1. 某位同学掷铅球，如果铅球掷出后离地面的高度$y$(单位:$\mathrm{m}$)关于掷出的水平距离$x$(单位:$\mathrm{m}$)的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$，那么铅球在运动过程中离地面的最大高度为（）

A.$\dfrac{13}{8}$ m
B.$\dfrac{13}{4}$ m
C.$1$ m
D.$2$ m

1. D

【分析】
本题考查二次函数最值在实际问题中的应用，解题思路如下：首先明确铅球的运动轨迹是开口向下的抛物线，抛物线顶点的纵坐标就是铅球离地面的最大高度；接下来可以用配方法将函数转化为顶点式直接得到最大值，也可以用顶点纵坐标公式计算，两种方法均符合当前学段的知识要求。
【解析】
我们用配方法求解，步骤如下：
1. 对函数解析式提取二次项系数：
$y=-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{8}(x^2-4x)+\dfrac{3}{2}$
2. 括号内配方，凑完全平方式：
$y=-\dfrac{1}{8}(x^2-4x+4-4)+\dfrac{3}{2}$
3. 整理得到顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{8}(x-2)^2+(-\dfrac{1}{8})×(-4)+\dfrac{3}{2}\\&=-\dfrac{1}{8}(x-2)^2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\\&=-\dfrac{1}{8}(x-2)^2+2\end{aligned}$
因为二次项系数$-\dfrac{1}{8}＜0$，抛物线开口向下，当$x=2$时，$y$取最大值为$2\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数最值；配方法
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，核心是将实际问题的最大高度转化为二次函数的顶点纵坐标，只要熟练掌握配方法或顶点坐标公式就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

2. 如图，用长为12 m的木条做一个有一条横档的矩形窗户，为使透进的光线最多，窗户的高AB（木条粗细忽略不计）应为（）


A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.4 m

2. C

【分析】
要使透进的光线最多，本质是求矩形窗户的最大面积，属于二次函数最值的实际应用问题。首先设高AB的长度为x m，结合木条总长度表示出窗户水平边的长度，再列出面积关于x的二次函数解析式，最后利用二次函数的性质求最大值对应的x值即可。
【解析】
解：设窗户的高AB为$x\ \mathrm{m}$，窗户面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由图可知，窗户共有2条竖直边、3条长度相等的水平边，木条总长12 m，因此每条水平边的长度为$\frac{12-2x}{3}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=x·\frac{12-2x}{3}\\&=-\frac{2}{3}x^2+4x\end{aligned}$
该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值。对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{2}{3},b=4$得：
$x=-\frac{4}{2×(-\frac{2}{3})}=3$
即当AB为3 m时，窗户面积最大，透进光线最多。
【答案】
C
【知识点】
二次函数最值；矩形面积计算；函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是理清边长的数量关系，正确列出面积的函数表达式，再利用二次函数性质求解，是二次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

3. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）为1 m，水流能达到的最大高度为1.8 m，则水流喷射的最远水平距离OC是（）

A.6 m
B.5 m
C.4 m
D.1 m

（第3题图）（第4题图）

3. B

【分析】
解决这道题的核心是利用二次函数的性质求解实际问题：首先观察抛物线特征，已知最高点（顶点）坐标为$(2,1.8)$，因此优先选择顶点式设二次函数解析式；再结合已知的喷水头高度即点$B(0,1)$代入求出解析式的未知系数；最后求最远水平距离$OC$，即求$y=0$时自变量$x$的正数值即可。
【解析】
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，由抛物线顶点为$(2,1.8)$，可得$h=2,k=1.8$，即解析式为：
$y=a(x-2)^2+1.8$
由$OB=1\mathrm{m}$可知，当$x=0$时$y=1$，将$(0,1)$代入解析式：
$1=a(0-2)^2+1.8$
化简得$4a=-0.8$，解得$a=-0.2$，因此抛物线解析式为：
$y=-0.2(x-2)^2+1.8$
求$OC$长度即求$y=0$时$x$的正根，令$y=0$：
$0=-0.2(x-2)^2+1.8$
整理得$(x-2)^2=9$，开方得$x-2=\pm3$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$（水平距离为正，舍去），因此$OC=5\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数顶点式，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的常见实际应用题，解题关键是根据抛物线的已知特征选择合适的解析式形式，结合实际意义对计算结果进行取舍，掌握二次函数基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

4.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=3\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$.点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿AB向点B运动;同时,点Q从点B出发,以2 cm/s的速度沿BC向点C运动.当点Q到达点C时,P,Q两点同时停止运动.在此运动过程中,$△ PBQ$的面积最大是.

