲}{S_乙} = \frac{a^2 - b^2}{a(a - b)}$
利用平方差公式分解分子：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
∵$a ＞ b ＞ 0$，
∴$a - b ≠ 0$，可约分：
$k = \frac{(a + b)(a - b)}{a(a - b)} = \frac{a + b}{a} = 1 + \frac{b}{a}$
又
∵$a ＞ b ＞ 0$，
∴$0 ＜ \frac{b}{a} ＜ 1$
因此$1 ＜ 1 + \frac{b}{a} ＜ 2$，即$1 ＜ k ＜ 2$
观察选项，只有$\frac{3}{2}$满足$1 ＜ \frac{3}{2} ＜ 2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，分式约分，代数式取值范围判断
【点评】
本题将几何面积计算与代数分式化简结合，解题的核心是正确表示阴影面积后化简分式，再结合已知的大小关系确定比值的范围，属于基础综合题，考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
解题时先分别求出甲、乙两图中涂色部分的面积，再写出k的表达式，利用平方差公式分解因式后约分，化简k的表达式，最后结合a＞b＞0的条件判断k的取值范围，匹配选项即可得到答案。
第一步：分析图形求面积：甲图涂色面积是边长为a的大正方形面积减去边长为b的小正方形面积；乙图涂色部分是长为a、宽为(a-b)的长方形，按面积公式分别计算即可。
第二步：写k的表达式并化简：分子是平方差形式，用平方差公式分解因式，再约去分子分母的公因式(a-b)（a≠b，所以公因式不为0，可约分），得到k的最简形式。
第三步：判断取值范围：根据a＞b＞0，推出b/a的范围，进而得到k的范围，对比选项选出符合范围的答案。
【解析】
解：首先计算两个涂色部分的面积：
甲图涂色面积：$S_甲 = a^2 - b^2$
乙图涂色面积：$S_乙 = a(a - b)$
则$k = \frac{S_甲}{S_乙} = \frac{a^2 - b^2}{a(a - b)}$
利用平方差公式分解分子：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
∵$a ＞ b ＞ 0$，
∴$a - b ≠ 0$，可约分：
$k = \frac{(a + b)(a - b)}{a(a - b)} = \frac{a + b}{a} = 1 + \frac{b}{a}$
又
∵$a ＞ b ＞ 0$，
∴$0 ＜ \frac{b}{a} ＜ 1$
因此$1 ＜ 1 + \frac{b}{a} ＜ 2$，即$1 ＜ k ＜ 2$
观察选项，只有$\frac{3}{2}$满足$1 ＜ \frac{3}{2} ＜ 2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，分式约分，代数式取值范围判断
【点评】
本题将几何面积计算与代数分式化简结合，解题的核心是正确表示阴影面积后化简分式，再结合已知的大小关系确定比值的范围，属于基础综合题，考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
2. 填空题.
(1) $\frac{1}{ab} = \frac{(\quad)}{3ab^2}$.
(2) $\frac{6ab^2}{8b^3} = \frac{3a}{(\quad)}$.
(1) $\frac{1}{ab} = \frac{(\quad)}{3ab^2}$.
(2) $\frac{6ab^2}{8b^3} = \frac{3a}{(\quad)}$.
