16.(10分)综合与实践:根据素材回答问题.
背景
某公司销售一种商品,进价为20元/件,经过市场调查发现,该商品的日销售量y(单位:件)与当天的销售单价x(单位:元)是一次函数关系,其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表:
素材
销售单价/元 30 35 40
日销售量/件 500 450 400
任务1 (1)求y与x的解析式
任务2 (2)求销售该商品每天获得的利润w(单位:元)的最大值
任务3 (3)若因批发商调整进货价格,该商品的进价变为m元/件,该公司每天的销量与当天的销售单价的关系不变,该公司为了不亏本,至少需按30元/件销售,而物价部门规定,销售单价不超过51元,在实际销售过程中,发现销售该商品每天获得的利润随x的增大而增大,则m的最小值为

16. 解:
(1) 设$y$与$x$的解析式为$y=kx+b$,将$(30,500)$和$(35,450)$代入,得
$\begin{cases}30k+b=500,\\35k+b=450,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-10,\\b=800.\end{cases}$
所以$y$与$x$的解析式为$y=-10x+800$.
(2) 由题意,得 $w=(x-20)y$
$=(x-20)(-10x+800)$
$=-10(x-50)^2+9000$.
因为$-10＜0$,
所以当$x=50$时,$w$取得最大值,最大值为9000,
所以销售该商品每天获得的利润$w$的最大值为9000元.
(3) 由题意,得 $w=(x-m)(-10x+800)=-10x^2+(800+10m)x-800m$,
所以抛物线的对称轴为直线$x=40+\frac{m}{2}$.
因为$-10＜0$,
所以抛物线开口向下.
因为在实际销售过程中,发现销售该商品每天获得的利润随$x$的增大而增大,且$30\le x\le51$,
所以$40+\frac{m}{2}\ge51$,
解得$m\ge22$,
所以$m$的最小值为22.
故答案为:22.

17.(12分)已知二次函数$y=x^2+2mx-2m+3$($m$为常数).
【特例感悟】
(1)当$m=2,-3≤ x≤0$时,二次函数$y=x^2+2mx-2m+3$($m$为常数)的最大值与最小值的差是.
【类比探索】
(2)当$0≤ x≤2$时,二次函数$y=x^2+2mx-2m+3$($m$为常数)的最小值为0,求$m$的值.
【纵深拓展】
(3)当直线$y=-m$($m＜0$)与抛物线交于$A,B$两点,点$A$的横坐标为$a$($a＞0$),点$B$的横坐标为$b$,且$7a=b$,求在$a≤ x≤ b$范围内二次函数$y=x^2+2mx-2m+3$($m$为常数)的最大值与最小值的差.
18.(12分)阅读下列材料,完成下面的任务.
关于“三角形的内切圆”的研究报告
【研究内容】如图①,在$△ ABC$中,$AB=c$,$BC=a$,$AC=b$,$\odot I$是它的内切圆,切点分别为$D,E,F$,如何求$AD,BD,CE$的长呢?

【解法】因为$\odot I$是$△ ABC$的内切圆,切点为$D,E,F$,所以$AD=AF$,$BD=BE$,$CE=CF$.
设$AD=AF=x$,$BD=BE=y$,$CE=CF=z$,
则有$\begin{cases}x+y=c,\\y+z=a,\\x+z=b,\end{cases}$所以$x+y+z=\boldsymbol{\Delta}$,
如果设$p=\boldsymbol{\Delta}$,那么有$\begin{cases}x=p-a,\\y=p-b,\\z=p-c.\end{cases}$
任务:

(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容:.
(2)如图②,这是一张三角形纸片$ABC$,$\odot O$为它的内切圆,小悦沿着与$\odot O$相切的$DE$剪下了一个三角形纸片$BDE$,已知$AC=4$,$AB=6$,$BC=5$,求三角形纸片$BDE$的周长.
(3)如图③,$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$,$AB$,$AC$分别相切于点$D,E,F$,$∠ A=90°$,$BD=3$,$CD=2$,求$S_{△ ABC}$.

17. 解:
(1) 当$m=2$时,二次函数为$y=x^2+4x-1$,
其图象开口向上,对称轴为直线$x=-2$.
因为$-3\le x\le0$,
所以当$x=-2$时,$y_{\mathrm{最小}}=-5$,
当$x=0$时,$y_{\mathrm{最大}}=-1$,
所以最大值与最小值的差为$-1-(-5)=4$.
故答案为:4.
(2) $y=x^2+2mx-2m+3=(x+m)^2-(m^2+2m-3)$,
所以抛物线的对称轴为直线$x=-m$.
①当$-m＜0$,即$m＞0$时,因为抛物线开口向上,
所以当$x=0$时,$y$有最小值,
则$y_{\mathrm{最小}}=0+2m×0-2m+3=0$,
解得$m=\frac{3}{2}$.
②当$0\le -m\le2$,即$-2\le m\le0$时,因为抛物线开口向上,
所以当$x=-m$时,$y$有最小值,
则$y_{\mathrm{最小}}=m^2+2m-3=0$,
解得$m_1=-3$(舍去),$m_2=1$(舍去).
③当$-m＞2$,即$m＜-2$时,因为抛物线开口向上,
所以当$x=2$时,$y$有最小值,
则$y_{\mathrm{最小}}=2m+7=0$,解得$m=-\frac{7}{2}$.
综上所述,$m$的值为$\frac{3}{2}$或$-\frac{7}{2}$.
(3) 令$-m=x^2+2mx-2m+3$.
整理,得$x^2+2mx-m+3=0$,
故$a,b$是其两个实根,
所以$a+b=-2m$,$ab=3-m$.
又因为$b=7a$,
所以$\begin{cases}8a=-2m,\\7a^2=3-m,\end{cases}$
整理,得$7m^2+16m-48=0$,
解得$m=-4$,$m=\frac{12}{7}$(不合题意).
所以$a=1$,$b=7$,抛物线的对称轴为直线$x=4$.
所以当$x=1$或$x=7$时,$y$取得最大值,$y_{\mathrm{最大}}=4$;
当$x=4$时,$y$取得最小值,$y_{\mathrm{最小}}=-5$.
所以最大值与最小值的差为$4-(-5)=9$.
18. 解:
(1) 三式相加,得$2x+2y+2z=a+b+c$,
所以$x+y+z=\frac{a+b+c}{2}$.
故答案为:$\frac{a+b+c}{2}$.
(2) 因为$△ ABC$的周长为$4+5+6=15$,
所以由题意,得$p=\frac{15}{2}$.
如图,设切点分别为$M,N,R$,则$BM=BN=\frac{15}{2}-4=\frac{7}{2}$.

因为$DM=DR$,$EN=ER$,
所以$DE=DM+EN$,
所以三角形纸片$BDE$的周长$=BD+BE+DE=BD+BE+DM+EN=BM+BN=2×\frac{7}{2}=7$.
(3) 设$AE=AF=x$.
依题意,得$BE=BD=3$,$CF=CD=2$,
所以$AB=x+3$,$AC=x+2$.
因为$∠ A=90°$,所以$AB^2+AC^2=BC^2$.
因为$BC=BD+CD=5$,
所以$(x+3)^2+(x+2)^2=5^2$.
整理,得$x^2+5x-6=0$,
解得$x=1$或$x=-6$(不合题意,舍去).
所以$AE=AF=1$,
所以$AB=4$,$AC=3$,
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×4×3=6$.