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3. 将下列分式中字母的系数化为整数.
(1)$\dfrac{0.01x + 0.5}{0.3x - 0.04}$；
(2)$\dfrac{\dfrac{1}{5}x - 2y}{0.3x + y}$.
(1)$\dfrac{0.01x + 0.5}{0.3x - 0.04}$；
(2)$\dfrac{\dfrac{1}{5}x - 2y}{0.3x + y}$.
答案
(1) $\frac{x+50}{30x-4}$
(2) $\frac{2x-20y}{3x+10y}$
(2) $\frac{2x-20y}{3x+10y}$
解析
【分析】
要将分式中字母的系数化为整数，核心依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先观察分子、分母各项系数的特点：
(1) 中系数均为小数，最多有2位小数，因此给分子、分母同时乘100即可消去所有小数；
(2) 中系数既有分数又有小数，所有系数分母的最小公倍数是10，因此给分子、分母同时乘10即可将所有系数化为整数，注意乘的时候要覆盖分子、分母的每一项，不能漏乘。
【解析】
(1) 根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘100：
$\dfrac{0.01x + 0.5}{0.3x - 0.04}=\dfrac{(0.01x + 0.5)×100}{(0.3x - 0.04)×100}=\dfrac{0.01x×100 + 0.5×100}{0.3x×100 - 0.04×100}=\dfrac{x+50}{30x-4}$
(2) 根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘10：
$\dfrac{\dfrac{1}{5}x - 2y}{0.3x + y}=\dfrac{(\dfrac{1}{5}x - 2y)×10}{(0.3x + y)×10}=\dfrac{\dfrac{1}{5}x×10 - 2y×10}{0.3x×10 + y×10}=\dfrac{2x-20y}{3x+10y}$
【答案】
(1) $\dfrac{x+50}{30x-4}$
(2) $\dfrac{2x-20y}{3x+10y}$
【知识点】
分式的基本性质、小数与分数运算
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题的关键是准确找到分子、分母各项系数的公共乘数，计算时要注意给每一项都乘相同的数，避免漏乘常数项导致错误。
【难度系数】
0.8
要将分式中字母的系数化为整数，核心依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先观察分子、分母各项系数的特点：
(1) 中系数均为小数，最多有2位小数，因此给分子、分母同时乘100即可消去所有小数；
(2) 中系数既有分数又有小数，所有系数分母的最小公倍数是10，因此给分子、分母同时乘10即可将所有系数化为整数，注意乘的时候要覆盖分子、分母的每一项，不能漏乘。
【解析】
(1) 根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘100：
$\dfrac{0.01x + 0.5}{0.3x - 0.04}=\dfrac{(0.01x + 0.5)×100}{(0.3x - 0.04)×100}=\dfrac{0.01x×100 + 0.5×100}{0.3x×100 - 0.04×100}=\dfrac{x+50}{30x-4}$
(2) 根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘10：
$\dfrac{\dfrac{1}{5}x - 2y}{0.3x + y}=\dfrac{(\dfrac{1}{5}x - 2y)×10}{(0.3x + y)×10}=\dfrac{\dfrac{1}{5}x×10 - 2y×10}{0.3x×10 + y×10}=\dfrac{2x-20y}{3x+10y}$
【答案】
(1) $\dfrac{x+50}{30x-4}$
(2) $\dfrac{2x-20y}{3x+10y}$
【知识点】
分式的基本性质、小数与分数运算
【点评】
本题是分式化简的基础题型，解题的关键是准确找到分子、分母各项系数的公共乘数，计算时要注意给每一项都乘相同的数，避免漏乘常数项导致错误。
【难度系数】
0.8
4. 在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？
(1)$\frac{x}{3y}=\frac{2xz}{6yz}(z≠0)$；
(2)
(1)$\frac{x}{3y}=\frac{2xz}{6yz}(z≠0)$；
(2)
答案
(1) 分式的分子和分母同乘 2z.
(2) 分式的分子和分母同除以$(x+y)$.
(2) 分式的分子和分母同除以$(x+y)$.
解析
【分析】
解这类题的核心依据是分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先对比等式左右两边分子、分母的变化，判断变形的方式：
1. 第(1)问：观察左边到右边，分子从x变为2xz，分母从3y变为6yz，都乘了同一个整式2z，题目已经给出z≠0，符合分式基本性质的要求。
2. 第(2)问：先对左边的分母用平方差公式因式分解，得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，对比左右两边，分子从$(x+y)^2$变为$x+y$，分母从$(x+y)(x-y)$变为$x-y$，都除以了同一个整式$(x+y)$，分式有意义的前提下$x+y≠0$，符合变形要求。
【解析】
(1) 已知$z≠0$，将左边分式$\frac{x}{3y}$的分子、分母同时乘$2z$：
分子：$x × 2z = 2xz$，分母：$3y × 2z = 6yz$，即可得到右边的$\frac{2xz}{6yz}$。
(2) 首先利用平方差公式对左边分式的分母因式分解：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，因此左边分式可写为$\frac{(x+y)^2}{(x+y)(x-y)}$；
当$x+y ≠ 0$时，将分子、分母同时除以公因式$(x+y)$：
分子：$(x+y)^2 ÷ (x+y) = x+y$，分母：$(x+y)(x-y) ÷ (x+y) = x-y$，即可得到右边的$\frac{x+y}{x-y}$。
【答案】
(1) 分式的分子和分母同乘 2z.
