【典型例题 3】解方程：$\frac{x}{x-3}+\frac{2}{3-x}=2$。
【解】方程两边乘 $x-3$，得 $x-2=2(x-3)$。
解得 $x=4$。
检验：当 $x=4$ 时，$x-3≠0$。
所以，原分式方程的解是 $x=4$。

解：方程两边乘$x-3$，得
$x - 2 = 2(x-3)$
去括号，得
$x - 2 = 2x - 6$
移项、合并同类项，得
$-x = -4$
系数化为1，得
$x=4$
检验：当$x=4$时，$x-3≠0$。
所以，原分式方程的解是$x=4$。

5.若关于$x$的分式方程$\frac{x - a}{x + 1}=a$无解，则$a$的值为。

5. ±1 【解析】去分母,得 $x-a=a(x+1)$,整理,得$(a-1)x=-2a.$
当 $a-1=0$,即 $a=1$ 时,方程$(a-1)x=-2a$无解;当 $x+1=0$,即 $x=-1$ 时,原分式方程的分母为 0,方程无解,则方程$(a-1)x=-2a$ 即为$-(a-1)=-2a$,解得 $a=-1.$
综上可知,当 $a=\pm1$ 时原分式方程无解.

6. 解方程：
(1)$\frac{1}{x-1}+1=\frac{3}{2x-2}$；(2)$\frac{x}{x+1}=\frac{x^2}{x^2-1}$。

6.【解】(1)方程两边乘$2(x-1)$,得$2+2(x-1)=3.$
解得$x=\frac{3}{2}.$
检验:当$x=\frac{3}{2}$时,$2(x-1)=1≠0.$
所以,原分式方程的解为$x=\frac{3}{2}.$
(2)方程两边乘$(x+1)(x-1)$,得$x(x-1)=x^2.$
解得$x=0.$
检验:当$x=0$时,$x^2-1≠0.$
所以,原分式方程的解为$x=0.$

【典型例题4】(2024·山东威海中考)
某公司为节能环保,安装了一批A型节能灯,一年用电16 000千瓦时.后购进一批相同数量的B型节能灯,一年用电9 600千瓦时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦时.求一盏A型节能灯每年的用电量.
思路导引 设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦时,则一盏A型节能灯每年的用电量为$(2x - 32)$千瓦时,利用数量关系“安装节能灯的数量=一年的用电量÷一盏节能灯每年的用电量”,及等量关系“安装的A,B型节能灯数量相同”,列分式方程求解.
【解】设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦时,则一盏A型节能灯每年的用电量为$(2x - 32)$千瓦时.
根据题意,得$\frac{16000}{2x - 32} = \frac{9600}{x}$,解得$x = 96$.
经检验,$x = 96$是所列分式方程的解,且符合题意.
所以$2x - 32 = 2×96 - 32 = 160$(千瓦时).
答:一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦时.

解：设一盏B型节能灯每年的用电量为$x$千瓦时，则一盏A型节能灯每年的用电量为$(2x-32)$千瓦时。
根据题意，得
$\frac{16000}{2x-32}=\frac{9600}{x}$
方程两边同乘$x(2x-32)$，得
$16000x=9600(2x-32)$
解得$x=96$。
经检验，$x=96$是原分式方程的解，且符合题意。
则$2x-32=2×96-32=160$（千瓦时）。
答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦时。