答案
(1) 3b
(2) 4b
(2) 4b
解析
【分析】
这两道题均考查分式基本性质的应用，解题核心是利用“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”这一规则。解题时先观察已知的分子或分母的变化规律，再给对应的分母或分子做相同的运算即可：第(1)题先分析分母的变化，推导分子需要做的运算；第(2)题先分析分子的变化，推导分母需要做的运算。
【解析】
(1) 观察分母变化：原分母为$ab$，变化后分母为$3ab^2$，计算得$3ab^2 ÷ ab=3b$，即分母乘了$3b$。根据分式的基本性质，分子$1$也要乘$3b$，即$1×3b=3b$，所以括号内填$3b$。
(2) 观察分子变化：原分子为$6ab^2$，变化后分子为$3a$，计算得$6ab^2 ÷ 3a=2b^2$，即分子除以了$2b^2$。根据分式的基本性质，分母$8b^3$也要除以$2b^2$，即$8b^3 ÷ 2b^2=4b$，所以括号内填$4b$。
【答案】
(1) $3b$；(2) $4b$
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题是分式相关的基础练习题，需要熟练掌握分式基本性质的应用规则，注意运算过程中所乘或除以的整式不能为0，本题分母隐含取值保证相关整式不为0，可直接进行运算。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查分式基本性质的应用，解题核心是利用“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”这一规则。解题时先观察已知的分子或分母的变化规律，再给对应的分母或分子做相同的运算即可：第(1)题先分析分母的变化，推导分子需要做的运算；第(2)题先分析分子的变化，推导分母需要做的运算。
【解析】
(1) 观察分母变化：原分母为$ab$，变化后分母为$3ab^2$，计算得$3ab^2 ÷ ab=3b$，即分母乘了$3b$。根据分式的基本性质，分子$1$也要乘$3b$，即$1×3b=3b$，所以括号内填$3b$。
(2) 观察分子变化：原分子为$6ab^2$，变化后分子为$3a$，计算得$6ab^2 ÷ 3a=2b^2$，即分子除以了$2b^2$。根据分式的基本性质，分母$8b^3$也要除以$2b^2$，即$8b^3 ÷ 2b^2=4b$，所以括号内填$4b$。
【答案】
(1) $3b$；(2) $4b$
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题是分式相关的基础练习题，需要熟练掌握分式基本性质的应用规则，注意运算过程中所乘或除以的整式不能为0，本题分母隐含取值保证相关整式不为0，可直接进行运算。
【难度系数】
0.8
(3) $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy} = \frac{(\quad)}{x}$
答案
(3) $x-y$
解析
【分析】
本题是分式的等值变形问题，解题思路如下：首先回忆分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。第一步先对原式等号左边的分子、分母分别进行因式分解，第二步观察分母的变化：原分母因式分解后变为$x(x+y)$，最终要变成$x$，说明分子分母同时除以了$(x+y)$（隐含条件$x≠0$且$x+y≠0$，保证原分式有意义、除以的因式不为0），第三步将分子也除以$x+y$就能得到括号内应填的式子。
【解析】
先对左边分式的分子、分母因式分解：
分子：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$（平方差公式）
分母：$x^2 + xy=x(x+y)$（提公因式法）
因此左边分式可变形为：
$\frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{x(x+y)}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的整式$x+y$，可得：
$\frac{(x+y)(x-y)÷(x+y)}{x(x+y)÷(x+y)}=\frac{x-y}{x}$
所以括号内应填$x-y$。
【答案】
$x-y$
【知识点】
分式的基本性质、因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是正确对分子分母进行因式分解，再结合分式的基本性质做等值变形，变形时要注意需保证同时乘除的整式不为0。
【难度系数】
0.8
本题是分式的等值变形问题，解题思路如下：首先回忆分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。第一步先对原式等号左边的分子、分母分别进行因式分解，第二步观察分母的变化：原分母因式分解后变为$x(x+y)$，最终要变成$x$，说明分子分母同时除以了$(x+y)$（隐含条件$x≠0$且$x+y≠0$，保证原分式有意义、除以的因式不为0），第三步将分子也除以$x+y$就能得到括号内应填的式子。
【解析】
先对左边分式的分子、分母因式分解：
分子：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$（平方差公式）
分母：$x^2 + xy=x(x+y)$（提公因式法）
因此左边分式可变形为：
$\frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{x(x+y)}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的整式$x+y$，可得：
$\frac{(x+y)(x-y)÷(x+y)}{x(x+y)÷(x+y)}=\frac{x-y}{x}$
所以括号内应填$x-y$。
【答案】
$x-y$
【知识点】
分式的基本性质、因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是正确对分子分母进行因式分解，再结合分式的基本性质做等值变形，变形时要注意需保证同时乘除的整式不为0。
【难度系数】
0.8
(4)约分：$\dfrac{x^2 -4}{x^2 -4x +4}=$
$\frac{x+2}{x-2}$
答案
(4) $\frac{x+2}{x-2}$
解析
【分析】
要对分式进行约分，首先需要分别对分子、分母进行因式分解，再找到分子分母的公因式，约去公因式即可得到最简分式。首先回忆因式分解的常用公式：分子是两项的平方差，符合平方差公式的结构；分母是三项的二次式，符合完全平方公式的结构，先分别分解，再约去相同的因式即可。
【解析】
解：首先对分子、分母分别因式分解：
分子$x^2 - 4$，利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，可得：
$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$