4. $\dfrac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$

【分析】
这是动点结合二次函数求最值的问题，解题思路如下：首先设运动时间为参数t，根据点的运动停止条件确定t的取值范围；再用含t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边长度，结合直角三角形面积公式得到面积关于t的函数表达式；最后利用二次函数的性质，在t的取值范围内求出面积的最大值即可。
【解析】
设运动时间为$ t\ \mathrm{s} $，
已知点Q从B到C的速度为$ 2\ \mathrm{cm/s} $，$ BC=4\ \mathrm{cm} $，点Q到达C时两点同时停止运动，因此t的取值范围为$ 0≤ t≤2 $。
由题意得：$ AP = 1× t = t\ \mathrm{cm} $，$ BQ = 2× t = 2t\ \mathrm{cm} $，
则$ PB = AB - AP = (3-t)\ \mathrm{cm} $。
因为$ ∠ B=90° $，所以$ △ PBQ $的面积：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}× PB× BQ\\&=\frac{1}{2}×(3-t)×2t\\&=-t^2+3t\end{aligned}$
该函数是开口向下的二次函数，顶点处取得最大值，顶点横坐标为$ t=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2} $，$ \frac{3}{2} $在$ 0≤ t≤2 $的范围内，代入得：
$S_{\mathrm{最大值}}=-(\frac{3}{2})^2 + 3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\dfrac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二次函数的最值，动点问题分析，直角三角形面积计算
【点评】
本题将动点问题与二次函数最值结合，解题的核心是正确用参数表示相关线段长度，建立面积的函数表达式，同时要注意参数的实际取值范围，避免求出的最值不符合运动实际。
【难度系数】
0.7

5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的离地高度$ h $（单位：$ \mathrm{m} $）与小球的运动时间$ t $（单位：$ \mathrm{s} $）的关系近似为$ h=-5t^2 +20t $（$ 0≤ t≤4 $），则下列说法正确的是（）

A.当$ t=0.5 $和$ t=3 $时，小球的高度相同
B.当$ t=2.5 $时，小球到达最高点
C.当$ t=3.5 $时，小球回到地面
D.当$ 2＜t＜3 $时，小球处于下降阶段

5. D

【分析】
这道题考查二次函数在实际运动问题中的应用，解题核心是利用二次函数的图像与性质分析问题。首先明确给定的高度h关于时间t的函数是开口向下的二次函数，我们可以先求出它的对称轴、顶点（最高点）、零点（落地时间），再逐一验证四个选项的说法是否正确即可。
【解析】
对函数$h=-5t^2+20t$（$0≤t≤4$）分析如下：
二次函数的二次项系数$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下，
对称轴为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-5)}=2\mathrm{s}$，即$t=2$时小球到达最高点，$t＜2$时$h$随$t$增大而增大（上升阶段），$t＞2$时$h$随$t$增大而减小（下降阶段）。
逐一判断选项：
A选项：代入$t=0.5$，$h=-5×(0.5)^2+20×0.5=8.75\mathrm{m}$；代入$t=3$，$h=-5×3^2+20×3=15\mathrm{m}$，二者高度不同，A错误。
B选项：由对称轴可知$t=2$时小球到达最高点，不是$t=2.5$，B错误。
C选项：小球回到地面时$h=0$，令$-5t^2+20t=0$，解得$t=0$（抛出时刻）或$t=4$，即$t=4$时小球回到地面，C错误。
D选项：$t＞2$时小球处于下降阶段，因此$2＜t＜3$时小球在下降，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的实际应用，二次函数的图像
【点评】
本题将竖直上抛运动与二次函数结合，考查二次函数的对称轴、单调性、函数值计算和零点求解等核心内容，是二次函数实际应用的典型题型，解题时注意结合自变量的取值范围分析。
【难度系数】
0.7

6. 如图，有一块矩形空地ABCD，学校规划在其中间的一块四边形空地EFGH上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在AD，AB，BC，CD上，且$AE＝AF＝CG＝CH$，已知$AD＝20\ \mathrm{m}$，$AB＝40\ \mathrm{m}$. 有下列结论：
①铺设草坪的面积可以是$360\ \mathrm{m}^2$；
②种花的面积最大为$450\ \mathrm{m}^2$；
③$AF$的长有两个不同的值满足种花的面积为$378\ \mathrm{m}^2$.
其中，正确结论的个数是（）

