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4. 问题：当$a$为何值时，分式$\dfrac{a^2 + 6a + 9}{a^2 - 9}$无意义？
下面是小明的解答过程：
解：原式$=\dfrac{(a + 3)^2}{(a - 3)(a + 3)}=\dfrac{a + 3}{a - 3}$.
由$a - 3 = 0$，得$a = 3$.
$\therefore$当$a = 3$时，分式无意义.
你认为小明的解答过程正确吗？如果不正确，请说明理由.
下面是小明的解答过程：
解：原式$=\dfrac{(a + 3)^2}{(a - 3)(a + 3)}=\dfrac{a + 3}{a - 3}$.
由$a - 3 = 0$，得$a = 3$.
$\therefore$当$a = 3$时，分式无意义.
你认为小明的解答过程正确吗？如果不正确，请说明理由.
答案
解：小明的解答过程不正确.
理由：当 $a = 3$ 时，仅是化简后的分式 $\frac{a+3}{a-3}$ 无意义，而原分式无意义的情况是原分式的分母 $a^2-9=0$，解得 $a=\pm3$.
$\therefore$小明的解答过程不正确.
理由：当 $a = 3$ 时，仅是化简后的分式 $\frac{a+3}{a-3}$ 无意义，而原分式无意义的情况是原分式的分母 $a^2-9=0$，解得 $a=\pm3$.
$\therefore$小明的解答过程不正确.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确分式无意义的判断规则：分式无意义的条件是原分式的分母等于0，不能提前对分式约分，因为约分的前提是约去的公因式不为0，若提前约分，会漏掉使公因式为0、且让原分式无意义的取值。解题时先指出小明的错误根源是提前约分，再计算原分式分母为0时a的取值，对比小明的结果即可说明理由。
【解析】
解：小明的解答过程不正确。
判断分式有无意义时，需以原分式的分母作为判断依据，不能先化简分式。
原分式的分母为$a^2-9$，令$a^2-9=0$，因式分解得$(a+3)(a-3)=0$，解得$a=3$或$a=-3$，即当$a=\pm3$时，原分式都无意义。
小明提前约去了公因式$(a+3)$，相当于默认$a+3≠0$，漏掉了$a=-3$这个使原分式无意义的取值，仅考虑了化简后分式的分母为0的情况，因此解答错误。
【答案】
小明的解答过程不正确.
理由：当 $a = 3$ 时，仅是化简后的分式 $\frac{a+3}{a-3}$ 无意义，而原分式无意义的情况是原分式的分母 $a^2-9=0$，解得 $a=\pm3$.
$\therefore$小明的解答过程不正确.
【知识点】
分式无意义的条件；分式约分的注意事项
【点评】
本题是分式部分的典型易错题，核心易错点是判断分式有无意义时提前对分式约分，忽略约分的适用前提，导致漏解。解题时需注意：判断分式有无意义、值为0的情况，都要以原分式为依据，不能先化简。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要明确分式无意义的判断规则：分式无意义的条件是原分式的分母等于0，不能提前对分式约分，因为约分的前提是约去的公因式不为0，若提前约分，会漏掉使公因式为0、且让原分式无意义的取值。解题时先指出小明的错误根源是提前约分，再计算原分式分母为0时a的取值，对比小明的结果即可说明理由。
【解析】
解：小明的解答过程不正确。
判断分式有无意义时，需以原分式的分母作为判断依据，不能先化简分式。
原分式的分母为$a^2-9$，令$a^2-9=0$，因式分解得$(a+3)(a-3)=0$，解得$a=3$或$a=-3$，即当$a=\pm3$时，原分式都无意义。
小明提前约去了公因式$(a+3)$，相当于默认$a+3≠0$，漏掉了$a=-3$这个使原分式无意义的取值，仅考虑了化简后分式的分母为0的情况，因此解答错误。
【答案】
小明的解答过程不正确.
理由：当 $a = 3$ 时，仅是化简后的分式 $\frac{a+3}{a-3}$ 无意义，而原分式无意义的情况是原分式的分母 $a^2-9=0$，解得 $a=\pm3$.
$\therefore$小明的解答过程不正确.
【知识点】
分式无意义的条件；分式约分的注意事项
【点评】
本题是分式部分的典型易错题，核心易错点是判断分式有无意义时提前对分式约分，忽略约分的适用前提，导致漏解。解题时需注意：判断分式有无意义、值为0的情况，都要以原分式为依据，不能先化简。
【难度系数】
0.6
5. 先约分，再求值：$\dfrac{x^2 - 4y^2}{4x^2 - 8xy}$。其中，$x=2$，$y=-3$。
答案
解：$\frac{x^2 - 4y^2}{4x^2 - 8xy}$
$=\frac{(x+2y)(x-2y)}{4x(x-2y)}$
$=\frac{x+2y}{4x}$.
将 $x=2$，$y=-3$ 代入，得
原式$=\frac{2-2×3}{4×2}$
$=-\frac{1}{2}$.
