自主学习
1. 点确定一条直线.
2. 在下图中作出线段AB的垂直平分线.
线段AB的垂直平分线上的点有什么性质？
3. 决定圆的位置，决定圆的大小，如果要作一个圆经过某点，那么要作出这个圆的关键是要找到.
4. 思考:经过两个点能不能作圆?如果能,所作圆的圆心的位置有什么特点?经过不在同一条直线上的三个点能否作出一个圆?
5. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫作.
6. 三角形外接圆的圆心是三角形的交点,这个点叫作这个三角形的. 一个三角形有个外接圆,而一个圆有个内接三角形.
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自学教科书第118页的内容,然后回答问题:

解：
1. 两
2. 尺规作图方法：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在线段AB的两侧各交于一点，过这两个交点作直线，所得直线即为线段AB的垂直平分线。
性质：线段AB垂直平分线上的点到线段两个端点A、B的距离相等。
3. 圆心；半径；圆心的位置
4. 经过两个点能作圆，且可以作无数个圆；所作圆的圆心都在这两个点所连线段的垂直平分线上；经过不在同一条直线上的三个点能作出唯一的一个圆。
5. 三角形的外接圆
6. 三边垂直平分线；外心；一；无数

【分析】
这组题目是几何基础概念与基础操作的综合考查，解题时可结合已学的几何公理、性质和圆的相关概念逐一分析：①第1题直接回忆直线的基本公理即可作答；②第2题回忆尺规作线段垂直平分线的标准步骤，再结合垂直平分线的性质回答即可，该性质是推导过点作圆圆心位置的核心依据；③第3题从圆的定义出发，圆是到定点距离等于定长的点的集合，定点即圆心定位置，定长即半径定大小，要作过某点的圆，只需确定圆心，半径就是圆心到该点的距离；④第4题结合垂直平分线的性质推导：过两点作圆则圆心到两点距离相等，因此圆心在两点连线的垂直平分线上，故有无数个；过不在同一直线的三点，任意两点连线的垂直平分线交于唯一一点，因此只能作1个圆；⑤第5、6题直接识记三角形外接圆、外心的相关概念即可作答。
【解析】
1. 根据直线的基本公理，两点确定一条直线。
2. 尺规作图步骤：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在线段AB的两侧各交于一点，过这两个交点作直线，所得直线即为线段AB的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点A、B的距离相等。
3. 根据圆的定义，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；要作经过某点的圆，圆心到该点的距离为半径，因此关键是找到圆心的位置。
4. 经过两个点能作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，因此圆心都在这两个点所连线段的垂直平分线上，可作出无数个圆；经过不在同一条直线上的三个点，任意两点连线的垂直平分线交于唯一一点，即圆心，因此能作出唯一的一个圆。
5. 经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆。
6. 三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，这个点叫作三角形的外心；由于三角形三边垂直平分线的交点唯一，因此一个三角形有1个外接圆，而一个圆上可以取无数组不在同一直线的三个点作为三角形的顶点，因此一个圆有无数个内接三角形。
【答案】
1. 两
2. 作图方法：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在线段AB的两侧各交于一点，过这两个交点作直线，所得直线即为线段AB的垂直平分线；性质：线段AB垂直平分线上的点到线段两个端点A、B的距离相等
3. 圆心；半径；圆心的位置
4. 能作圆，可作无数个；圆心在两点所连线段的垂直平分线上；能作出唯一的一个圆
5. 三角形的外接圆
6. 三边垂直平分线；外心；一；无数
【知识点】
1. 直线的基本性质
2. 线段垂直平分线的作图与性质
3. 三角形外接圆与外心
【点评】
本组题目侧重几何基础概念的识记与理解，涵盖了尺规基本操作、圆的基本要素、过点作圆的条件、三角形外接圆相关核心概念，是学习圆相关证明与计算的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85

1.一个三角形有个外接圆，而一个圆有个内接三角形.

