8. 如图，将小球从点O正上方3 m的点A处投出，把小球看成点，其飞行路线将是一条抛物线。小球的飞行高度y(单位:m)与飞出的水平距离x(单位:m)的关系近似为$y=-\frac{1}{4}x^2 + bx + c$。
(1)若当小球飞出的水平距离为1 m时，小球达到最大飞行高度，则小球达到的最大飞行高度为 m.
(2)若小球达到的最大飞行高度为4 m，求达到最大飞行高度时小球飞出的水平距离。
(3)在(2)的条件下，在小球的飞行方向上放一个截面为矩形的球筐CDEF，其中OC=5 m，CD=2 m，DE=1 m. 小球能落入筐中吗？若能，请直接写出小球落在筐底处的点的坐标；若不能，请说明理由.(不考虑其他因素)

8.【解】(1)$\dfrac{13}{4}$
(2)$\because A(0,3)$,
$\therefore c=3$.
$\therefore y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+3$.
$\because$ 小球达到的最大飞行高度为 4 m,
$\therefore \dfrac{4×(-\dfrac{1}{4})×3-b^2}{4×(-\dfrac{1}{4})}=4$.
解方程,得 $b_1=1$,$b_2=-1$.
$\therefore$ 当 $b=1$ 时,$-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{4})}=-\dfrac{1}{2×(-\dfrac{1}{4})}=2$.
当 $b=-1$ 时,$-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{4})}=-\dfrac{-1}{2×(-\dfrac{1}{4})}=-2$,不合题意,舍去.
$\therefore$ 当小球达到最大飞行高度时飞出的水平距离为 2 m.
(3)能落入筐中,小球落在筐底处的点的坐标为 $(6,0)$.

【分析】
(1) 首先由点A的坐标确定参数c的值，已知小球水平距离为1m时达到最大高度，说明抛物线对称轴为$x=1$，利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出b的值，再将$x=1$代入解析式即可算出最大飞行高度。
(2) 先代入A点坐标得$c=3$，最大飞行高度即二次函数顶点纵坐标为4，利用顶点纵坐标公式列方程求解b，结合小球向x正方向飞行的实际意义舍去不符合的b值，再代入对称轴公式即可得到最大高度对应的水平距离。
(3) 先写出(2)条件下的二次函数解析式，明确球筐的水平范围是$5≤ x≤7$，竖直落筐要求$0≤ y≤1$，令$y=0$求解x，判断解是否落在筐的水平范围内即可。
【解析】
(1) 由题意得点A坐标为$(0,3)$，代入$y=-\frac{1}{4}x^2 + bx + c$得$c=3$。
小球飞出水平距离为1m时达最大高度，即抛物线对称轴为$x=1$，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，此处$a=-\frac{1}{4}$，则：
$-\frac{b}{2×(-\frac{1}{4})}=1$，解得$b=\frac{1}{2}$。
将$x=1$代入解析式$y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+3$得：
$y=-\frac{1}{4}×1+\frac{1}{2}×1+3=\frac{13}{4}$。
(2) 由$A(0,3)$得$c=3$，解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2+bx+3$。
已知最大飞行高度为4m，即顶点纵坐标为4，由顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=4$得：
$\frac{4×(-\frac{1}{4})×3 - b^2}{4×(-\frac{1}{4})}=4$
整理得$3+b^2=4$，解得$b_1=1$，$b_2=-1$。
当$b=1$时，对称轴$x=-\frac{1}{2×(-\frac{1}{4})}=2$，符合实际意义；
当$b=-1$时，对称轴$x=-\frac{-1}{2×(-\frac{1}{4})}=-2$，水平距离为负不符合题意，舍去。
故达到最大飞行高度时小球飞出的水平距离为2m。
(3) 由(2)得函数解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2+x+3$。
球筐水平范围：$OC=5m$，$CD=2m$，故$x\in[5,7]$；落筐要求竖直高度$0≤ y≤1$。
令$y=0$，则$-\frac{1}{4}x^2+x+3=0$，整理得$x^2-4x-12=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-2$（舍去）。
$x=6$在$[5,7]$范围内，故小球能落入筐中，落在筐底的坐标为$(6,0)$。
【答案】
(1)$\dfrac{13}{4}$；(2)2 m；(3)能落入筐中，小球落在筐底处的点的坐标为$(6,0)$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合抛球的生活场景考查二次函数的应用，需要熟练掌握二次函数对称轴、顶点坐标的计算方法，解题时要注意结合实际意义对解进行筛选，是二次函数应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7