$=\frac{(x+2y)(x-2y)}{4x(x-2y)}$
$=\frac{x+2y}{4x}$.
将 $x=2$，$y=-3$ 代入，得
原式$=\frac{2-2×3}{4×2}$
$=-\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
遇到分式先约分再求值的题目，优先化简再代入计算，可减少计算量。解题思路如下：①先对分子因式分解：分子$x^2-4y^2$是平方差形式，可利用平方差公式分解为$(x+2y)(x-2y)$；②再对分母因式分解：分母$4x^2-8xy$两项含有公因式$4x$，提取公因式后可得$4x(x-2y)$；③找出分子分母的公因式$(x-2y)$，判断公因式不为0后约去，得到最简分式；④最后将$x$、$y$的值代入最简分式计算结果即可。
【解析】
解：$\dfrac{x^2 - 4y^2}{4x^2 - 8xy}$
$=\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{4x(x-2y)}$
$=\dfrac{x+2y}{4x}$
将 $x=2$，$y=-3$ 代入，得
原式$=\dfrac{2+2×(-3)}{4×2}=\dfrac{2-6}{8}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式约分；因式分解；分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考查先化简再求值的运算思路，解题关键是正确对分子分母进行因式分解，准确约去公因式，化简后代入计算能有效降低出错概率，需注意约分时公因式不能为0。
【难度系数】
0.8
遇到分式先约分再求值的题目，优先化简再代入计算，可减少计算量。解题思路如下：①先对分子因式分解：分子$x^2-4y^2$是平方差形式，可利用平方差公式分解为$(x+2y)(x-2y)$；②再对分母因式分解：分母$4x^2-8xy$两项含有公因式$4x$，提取公因式后可得$4x(x-2y)$；③找出分子分母的公因式$(x-2y)$，判断公因式不为0后约去，得到最简分式；④最后将$x$、$y$的值代入最简分式计算结果即可。
【解析】
解：$\dfrac{x^2 - 4y^2}{4x^2 - 8xy}$
$=\dfrac{(x+2y)(x-2y)}{4x(x-2y)}$
$=\dfrac{x+2y}{4x}$
将 $x=2$，$y=-3$ 代入，得
原式$=\dfrac{2+2×(-3)}{4×2}=\dfrac{2-6}{8}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式约分；因式分解；分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考查先化简再求值的运算思路，解题关键是正确对分子分母进行因式分解，准确约去公因式，化简后代入计算能有效降低出错概率，需注意约分时公因式不能为0。
【难度系数】
0.8
6. 若$x - y = 5xy$，求$\dfrac{3x - 14xy - 3y}{y - 3xy - x}$的值。
答案
解：$\because x-y=5xy$，
$\therefore \frac{3x-14xy-3y}{y-3xy-x}$
$=\frac{3(x-y)-14xy}{-(x-y)-3xy}$
$=\frac{3×5xy-14xy}{-5xy-3xy}$
$=\frac{xy}{-8xy}$
$=-\frac{1}{8}$.
$\therefore \frac{3x-14xy-3y}{y-3xy-x}$
$=\frac{3(x-y)-14xy}{-(x-y)-3xy}$
$=\frac{3×5xy-14xy}{-5xy-3xy}$
$=\frac{xy}{-8xy}$
$=-\frac{1}{8}$.
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求分式的结构特征：已知给出了$x-y$与$xy$的等量关系，所求分式的分子、分母中均含有$x-y$和$xy$两类项，因此可先将分子、分母进行恒等变形，整理出含$(x-y)$的整体形式，再将已知条件$x-y=5xy$整体代入，最后通过约分化简即可求出结果，无需单独求解$x$、$y$的具体值。
【解析】
解：$\because x - y = 5xy$，
$\therefore \dfrac{3x - 14xy - 3y}{y - 3xy - x}$
$=\dfrac{3(x - y) - 14xy}{-(x - y) - 3xy}$
将$x - y = 5xy$代入上式，得：
$=\dfrac{3×5xy - 14xy}{-5xy - 3xy}$
$=\dfrac{15xy - 14xy}{-8xy}$
$=\dfrac{xy}{-8xy}$
由题意可知$xy≠0$（若$xy=0$，已知条件和所求分式均无意义），约分可得：
$=-\dfrac{1}{8}$
【答案】
$-\dfrac{1}{8}$
【知识点】
分式化简求值、整体代入法、代数式恒等变形
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，解题的关键是找准已知条件与所求式子的结构关联，通过对所求式子的变形将已知整体代入，避免了单独求解未知数的繁琐，掌握此类变形技巧能大幅提升分式求值类题目的解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件和所求分式的结构特征：已知给出了$x-y$与$xy$的等量关系，所求分式的分子、分母中均含有$x-y$和$xy$两类项，因此可先将分子、分母进行恒等变形，整理出含$(x-y)$的整体形式，再将已知条件$x-y=5xy$整体代入，最后通过约分化简即可求出结果，无需单独求解$x$、$y$的具体值。
【解析】
解：$\because x - y = 5xy$，
$\therefore \dfrac{3x - 14xy - 3y}{y - 3xy - x}$
$=\dfrac{3(x - y) - 14xy}{-(x - y) - 3xy}$
将$x - y = 5xy$代入上式，得：
$=\dfrac{3×5xy - 14xy}{-5xy - 3xy}$
$=\dfrac{15xy - 14xy}{-8xy}$
$=\dfrac{xy}{-8xy}$
由题意可知$xy≠0$（若$xy=0$，已知条件和所求分式均无意义），约分可得：
$=-\dfrac{1}{8}$
【答案】
$-\dfrac{1}{8}$
【知识点】
分式化简求值、整体代入法、代数式恒等变形
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，解题的关键是找准已知条件与所求式子的结构关联，通过对所求式子的变形将已知整体代入，避免了单独求解未知数的繁琐，掌握此类变形技巧能大幅提升分式求值类题目的解题效率。
【难度系数】
0.7
7. 小明在爬一座山时，第一阶段的平均速度为$v$，所用时间为$t_1$；第二阶段的平均速度为$\frac{1}{2}v$，所用时间为$t_2$.下山时，小明的平均速度保持为$4v$.若小明下山所走路程和上山所走路程相同，则小明下山用了多长时间？
答案
解：根据题意，得上山或下山所走的路程为 $vt_1+\frac{1}{2}vt_2$.
