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二、填空题(共4小题,每小题3分,共12分)
9.(新定义题)对于实数a,b定义一种新运算“☆”如下：$a☆b=ab^2 - ab$,例如$4☆3=4×3^2 -4×3=24$,则关于x的方程$1☆x=2$的根为
9.(新定义题)对于实数a,b定义一种新运算“☆”如下：$a☆b=ab^2 - ab$,例如$4☆3=4×3^2 -4×3=24$,则关于x的方程$1☆x=2$的根为
$x_1=2,x_2=-1$
.答案
9. $x_1=2,x_2=-1$
10.(新定义题)如果一个扇形的弧长等于它所在圆半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”.已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长等于8，那么这个圆锥的侧面积是
4
.答案
10. 4
11.如图,在等边三角形ABC中,O为BC的中点,AB=6,△BPQ与△BAO关于点B中心对称,连接CP,则△QCP的面积为
$\frac{27}{2}\sqrt{3}$
.答案
11. $\frac{27}{2}\sqrt{3}$
12.如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边CD，AD上的点，连接AE，BF交于点G，且$AF=DE$，连接CG并延长交AD于点H，则DH的最小值是
3
。答案
12. 3
三、解答题(共6小题,共64分)
13.(12分)用适当的方法解方程：
(1)$x^2 + 4x - 1 = 0$.
(2)$(x - 3)(x - 4) = x - 3$.
(3)$2x^2 - 4x + 1 = 0$.
(4)$x^2 - 9 = 2x + 6$.
13.(12分)用适当的方法解方程：
(1)$x^2 + 4x - 1 = 0$.
(2)$(x - 3)(x - 4) = x - 3$.
(3)$2x^2 - 4x + 1 = 0$.
(4)$x^2 - 9 = 2x + 6$.
答案
13. 解:
(1)$x_1=\sqrt{5}-2,x_2=-\sqrt{5}-2$.
(2)$x_1=3,x_2=5$.
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$.
(4)$x_1=5,x_2=-3$.
(1)$x_1=\sqrt{5}-2,x_2=-\sqrt{5}-2$.
(2)$x_1=3,x_2=5$.
(3)$x_1=\frac{2+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$.
(4)$x_1=5,x_2=-3$.
14.(8分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2m+3)x - (m^2 -1)=0$.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)设该方程的两个根为$x_1,x_2$,且满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=-1$,求$m$的值.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)设该方程的两个根为$x_1,x_2$,且满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=-1$,求$m$的值.
答案
14. (1) 证明: $\Delta = [-(2m + 3)]^2 - 4 × [-(m^2 -1)]$
$=4m^2+12m+9+4m^2-4$
$=8m^2+12m+5$
$=8(m+\frac{3}{4})^2+\frac{1}{2}$.
因为$(m+\frac{3}{4})^2\ge0$,
所以$8(m+\frac{3}{4})^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}$,
所以$\Delta＞0$,
所以方程有两个不相等的实数根.
(2) 解: $m_1=0,m_2=-2$.
$=4m^2+12m+9+4m^2-4$
$=8m^2+12m+5$
$=8(m+\frac{3}{4})^2+\frac{1}{2}$.
因为$(m+\frac{3}{4})^2\ge0$,
所以$8(m+\frac{3}{4})^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}$,
所以$\Delta＞0$,
所以方程有两个不相等的实数根.
(2) 解: $m_1=0,m_2=-2$.
15.(10分)如图,已知AB是$\odot O$的直径,点C,D在$\odot O$上,$∠ D=60°$,且$AB=6$,过点O作$OE⊥ AC$,垂足为E.
(1)求OE的长.
(2)若OE的延长线交$\odot O$于点F,求弦AF,AC和弧CF围成的图形(阴影部分)的面积S.
(1)求OE的长.
(2)若OE的延长线交$\odot O$于点F,求弦AF,AC和弧CF围成的图形(阴影部分)的面积S.
答案
15. 解:
(1) 因为$∠ D=60°$,
所以$∠ B=60°$.
因为AB是$\odot O$的直径,
所以$∠ ACB=90°$,
所以$∠ BAC=30°$.
又因为$AB=6$,
所以$BC=3$.
因为$OE⊥ AC$,
所以$OE// BC$.
又因为O是AB的中点,
所以OE是$△ ABC$的中位线,
所以$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$.
(2) 如图,连接OC.
易得$△ COE≌△ AFE,∠ FOC=60°$,
故$S=S_{\mathrm{扇形}FOC}=\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3}{2}π$.