9.现有一块边长为120 cm的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大.
(1)某数学兴趣小组经讨论得出结论:在水流速度一定的情况下，水槽横截面的面积越大，通过水槽的水的流量越大.为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索.
①方案一:如图，把铁皮折成横截面为直角三角形的水槽.

已知∠ACB=90°,设AC=x(单位:cm),该水槽横截面的面积为y(单位:cm²),请你求出y关于x的函数解析式(不必写出x的取值范围),并求出当x取何值时,y的值最大,最大值是多少.
②方案二:如图,把铁皮折成横截面为等腰梯形的水槽.

若∠ABC=120°,请你求出该水槽横截面的面积的最大值,并与方案一中水槽横截面的面积最大值比较大小.
(2)假如你是该兴趣小组的成员,通过对两个方案的探究,你能得出什么结论?

9.【解】(1) ① $y=\dfrac{1}{2}x(120-x)=-\dfrac{1}{2}x^2+60x=-\dfrac{1}{2}(x-60)^2+1\ 800$.
当 $x=60\ \mathrm{cm}$ 时, $y$ 的值最大, 最大值为 $1\ 800\ \mathrm{cm}^2$.
②如图,过点 $B$ 作 $BE⊥ AD$,垂足为 $E$,过点 $C$ 作 $CF⊥ AD$,垂足为 $F$.

设 $AB=CD=x$(单位:$\mathrm{cm}$),该水槽横截面的面积为 $S$(单位:$\mathrm{cm}^2$).
易得四边形 BCFE 为矩形.
$\therefore EF=BC=(120-2x)\mathrm{cm}$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为等腰梯形,$∠ ABC=120°$,
$\therefore ∠ ABE=∠ DCF=30°$.
$\therefore AE=DF=\dfrac{1}{2}x\ \mathrm{cm},AD=(120-x)\mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中, 由勾股定理, 得 $BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\ \mathrm{cm}$.
$\therefore S=\dfrac{1}{2}· \dfrac{\sqrt{3}}{2}x(120-2x+120-x)=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}x^2+60\sqrt{3}x=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}(x-40)^2+1\ 200\sqrt{3}$.
$\therefore$ 当 $x=40\ \mathrm{cm}$ 时,$S$ 取得最大值,最大值为 $1\ 200\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$.
$\because 1\ 200\sqrt{3}＞1\ 800$,
$\therefore$ 方案二中水槽横截面的面积的最大值更大.
(2)答案不唯一,示例:折成的水槽横截面的边数越多,横截面的面积的最大值越大,因此当折的边数无限多,即折成横截面为半圆的水槽时,通过水槽的水的流量最大.

【分析】
(1)①方案一：折成直角三角形横截面水槽时，两条直角边的和等于铁皮边长120cm，设AC=x，则另一条直角边为(120-x)cm，根据直角三角形面积公式可列出y关于x的函数解析式，将解析式配方为顶点式，结合二次函数开口向下的性质即可求出最大值及对应x的值。
②方案二：计算等腰梯形面积需先确定上底、下底和高，通过作高将等腰梯形分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合∠ABC=120°可推出直角三角形的锐角为30°，设腰长为x，即可用含x的式子表示出梯形的各边长和高，代入梯形面积公式得到面积关于x的二次函数，配方求最值后与方案一的最大值比较即可。
(2)对比两个方案的最大面积，从横截面形状对最大面积的影响角度总结结论即可。
【解析】
(1) ① 折成直角三角形横截面时，两条直角边长度之和为120cm，AC=x，则另一条直角边长为(120-x)cm，由三角形面积公式得：
$y=\dfrac{1}{2}x(120-x)$
整理配方得：
$y=-\dfrac{1}{2}x^2+60x=-\dfrac{1}{2}(x-60)^2+1800$
由于二次项系数$-\dfrac{1}{2}＜0$，函数图象开口向下，因此当$x=60\ \mathrm{cm}$时，y取得最大值。
② 过点B作$BE⊥AD$，垂足为E，过点C作$CF⊥AD$，垂足为F：