(2) 分式的分子和分母同除以$(x+y)$.
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题关键是准确观察分子分母的变化规律，注意变形时所乘或除的整式必须不为0，第二问需要先因式分解找到公因式，是后续分式约分运算的基础。
【难度系数】
0.85
解这类题的核心依据是分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先对比等式左右两边分子、分母的变化，判断变形的方式：
1. 第(1)问：观察左边到右边，分子从x变为2xz，分母从3y变为6yz，都乘了同一个整式2z，题目已经给出z≠0，符合分式基本性质的要求。
2. 第(2)问：先对左边的分母用平方差公式因式分解，得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，对比左右两边，分子从$(x+y)^2$变为$x+y$，分母从$(x+y)(x-y)$变为$x-y$，都除以了同一个整式$(x+y)$，分式有意义的前提下$x+y≠0$，符合变形要求。
【解析】
(1) 已知$z≠0$，将左边分式$\frac{x}{3y}$的分子、分母同时乘$2z$：
分子：$x × 2z = 2xz$，分母：$3y × 2z = 6yz$，即可得到右边的$\frac{2xz}{6yz}$。
(2) 首先利用平方差公式对左边分式的分母因式分解：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，因此左边分式可写为$\frac{(x+y)^2}{(x+y)(x-y)}$；
当$x+y ≠ 0$时，将分子、分母同时除以公因式$(x+y)$：
分子：$(x+y)^2 ÷ (x+y) = x+y$，分母：$(x+y)(x-y) ÷ (x+y) = x-y$，即可得到右边的$\frac{x+y}{x-y}$。
【答案】
(1) 分式的分子和分母同乘 2z.
(2) 分式的分子和分母同除以$(x+y)$.
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题关键是准确观察分子分母的变化规律，注意变形时所乘或除的整式必须不为0，第二问需要先因式分解找到公因式，是后续分式约分运算的基础。
【难度系数】
0.85
5. 已知分式$\dfrac{|x|-2}{x^2+2x}$。
(1)当$x$为何值时，此分式有意义？
(2)当$x$为何值时，此分式的值为零？
(3)请为$x$选取一个合适的值，并求出此时分式的值。
(1)当$x$为何值时，此分式有意义？
(2)当$x$为何值时，此分式的值为零？
(3)请为$x$选取一个合适的值，并求出此时分式的值。
答案
(1) $x≠0$ 且 $x≠-2$
(2) $x=2$
(3) 答案不唯一，如当$x=3$时，原式$=\frac{1}{15}$.
(2) $x=2$
(3) 答案不唯一，如当$x=3$时，原式$=\frac{1}{15}$.
解析
【分析】
本题围绕分式的基本性质设置三个小问，解题思路如下：(1)分式有意义的核心条件是分母不为0，因此只需令分母的代数式不等于0，解出x的取值范围即可；(2)分式值为0需要同时满足两个条件：分子为0，且分母不为0，先求分子为0时x的取值，再排除使分母为0的取值即可；(3)选取的x只要满足(1)中x的取值范围，代入分式计算即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 要使分式有意义，则分母不为0，即：
$x^2+2x ≠ 0$
因式分解得 $x(x+2) ≠ 0$
因此$x ≠ 0$且$x+2 ≠ 0$，解得$x ≠ 0$且$x ≠ -2$。
(2) 要使分式的值为0，需同时满足分子为0，且分母不为0：
首先令分子$|x|-2=0$，解得$x=\pm 2$；
结合(1)中分母不为0的条件$x ≠ 0$且$x ≠ -2$，排除$x=-2$，因此$x=2$。
(3) 选取的x只需满足$x ≠ 0$且$x ≠ -2$即可，例如取$x=3$，代入分式得：
原式$=\dfrac{|3|-2}{3^2+2× 3}=\dfrac{3-2}{9+6}=\dfrac{1}{15}$。
【答案】
(1) $x≠0$ 且 $x≠-2$
(2) $x=2$
(3) 答案不唯一，如当$x=3$时，原式$=\frac{1}{15}$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为0的条件；分式求值
【点评】
本题属于分式基础题，重点考查对分式性质的理解，尤其要注意分式值为0的情况不能忽略分母不为0的限制，避免错解；第三问为开放性问题，只要选取的x使分式有意义即可。
【难度系数】
0.8
