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3.若$a,b$互为相反数,则下列各组数中互为相反数的一组是（
A.$a^2$与$b^2$
B.$-a^3$与$b^3$
C.$a^{2n}$与$b^{2n}$（$n$为正整数）
D.$a^{2n+1}$与$b^{2n+1}$（$n$为正整数）
D
）A.$a^2$与$b^2$
B.$-a^3$与$b^3$
C.$a^{2n}$与$b^{2n}$（$n$为正整数）
D.$a^{2n+1}$与$b^{2n+1}$（$n$为正整数）
答案
D 点拨:令$a＞0,b＜0$,则$a^{2n+1}＞0,b^{2n+1}＜0$,而它们的绝对值相等,即$b^{2n+1}=-a^{2n+1}$。
4.一根长1米的绳子,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,如此剪下去,第六次后剩下的绳子的长度为（
A.$(\dfrac{1}{2})^3$米
B.$(\dfrac{1}{2})^5$米
C.$(\dfrac{1}{2})^6$米
D.$(\dfrac{1}{2})^{12}$米
C
）A.$(\dfrac{1}{2})^3$米
B.$(\dfrac{1}{2})^5$米
C.$(\dfrac{1}{2})^6$米
D.$(\dfrac{1}{2})^{12}$米
答案
C 点拨:第一次剩下$\frac{1}{2}$米,第二次剩下$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$(米),第三次剩下$(\frac{1}{2})^2 ×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3$(米),依此类推,第六次剩下$(\frac{1}{2})^6$米。
5.若$x+y=0$且$xy≠0$，则$(\dfrac{x}{y})^{2012}=$
1
。答案
1 点拨:因为$x+y=0$,所以$x=-y$.所以$(\frac{x}{y})^{2012}=(-1)^{2012}=1$。
6.【阅读理解问题】探索规律：$3^1=3$，个位上的数字是3；$3^2=9$，个位上的数字是9；$3^3=27$，个位上的数字是7；$3^4=81$，个位上的数字是1；$3^5=243$，个位上的数字是3；$3^6=729$，个位上的数字是9；…；那么$3^7$的个位上的数字是
7
，$3^{20}$的个位上的数字是1
。答案
7 1 点拨:本题主要考查利用乘方知识探索规律的能力.由已知可知,对于3的n次幂,个位数字是4个一循环,因此,欲求$3^7$,$3^{20}$的个位数字是多少,关键看共有几个循环,余数是几.因为$7÷4=1……3$,所以$3^7$的个位数字是7,而$20÷4=5$,故$3^{20}$的个位数字是1。
7.【推理问题】解答下列问题：
(1)看一看下面两组算式，$(4×6)^2$与$4^2×6^2$，$[(-\dfrac{1}{3})×9]^2$与$(-\dfrac{1}{3})^2×9^2$，每组两个算式的计算结果是否相等？
(2)写出$(xy)^3$与$x^3y^3$的关系；
(3)判断$(xy)^n$与$x^ny^n$（$n$为正整数）的关系，并加以证明。
(1)看一看下面两组算式，$(4×6)^2$与$4^2×6^2$，$[(-\dfrac{1}{3})×9]^2$与$(-\dfrac{1}{3})^2×9^2$，每组两个算式的计算结果是否相等？
(2)写出$(xy)^3$与$x^3y^3$的关系；
(3)判断$(xy)^n$与$x^ny^n$（$n$为正整数）的关系，并加以证明。
答案
解:(1)因为$(4×6)^2=24^2=576,4^2×6^2=16×36=576$,于是有$(4×6)^2=4^2×6^2$。
因为$[(-\frac{1}{3})×9]^2=(-3)^2=9,(-\frac{1}{3})^2×9^2=\frac{1}{9}×81=9$,故$[(-\frac{1}{3})×9]^2=(-\frac{1}{3})^2×9^2$。
(2)$(xy)^3=x^3y^3$。
(3)$(xy)^n=x^ny^n$($n$为正整数)。
证明如下:$(xy)^n=\underbrace{(xy)·(xy)·(xy)·……·(xy)}_{n个xy}=\underbrace{x·x·……·x}_{n个x}·\underbrace{y·y·……·y}_{n个y}=x^ny^n$。
点拨:很多数学问题的结论,不直接给出,需要去观察、尝试、寻找和发现,合理地运用类比思想,就能得出一般性的结论。
1.【阅读理解问题】先阅读，然后解答问题.
计算 $1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2012}$ 的值，先观察算式中的数，发现后面的数是前面的数的5倍，针对此题特点，可设原式为 $S$，即 $S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2012}$，然后两边同乘5，利用错位相减，可求得 $S$，具体解题过程如下：
设 $S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2012}$，……①
两边同乘5，得
$5S=5+5^2+5^3+\dots+5^{2013}$，……②
②$-$①，得 $4S=5^{2013}-1$.
所以 $S=\dfrac{5^{2013}-1}{4}$，即 $1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2012}=\dfrac{5^{2013}-1}{4}$.
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请用你学到的方法计算 $1+3+3^2+3^3+\dots+3^{2013}$ 的值.
计算 $1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2012}$ 的值，先观察算式中的数，发现后面的数是前面的数的5倍，针对此题特点，可设原式为 $S$，即 $S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2012}$，然后两边同乘5，利用错位相减，可求得 $S$，具体解题过程如下：
设 $S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2012}$，……①
两边同乘5，得
$5S=5+5^2+5^3+\dots+5^{2013}$，……②
②$-$①，得 $4S=5^{2013}-1$.
所以 $S=\dfrac{5^{2013}-1}{4}$，即 $1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2012}=\dfrac{5^{2013}-1}{4}$.
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请用你学到的方法计算 $1+3+3^2+3^3+\dots+3^{2013}$ 的值.
答案
解:设$S=1+3+3^2+3^3+…+3^{2013}$,……①
两边同乘3,得
$3S=3+3^2+3^3+…+3^{2014}$,……②
②$-$①,得$2S=3^{2014}-1$.
所以$S=\frac{3^{2014}-1}{2}$,即$1+3+3^2+3^3+…+3^{2013}=\frac{3^{2014}-1}{2}$。
两边同乘3,得
$3S=3+3^2+3^3+…+3^{2014}$,……②
②$-$①,得$2S=3^{2014}-1$.
所以$S=\frac{3^{2014}-1}{2}$,即$1+3+3^2+3^3+…+3^{2013}=\frac{3^{2014}-1}{2}$。