分母$x^2 - 4x + 4$，利用完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，可得：
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$
则原分式可写为：
$\dfrac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 2)^2}$
根据分式的基本性质，约去公因式$(x - 2)$（此时$x ≠ 2$，保证分式有意义），得到：
$\dfrac{x + 2}{x - 2}$
【答案】
$\dfrac{x + 2}{x - 2}$
【知识点】
分式约分；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是分式约分的基础题，解题的核心是熟练掌握因式分解的常用公式，准确找到分子分母的公因式，约分过程要注意保证原分式有意义。
【难度系数】
0.85
要对分式进行约分，首先需要分别对分子、分母进行因式分解，再找到分子分母的公因式，约去公因式即可得到最简分式。首先回忆因式分解的常用公式：分子是两项的平方差，符合平方差公式的结构；分母是三项的二次式，符合完全平方公式的结构，先分别分解，再约去相同的因式即可。
【解析】
解：首先对分子、分母分别因式分解：
分子$x^2 - 4$，利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，可得：
$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$
分母$x^2 - 4x + 4$，利用完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，可得：
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$
则原分式可写为：
$\dfrac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 2)^2}$
根据分式的基本性质，约去公因式$(x - 2)$（此时$x ≠ 2$，保证分式有意义），得到：
$\dfrac{x + 2}{x - 2}$
【答案】
$\dfrac{x + 2}{x - 2}$
【知识点】
分式约分；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是分式约分的基础题，解题的核心是熟练掌握因式分解的常用公式，准确找到分子分母的公因式，约分过程要注意保证原分式有意义。
【难度系数】
0.85
(5)下列分式中，是最简分式的有
①$\frac{x}{2y}$；②$\frac{m+n}{m-n}$；③$\frac{a+b}{a^2+b^2}$；④$\frac{x^2 - 36}{2x + 12}$；
⑤$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$；⑥$\frac{4x - 4y}{x^2 - 2xy + y^2}$.
①②③⑤
.（填序号）①$\frac{x}{2y}$；②$\frac{m+n}{m-n}$；③$\frac{a+b}{a^2+b^2}$；④$\frac{x^2 - 36}{2x + 12}$；
⑤$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$；⑥$\frac{4x - 4y}{x^2 - 2xy + y^2}$.
答案
(5) ①②③⑤
解析
【分析】
解题前首先要明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题步骤为：先对每个分式的分子、分母分别进行因式分解（可分解的才分解），再逐一判断分子和分母是否存在公因式，没有公因式的即为最简分式，逐个排查所有分式即可得到结果。
【解析】
我们逐个判断每个分式是否为最简分式：
① 分子为$x$，分母为$2y$，二者无公因式，是最简分式；
② 分子为$m+n$，分母为$m-n$，二者无公因式，是最简分式；
③ 分子为$a+b$，分母$a^2+b^2$在实数范围内无法分解因式，二者无公因式，是最简分式；
④ 分解得分子$x^2-36=(x+6)(x-6)$，分母$2x+12=2(x+6)$，二者有公因式$x+6$，可约分为$\frac{x-6}{2}$，不是最简分式；
⑤ 分解得分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母$x^2+1$在实数范围内无法分解因式，二者无公因式，是最简分式；
⑥ 分解得分子$4x-4y=4(x-y)$，分母$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，二者有公因式$x-y$，可约分为$\frac{4}{x-y}$，不是最简分式。
综上，最简分式为①②③⑤。
【答案】
①②③⑤
【知识点】
最简分式识别，因式分解，公因式判断
【点评】
本题是分式章节的基础常规题型，核心考查最简分式的判定方法，解题关键是会对分子分母正确因式分解，准确判断是否存在公因式，熟练掌握定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确最简分式的定义：分子和分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。解题步骤为：先对每个分式的分子、分母分别进行因式分解（可分解的才分解），再逐一判断分子和分母是否存在公因式，没有公因式的即为最简分式，逐个排查所有分式即可得到结果。
【解析】
我们逐个判断每个分式是否为最简分式：
① 分子为$x$，分母为$2y$，二者无公因式，是最简分式；
② 分子为$m+n$，分母为$m-n$，二者无公因式，是最简分式；
③ 分子为$a+b$，分母$a^2+b^2$在实数范围内无法分解因式，二者无公因式，是最简分式；
④ 分解得分子$x^2-36=(x+6)(x-6)$，分母$2x+12=2(x+6)$，二者有公因式$x+6$，可约分为$\frac{x-6}{2}$，不是最简分式；
⑤ 分解得分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母$x^2+1$在实数范围内无法分解因式，二者无公因式，是最简分式；
⑥ 分解得分子$4x-4y=4(x-y)$，分母$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，二者有公因式$x-y$，可约分为$\frac{4}{x-y}$，不是最简分式。
综上，最简分式为①②③⑤。
【答案】
①②③⑤
【知识点】
最简分式识别，因式分解，公因式判断
【点评】
本题是分式章节的基础常规题型，核心考查最简分式的判定方法，解题关键是会对分子分母正确因式分解，准确判断是否存在公因式，熟练掌握定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3. 约分.