A.0
B.1
C.2
D.3

（第6题图）（第7题图）

6. C

【分析】
我们可以先设$AE=AF=CG=CH=x\ \mathrm{m}$，结合边长限制确定x的取值范围为$0＜x＜20$，再分别推导草坪总面积和种花面积的表达式，结合二次函数性质、一元二次方程的求解逐一验证三个结论即可。
【解析】
设$AE=AF=CG=CH=x\ \mathrm{m}$，由$AD=20\ \mathrm{m}$可知x的取值范围是$0＜x＜20$。
矩形$ABCD$的总面积为$20×40=800\ \mathrm{m}^2$。
四块草坪的面积分别为：
$S_{△ AEF}=S_{△ CGH}=\frac{1}{2}x^2$，$S_{△ EDH}=S_{△ FBG}=\frac{1}{2}(20-x)(40-x)$，
因此草坪总面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{草}}&=2×\frac{1}{2}x^2 + 2×\frac{1}{2}(20-x)(40-x)\\&=x^2+(20-x)(40-x)\\&=2x^2-60x+800\end{aligned}$
种花面积为矩形面积减草坪面积：
$S_{\mathrm{花}}=800-(2x^2-60x+800)=-2x^2+60x$
逐一判断结论：
① 令$S_{\mathrm{草}}=360$，得$2x^2-60x+800=360$，整理为$x^2-30x+220=0$，判别式$\Delta=900-880=20＞0$，解为$x=15\pm\sqrt{5}$，两个解均满足$0＜x＜20$，故①正确；
② $S_{\mathrm{花}}=-2x^2+60x$是开口向下的二次函数，对称轴为$x=\frac{60}{2×2}=15$，在$0＜x＜20$范围内，当$x=15$时取得最大值，最大值为$-2×15^2+60×15=450\ \mathrm{m}^2$，故②正确；
③ 令$S_{\mathrm{花}}=378$，得$-2x^2+60x=378$，整理为$x^2-30x+189=0$，解得$x_1=9$，$x_2=21$，其中$x=21$超出$0＜x＜20$的范围需舍去，仅1个值符合要求，故③错误。
综上，正确结论共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合几何图形考查函数与方程的实际应用，解题的关键是合理设未知数，准确列出面积表达式，同时注意结合实际意义判断方程的解是否符合取值范围。
【难度系数】
0.6

7. 有一块梯形木板$ABCD$，$AD// BC$，$∠ BCD=90°$，$AD=4\ \mathrm{m}$，$BC=10\ \mathrm{m}$，$CD=6\ \mathrm{m}$，按如图所示的方式裁下一个矩形木板$EFCG$（点$E$在边$AB$上）。当$EF=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$时，矩形木板的面积最大，最大面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}^2$。

7. 5 25
【解析】如图,过点 A 作 $AH ⊥ BC$,垂足为 H.

$\because AD// BC,∠ BCD=90°$,
$\therefore ∠ D=180°-∠ BCD=90°$.
$\because ∠ D=∠ BCD=∠ AHC=90°$,
$\therefore$ 四边形 AHCD 是矩形.
$\therefore HC=AD=4\ \mathrm{m},AH=CD=6\ \mathrm{m}$.
$\therefore BH=BC-HC=10-4=6(\mathrm{m})$.
$\therefore BH=AH$.
$\therefore △ AHB$ 是等腰直角三角形.
$\therefore ∠ B=45°$.
$\because EF⊥ CF$,
$\therefore △ BFE$ 是等腰直角三角形.
设矩形木板 EFCG 的面积为 $S\ \mathrm{m}^2$,$EF=BF=x\ \mathrm{m}(0＜x≤ 6)$,则 $CF=BC-BF=(10-x)\mathrm{m}$.
$\therefore S=x(10-x)=-(x-5)^2+25$.
$\therefore$ 当 $x=5$ 时,$S$ 取最大值,最大值为 25.
$\therefore$ 当 $EF=5\ \mathrm{m}$ 时,矩形木板的面积最大,最大面积为 $25\ \mathrm{m}^2$.

【分析】
要解决矩形面积最大值问题，核心是建立矩形面积与EF长度的函数关系，再利用二次函数性质求最值。首先分析梯形的边角特征：已知AD//BC、∠BCD=90°，可过点A作AH⊥BC构造矩形AHCD，求出BH、AH的长度，判断△ABH的形状得到∠B的度数；再结合矩形EFCG的性质，推导△BEF的形状，得到EF与BF的等量关系；之后设EF的长度为x，用x表示出矩形的另一边FC的长度，写出面积关于x的函数表达式；最后将二次函数配方，结合自变量取值范围求出最值即可。
【解析】
如图，过点A作$AH ⊥ BC$，垂足为H。

$\because AD// BC,∠ BCD=90°$,
$\therefore ∠ D=180°-∠ BCD=90°$.
$\because ∠ D=∠ BCD=∠ AHC=90°$,
$\therefore$ 四边形 AHCD 是矩形.
$\therefore HC=AD=4\ \mathrm{m},AH=CD=6\ \mathrm{m}$.
$\therefore BH=BC-HC=10-4=6(\mathrm{m})$.
$\therefore BH=AH$.
$\therefore △ AHB$ 是等腰直角三角形.
$\therefore ∠ B=45°$.
$\because EF⊥ CF$,
$\therefore △ BFE$ 是等腰直角三角形.
设矩形木板 EFCG 的面积为 $S\ \mathrm{m}^2$,$EF=BF=x\ \mathrm{m}(0＜x≤ 6)$,则 $CF=BC-BF=(10-x)\mathrm{m}$.
$\therefore S=x(10-x)=-(x-5)^2+25$.
$\therefore$ 当 $x=5$ 时,$S$ 取最大值,最大值为 25.
【答案】
5；25
【知识点】
二次函数的最值应用；等腰直角三角形的性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题将几何图形性质与二次函数的实际应用相结合，解题的关键是通过添加辅助线推导角的度数，找到矩形邻边的数量关系，进而建立面积的函数表达式求解，考查了数形结合思想和运算能力。
【难度系数】
0.7