$\therefore$小明下山所用的时间为 $\frac{vt_1+\frac{1}{2}vt_2}{4v}=$
$\frac{2t_1+t_2}{8}$.
$\therefore$小明下山所用的时间为 $\frac{vt_1+\frac{1}{2}vt_2}{4v}=$
$\frac{2t_1+t_2}{8}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确行程问题的核心数量关系：路程=速度×时间，时间=路程÷速度。解题可按三步思考：第一步，计算上山总路程，上山分为两个阶段，分别算出两个阶段的路程相加，所得结果就是上山总路程，由题可知上下山路程相等，因此该结果也是下山的路程；第二步，已知下山平均速度为4v，用下山路程除以下山速度，即可得到表示下山时间的代数式；第三步，对得到的分式进行化简，约去公因式、整理为最简形式即可得到最终结果。
【解析】
首先计算上山的总路程：
第一阶段路程：$s_1=vt_1$
第二阶段路程：$s_2=\frac{1}{2}vt_2$
上山总路程（即下山总路程）：$s=s_1+s_2=vt_1+\frac{1}{2}vt_2$
根据“时间=路程÷速度”，下山速度为$4v$，因此下山时间为：
$t=\frac{s}{4v}=\frac{vt_1+\frac{1}{2}vt_2}{4v}$
化简代数式：先提取分子的公因式$v$，结合实际意义$v≠0$，约去分子分母的公因式$v$，可得：
$t=\frac{t_1+\frac{1}{2}t_2}{4}$
分子分母同乘2消去分子中的分数，最终化简为：
$t=\frac{2t_1+t_2}{8}$
【答案】
$\frac{2t_1+t_2}{8}$
【知识点】
行程问题基本关系，列代数式，分式化简
【点评】
本题是基础的代数式应用类题目，重点考察行程中各数量的对应关系，计算时优先提取公因式约分可有效降低化简难度，解题时注意结合实际意义确认速度不为0，保证化简的合理性。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确行程问题的核心数量关系：路程=速度×时间，时间=路程÷速度。解题可按三步思考：第一步，计算上山总路程，上山分为两个阶段，分别算出两个阶段的路程相加，所得结果就是上山总路程，由题可知上下山路程相等，因此该结果也是下山的路程；第二步，已知下山平均速度为4v，用下山路程除以下山速度，即可得到表示下山时间的代数式；第三步，对得到的分式进行化简，约去公因式、整理为最简形式即可得到最终结果。
【解析】
首先计算上山的总路程：
第一阶段路程：$s_1=vt_1$
第二阶段路程：$s_2=\frac{1}{2}vt_2$
上山总路程（即下山总路程）：$s=s_1+s_2=vt_1+\frac{1}{2}vt_2$
根据“时间=路程÷速度”，下山速度为$4v$，因此下山时间为：
$t=\frac{s}{4v}=\frac{vt_1+\frac{1}{2}vt_2}{4v}$
化简代数式：先提取分子的公因式$v$，结合实际意义$v≠0$，约去分子分母的公因式$v$，可得：
$t=\frac{t_1+\frac{1}{2}t_2}{4}$
分子分母同乘2消去分子中的分数，最终化简为：
$t=\frac{2t_1+t_2}{8}$
【答案】
$\frac{2t_1+t_2}{8}$
【知识点】
行程问题基本关系，列代数式，分式化简
【点评】
本题是基础的代数式应用类题目，重点考察行程中各数量的对应关系，计算时优先提取公因式约分可有效降低化简难度，解题时注意结合实际意义确认速度不为0，保证化简的合理性。
【难度系数】
0.8