可得四边形BCFE为矩形，因此$EF=BC$。
设等腰梯形的腰$AB=CD=x\ \mathrm{cm}$，则$BC=120-2x\ \mathrm{cm}$，即$EF=120-2x\ \mathrm{cm}$。
因为等腰梯形ABCD中$∠ ABC=120°$，所以$∠ A=60°$，$∠ ABE=30°$。
在$Rt△ ABE$中，30°角对的直角边等于斜边的一半，因此$AE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$，同理$DF=\dfrac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$，
下底$AD=AE+EF+DF=\dfrac{1}{2}x + 120-2x + \dfrac{1}{2}x = 120 - x\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得高$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{x^2-(\dfrac{1}{2}x)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\ \mathrm{cm}$。
代入梯形面积公式：
$S=\dfrac{1}{2}(BC+AD)· BE = \dfrac{1}{2}(120-2x + 120 - x)· \dfrac{\sqrt{3}}{2}x$
整理配方得：
$S=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}x^2 + 60\sqrt{3}x = -\dfrac{3\sqrt{3}}{4}(x-40)^2 + 1200\sqrt{3}$
二次项系数$-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}＜0$，函数图象开口向下，因此当$x=40\ \mathrm{cm}$时，S取得最大值$1200\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
比较大小：$1200\sqrt{3}\approx2078＞1800$，因此方案二的横截面面积最大值更大。
(2) 对比两个方案的结果可知，铁皮边长固定时，水槽横截面的边数越多，可获得的最大横截面面积越大，若折成横截面为半圆的水槽，能得到更大的水流量。
【答案】
(1) ① $y=\dfrac{1}{2}x(120-x)=-\dfrac{1}{2}x^2+60x=-\dfrac{1}{2}(x-60)^2+1\ 800$。
当 $x=60\ \mathrm{cm}$ 时, $y$ 的值最大, 最大值为 $1\ 800\ \mathrm{cm}^2$。
②如图,过点 $B$ 作 $BE⊥ AD$,垂足为 $E$,过点 $C$ 作 $CF⊥ AD$,垂足为 $F$。

设 $AB=CD=x$(单位:$\mathrm{cm}$),该水槽横截面的面积为 $S$(单位:$\mathrm{cm}^2$)。
易得四边形 BCFE 为矩形。
$\therefore EF=BC=(120-2x)\mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为等腰梯形,$∠ ABC=120°$,
$\therefore ∠ ABE=∠ DCF=30°$。
$\therefore AE=DF=\dfrac{1}{2}x\ \mathrm{cm},AD=(120-x)\mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中, 由勾股定理, 得 $BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\ \mathrm{cm}$。
$\therefore S=\dfrac{1}{2}· \dfrac{\sqrt{3}}{2}x(120-2x+120-x)=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}x^2+60\sqrt{3}x=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}(x-40)^2+1\ 200\sqrt{3}$。
$\therefore$ 当 $x=40\ \mathrm{cm}$ 时,$S$ 取得最大值,最大值为 $1\ 200\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
$\because 1\ 200\sqrt{3}＞1\ 800$,
$\therefore$ 方案二中水槽横截面的面积的最大值更大。
(2)答案不唯一,示例:折成的水槽横截面的边数越多,横截面的面积的最大值越大,因此当折的边数无限多,即折成横截面为半圆的水槽时,通过水槽的水的流量最大。
【知识点】
二次函数最值应用，等腰梯形性质，直角三角形性质
【点评】
本题结合实际水槽流量问题，将几何图形面积计算与二次函数最值求解相结合，既考查了特殊几何图形的边长、高的计算方法，也考查了建立函数模型解决实际最值问题的能力，贴近生活，能够锻炼学生的实际应用思维。
【难度系数】
0.6