7. 如图14-3-20，在$△ ABC$中，$DF ⊥ AB$，垂足为$F$，$DG ⊥ AC$，交$AC$的延长线于点$G$，$DB=DC$，$BF=CG$. 求证:$AD$平分$∠ BAC$.

图14-3-20

7.证明:$\because DF⊥ AB,DG⊥ AC$,
$\therefore ∠ DFB=∠ DGC=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ DFB$和$\mathrm{Rt}△ DGC$中,$\begin{cases} DB=DC, \\ BF=CG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DFB≌\mathrm{Rt}△ DGC(\mathrm{HL})$,
$\therefore DF=DG$.
$\because DF⊥ AB,DG⊥ AC$,
$\therefore AD$平分$∠ BAC$.

1.【教材P59复习题8变式】三条公路将A,B,C三个村庄连成一个如图14-3-21所示的三角形区域,如果要修建一个集贸市场,使集贸市场到三条公路的距离相等,那么这个集贸市场可选的位置有()




A.1处
B.2处
C.3处
D.4处

1.D

2.如图14-3-22，O是△ABC内一点，且点O到三边的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=.

2.$125°$ 点拨:$\because$点$O$到$△ ABC$的三边的距离$OF=OD=OE$,$\therefore BO$平分$∠ ABC$,$CO$平分$∠ ACB$,$\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$. $\because ∠ BAC=70°$,
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=110°$,$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=55°$,$\therefore ∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=125°$.

3.如图14-3-23，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，点O为其三条角平分线的交点，则$S_{△ OAB}:S_{△ OAC}:S_{△ OBC}=$.

3.$2:3:4$

4.如图14-3-24，$AB// CD$，点P到AB，BC，CD的距离都相等，则$∠ P=$。

4.$90°$

5. 如图14-3-25，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，∠B+∠AFD=180°，点F在AC上，BD=DF.求证：(1)AD平分∠BAC.(2)AB=AF+2BE. 图14-3-25

5.证明:(1)$\because DE⊥ AB$,
$\therefore ∠ AED=∠ BED=90°$.
$\because ∠ B+∠ AFD=180°$,$∠ CFD+∠ AFD=180°$,$\therefore ∠ CFD=∠ B$.
$\because ∠ C=90°$,
$\therefore ∠ C=∠ BED$,$DC⊥ AC$.
又$\because DF=DB$,
$\therefore △ CDF≌△ EDB(\mathrm{AAS})$,
$\therefore DC=DE$.
$\because DC⊥ AC$,$DE⊥ AB$,
$\therefore AD$平分$∠ BAC$.
(2)$\because AD$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ DAC=∠ DAB$.
$\because ∠ C=∠ AED=90°$,$AD=AD$,
$\therefore △ CDA≌△ EDA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AE=AC=AF+FC$.
由(1),得$△ CDF≌△ EDB$,$\therefore CF=BE$,
$\therefore AE=AF+FC=AF+BE$,
$\therefore AB=AE+EB=AF+2BE$.