(1)$\frac{12a^4b^5}{-15a^4b^3c}$；
(2)$\frac{a^2+3ab}{a^2bc+3ab^2c}$；
(3)$\frac{12a^3(y-x)^2}{27(x-y)}$。
(1)$\frac{12a^4b^5}{-15a^4b^3c}$；
(2)$\frac{a^2+3ab}{a^2bc+3ab^2c}$；
(3)$\frac{12a^3(y-x)^2}{27(x-y)}$。
答案
(1) $\frac{4b^2}{-5c}$
(2) $\frac{1}{bc}$
(3) $\frac{4a^3(x-y)}{9}$
(2) $\frac{1}{bc}$
(3) $\frac{4a^3(x-y)}{9}$
解析
【分析】
分式约分的核心是先确定分子和分母的公因式，再约去公因式得到最简分式。解题思路如下：①先处理系数：找分子、分母系数的最大公约数；②再处理整式部分：找相同字母（或含字母的整式）的最低次幂；③如果分子、分母是多项式，先因式分解再找公因式；最后约去所有公因式，注意符号和互为相反数的整式的幂的转换。
【解析】
(1) 确定$\frac{12a^4b^5}{-15a^4b^3c}$的公因式为$3a^4b^3$，分子分母同时除以公因式：
$\frac{12a^4b^5÷3a^4b^3}{-15a^4b^3c÷3a^4b^3}=\frac{4b^2}{-5c}$
(2) 先对分子、分母因式分解：
分子$a^2+3ab=a(a+3b)$，分母$a^2bc+3ab^2c=abc(a+3b)$
公因式为$a(a+3b)$，分子分母同时除以公因式：
$\frac{a(a+3b)÷[a(a+3b)]}{abc(a+3b)÷[a(a+3b)]}=\frac{1}{bc}$
(3) 由平方的非负性可得$(y-x)^2=(x-y)^2$，原式转化为$\frac{12a^3(x-y)^2}{27(x-y)}$，公因式为$3(x-y)$，分子分母同时除以公因式：
$\frac{12a^3(x-y)^2÷3(x-y)}{27(x-y)÷3(x-y)}=\frac{4a^3(x-y)}{9}$
【答案】
(1) $\frac{4b^2}{-5c}$；(2) $\frac{1}{bc}$；(3) $\frac{4a^3(x-y)}{9}$
【知识点】
分式约分，因式分解，幂的运算
【点评】
本题考查分式约分的基本技能，解题的关键是正确确定公因式，遇到多项式要先因式分解，同时注意互为相反数的整式的偶次幂相等的性质，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
分式约分的核心是先确定分子和分母的公因式，再约去公因式得到最简分式。解题思路如下：①先处理系数：找分子、分母系数的最大公约数；②再处理整式部分：找相同字母（或含字母的整式）的最低次幂；③如果分子、分母是多项式，先因式分解再找公因式；最后约去所有公因式，注意符号和互为相反数的整式的幂的转换。
【解析】
(1) 确定$\frac{12a^4b^5}{-15a^4b^3c}$的公因式为$3a^4b^3$，分子分母同时除以公因式：
$\frac{12a^4b^5÷3a^4b^3}{-15a^4b^3c÷3a^4b^3}=\frac{4b^2}{-5c}$
(2) 先对分子、分母因式分解：
分子$a^2+3ab=a(a+3b)$，分母$a^2bc+3ab^2c=abc(a+3b)$
公因式为$a(a+3b)$，分子分母同时除以公因式：
$\frac{a(a+3b)÷[a(a+3b)]}{abc(a+3b)÷[a(a+3b)]}=\frac{1}{bc}$
(3) 由平方的非负性可得$(y-x)^2=(x-y)^2$，原式转化为$\frac{12a^3(x-y)^2}{27(x-y)}$，公因式为$3(x-y)$，分子分母同时除以公因式：
$\frac{12a^3(x-y)^2÷3(x-y)}{27(x-y)÷3(x-y)}=\frac{4a^3(x-y)}{9}$
【答案】
(1) $\frac{4b^2}{-5c}$；(2) $\frac{1}{bc}$；(3) $\frac{4a^3(x-y)}{9}$
【知识点】
分式约分，因式分解，幂的运算
【点评】
本题考查分式约分的基本技能，解题的关键是正确确定公因式，遇到多项式要先因式分解，同时注意互为相反数的整式的偶次幂相等的性质，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