解：根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的性质，三角形的三个顶点不在同一直线上，因此一个三角形有1个外接圆；
圆上存在无数个点，任意选取三个不共线的点都可以组成该圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形。
答案依次为：$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{无数}$。

【分析】
解题时可结合相关定理和概念分步思考：
1. 求三角形外接圆的个数：先明确三角形外接圆是经过三角形三个顶点的圆，再结合“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，三角形三个顶点必然不共线，因此可确定唯一的外接圆。
2. 求圆的内接三角形的个数：先明确圆的内接三角形是三个顶点都在圆上的三角形，由于圆上有无数个点，任意选取三个点都能构成符合要求的内接三角形，因此个数为无数个。
【解析】
根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的性质：
三角形的三个顶点不在同一直线上，因此经过三角形三个顶点的外接圆有且只有1个；
圆上存在无数个点，任意选取三个点都可以组成顶点在圆上的三角形，也就是该圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形。
【答案】
$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{无数}$
【知识点】
1. 三点定圆定理
2. 三角形外接圆
3. 圆内接三角形
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对三点定圆定理以及三角形外接圆、圆内接三角形相关概念的理解，掌握基础定理和概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 探究三角形的外心与三角形的位置关系:(自己动手画图归纳)
三角形是锐角三角形 ⇔ 三角形外心在三角形的部；
三角形是直角三角形 ⇔ 三角形外心是直角三角形的；
三角形是钝角三角形 ⇔ 三角形外心在三角形的部.

解：
三角形是锐角三角形 ⇔ 三角形外心在三角形的内部；
三角形是直角三角形 ⇔ 三角形外心是直角三角形的斜边的中点；
三角形是钝角三角形 ⇔ 三角形外心在三角形的外部。

【分析】
解题首先要明确三角形外心的定义：外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。我们可以通过作图探究三种三角形外心的位置：①先分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；②分别作出任意两边的垂直平分线，找到交点即为外心；③观察交点与三角形的位置关系，结合相关性质验证结论。另外题中“⇔”表示双向推导，即三角形形状和外心位置可以互相推出。
【解析】
我们根据外心的定义结合图形与性质分析：
1. 锐角三角形：三边垂直平分线的交点落在三角形内部，因此锐角三角形的外心在三角形内部；
2. 直角三角形：根据圆周角定理，90°的圆周角对应的弦是直径，因此直角三角形的斜边就是其外接圆的直径，外接圆的圆心（外心）就是斜边的中点；
3. 钝角三角形：三边垂直平分线的交点落在三角形外部，因此钝角三角形的外心在三角形外部。
据此依次填空即可。
【答案】
内；斜边的中点；外
【知识点】
三角形外心定义；外接圆性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，考查三角形外心位置与三角形形状的对应关系，需要同学们结合作图理解记忆相关结论，该知识点是三角形与圆结合部分的基础考点，常直接考查概念应用。
【难度系数】
0.8

3.无论哪种三角形,它的外心都是三角形任意两边的垂直平分线的交点,它的外心到三角形各顶点的距离,只要三角形确定,那么它的外心与外接圆的半径就确定了.
4.下列命题正确的是.(填序号)
①任何一个三角形有且只有一个外接圆;②任何一个圆有且只有一个内接三角形;③等腰三角形的外心一定在它的内部.

解：
3. 相等
4. ①

【分析】
第3题考查三角形外心的基本性质：外心是三角形外接圆的圆心，外接圆经过三角形的三个顶点，圆心到圆上任意点的距离都等于半径，因此外心到三个顶点的距离相等。
第4题需要逐个判断命题的正确性：①结合外接圆的定义，三角形的三个顶点不共线，可确定唯一的圆，因此一个三角形只有一个外接圆；②圆上可以选取无数组不同的三个不共线的点，每组点都能构成一个内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形；③等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，钝角等腰三角形的外心在三角形外部，直角等腰三角形的外心在斜边中点，因此外心不一定在三角形内部，综上只有①正确。
【解析】
3. 三角形的外心是其外接圆的圆心，外接圆过三角形的三个顶点，圆心到圆上各点的距离均等于半径，因此外心到三角形各顶点的距离相等。
4. 对三个命题逐一判断：
① 不在同一直线上的三个点确定唯一的圆，三角形的三个顶点不共线，因此任何一个三角形有且只有一个外接圆，该命题正确；
② 圆上任意选取三个不共线的点都可以构成一个圆的内接三角形，选取方式有无数种，因此一个圆有无数个内接三角形，该命题错误；
③ 若等腰三角形是钝角三角形，外心在三角形外部，若为直角等腰三角形，外心在斜边中点（三角形边上），因此等腰三角形的外心不一定在内部，该命题错误。
故正确的是①。
【答案】
3. 相等；4. ①
【知识点】
三角形外心的性质；三角形外接圆的定义；命题真假判断
【点评】
本题组围绕三角形外心和外接圆的基础概念设题，需准确掌握不同类型三角形外心的位置、外接圆与内接三角形的对应关系，属于基础概念考查，熟记定义即可作答。
【难度系数】
0.8