本题围绕分式的基本性质设置三个小问，解题思路如下：(1)分式有意义的核心条件是分母不为0，因此只需令分母的代数式不等于0，解出x的取值范围即可；(2)分式值为0需要同时满足两个条件：分子为0，且分母不为0，先求分子为0时x的取值，再排除使分母为0的取值即可；(3)选取的x只要满足(1)中x的取值范围，代入分式计算即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 要使分式有意义，则分母不为0，即：
$x^2+2x ≠ 0$
因式分解得 $x(x+2) ≠ 0$
因此$x ≠ 0$且$x+2 ≠ 0$，解得$x ≠ 0$且$x ≠ -2$。
(2) 要使分式的值为0，需同时满足分子为0，且分母不为0：
首先令分子$|x|-2=0$，解得$x=\pm 2$；
结合(1)中分母不为0的条件$x ≠ 0$且$x ≠ -2$，排除$x=-2$，因此$x=2$。
(3) 选取的x只需满足$x ≠ 0$且$x ≠ -2$即可，例如取$x=3$，代入分式得：
原式$=\dfrac{|3|-2}{3^2+2× 3}=\dfrac{3-2}{9+6}=\dfrac{1}{15}$。
【答案】
(1) $x≠0$ 且 $x≠-2$
(2) $x=2$
(3) 答案不唯一，如当$x=3$时，原式$=\frac{1}{15}$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为0的条件；分式求值
【点评】
本题属于分式基础题，重点考查对分式性质的理解，尤其要注意分式值为0的情况不能忽略分母不为0的限制，避免错解；第三问为开放性问题，只要选取的x使分式有意义即可。
【难度系数】
0.8
6. 甲、乙两码头相距$x$ km. 已知船在静水中的速度是$a$ km/h，水流的速度是$b$ km/h，且$a＞b$. 那么船往返甲、乙两码头一次所需的时间是多少小时？
答案
$(\frac{x}{a+b}+\frac{x}{a-b})\ \mathrm{h}$
解析
【分析】
解题时先明确船往返两码头包含两个行驶过程：顺流行驶、逆流行驶。首先回忆流水行船的速度规律：顺流时船的实际速度=静水速度+水流速度，逆流时船的实际速度=静水速度-水流速度；再结合行程问题基本公式“时间=路程÷速度”，分别计算两个过程的行驶时间，最后将两个时间相加即可得到往返总时间。
【解析】
1. 计算顺流行驶时间：
船顺流的实际速度为$(a+b)\mathrm{km/h}$，根据$时间=路程÷ 速度$，顺流行驶$x\ \mathrm{km}$的时间为$\frac{x}{a+b}\ \mathrm{h}$。
2. 计算逆流行驶时间：
船逆流的实际速度为$(a-b)\mathrm{km/h}$，同理，逆流行驶$x\ \mathrm{km}$的时间为$\frac{x}{a-b}\ \mathrm{h}$。
3. 计算往返总时间：
往返一次的总时间为顺流时间与逆流时间之和，即$(\frac{x}{a+b}+\frac{x}{a-b})\ \mathrm{h}$。
【答案】
$(\frac{x}{a+b}+\frac{x}{a-b})\ \mathrm{h}$
【知识点】
流水行船速度关系、列代数式、行程问题基本公式
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题的关键是准确区分顺流、逆流状态下船的实际行驶速度，避免将两种速度的计算方式混淆，再结合行程问题的数量关系列式即可。
【难度系数】
0.8
解题时先明确船往返两码头包含两个行驶过程：顺流行驶、逆流行驶。首先回忆流水行船的速度规律：顺流时船的实际速度=静水速度+水流速度，逆流时船的实际速度=静水速度-水流速度；再结合行程问题基本公式“时间=路程÷速度”，分别计算两个过程的行驶时间，最后将两个时间相加即可得到往返总时间。
【解析】
1. 计算顺流行驶时间：
船顺流的实际速度为$(a+b)\mathrm{km/h}$，根据$时间=路程÷ 速度$，顺流行驶$x\ \mathrm{km}$的时间为$\frac{x}{a+b}\ \mathrm{h}$。
2. 计算逆流行驶时间：
船逆流的实际速度为$(a-b)\mathrm{km/h}$，同理，逆流行驶$x\ \mathrm{km}$的时间为$\frac{x}{a-b}\ \mathrm{h}$。
3. 计算往返总时间：
往返一次的总时间为顺流时间与逆流时间之和，即$(\frac{x}{a+b}+\frac{x}{a-b})\ \mathrm{h}$。
【答案】
$(\frac{x}{a+b}+\frac{x}{a-b})\ \mathrm{h}$
【知识点】
流水行船速度关系、列代数式、行程问题基本公式
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题的关键是准确区分顺流、逆流状态下船的实际行驶速度，避免将两种速度的计算方式混淆，再结合行程问题的数量关系列式即可。
【难度系数】
0.8
