【描述定义】如果两个数a与b的比等于另外两个数c与d的比,则称这四个数a,b,c,d成比例.记作$a:b=c:d$,或$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.其中a与d称为比例的外项,b与c称为比例的内项.
【理论支撑】等式的性质,分式的运算.
【进程跟踪】在小学,我们已学过比例的基本性质,此性质是在具体的数的基础上得出的.
【性质探究】(1)已知:$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.求证:$ad=bc$.
【证明】∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,
∴等式两边同乘$bd$,得.
(2)由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$可得出以下比例性质:
①反比性质:在比例式中,把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立.即:$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,则$\frac{b}{a}=$.
②更比性质:在比例式中,更换两个内项和外项,比例式仍然成立.即:若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,则$\frac{a}{c}=$.
③合比性质:已知:$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.求证:$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.
【证明】设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$,则$a=$,$c=$.
∴$\frac{a+b}{b}=$,$\frac{c+d}{d}=$.
∴$\frac{a+b}{b}=$.
(3)请用(2)③的证明方法证明下面三个结论,若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,则有:
①分比性质:$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$.
②和分比性质:$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$.
③等比性质:若$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots=\frac{a_n}{b_n}$,

1. ad=bc
2. ① $\frac{d}{c}$
② $\frac{b}{d}$
③ bk；dk；$\frac{bk+b}{b}=k+1$；$\frac{dk+d}{d}=k+1$；$\frac{c+d}{d}$
3. ① 设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$,则$a=bk,c=dk. \therefore \frac{a-b}{b}=\frac{bk-b}{b}=k-1,\frac{c-d}{d}=\frac{dk-d}{d}=k-1. \therefore \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}.$
② 设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$,则$a=bk,c=dk. \therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{bk+b}{bk-b}=\frac{k+1}{k-1},\frac{c+d}{c-d}=\frac{dk+d}{dk-d}=\frac{k+1}{k-1}. \therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}.$
③ 设$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots=\frac{a_n}{b_n}=k$,则$a_1=b_1k,a_2=b_2k,\dots,a_n=b_nk. \therefore \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{b_1+b_2+\dots+b_n}=\frac{b_1k+b_2k+\dots+b_nk}{b_1+b_2+\dots+b_n}=k, \therefore \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{b_1+b_2+\dots+b_n}=\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots=\frac{a_n}{b_n}.$

【分析】
本题围绕比例的各类性质展开探究，解题核心思路如下：1. 推导比例基本性质时，利用等式的性质，给等式两边同乘两个分母的最小公倍数消去分母即可得到结论；2. 反比、更比性质可通过对已知比例式取倒数或利用比例基本性质交换内/外项直接变形得到；3. 推导合比、分比、和分比、等比性质时，采用“设k法”，即设所有相等的比值为参数k，将各分子用对应的分母与k的乘积表示，再代入待证的分式中化简，左右两边化简结果相同即可证明等式成立，该方法是处理比例变形问题的常用方法。
【解析】
(1) 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，等式两边同乘非零实数$bd$，可得$ad=bc$。
(2) ① 反比性质：对$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$左右两边同时取倒数，可得$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$；
② 更比性质：由比例基本性质$ad=bc$，等式两边同除以$cd$，可得$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$；
③ 合比性质证明：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，根据比值的定义可得$a=bk$，$c=dk$；
代入左边分式：$\frac{a+b}{b}=\frac{bk+b}{b}=\frac{b(k+1)}{b}=k+1$；
代入右边分式：$\frac{c+d}{d}=\frac{dk+d}{d}=\frac{d(k+1)}{d}=k+1$；
因此$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。
(3) 三个结论证明：
① 分比性质：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，则$a=bk$，$c=dk$。
左边：$\frac{a-b}{b}=\frac{bk-b}{b}=\frac{b(k-1)}{b}=k-1$，
右边：$\frac{c-d}{d}=\frac{dk-d}{d}=\frac{d(k-1)}{d}=k-1$，
左右两边相等，故$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$得证。
② 和分比性质：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，则$a=bk$，$c=dk$。
左边：$\frac{a+b}{a-b}=\frac{bk+b}{bk-b}=\frac{b(k+1)}{b(k-1)}=\frac{k+1}{k-1}$（$k≠1$），
右边：$\frac{c+d}{c-d}=\frac{dk+d}{dk-d}=\frac{d(k+1)}{d(k-1)}=\frac{k+1}{k-1}$（$k≠1$），
左右两边相等，故$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$得证。
③ 等比性质：设$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots=\frac{a_n}{b_n}=k$，则$a_1=b_1k$，$a_2=b_2k$，$\dots$，$a_n=b_nk$（$b_1+b_2+\dots+b_n≠0$）。
左边：$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{b_1+b_2+\dots+b_n}=\frac{b_1k+b_2k+\dots+b_nk}{b_1+b_2+\dots+b_n}=\frac{k(b_1+b_2+\dots+b_n)}{b_1+b_2+\dots+b_n}=k$，
因此左边等于公共比值$k$，即$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{b_1+b_2+\dots+b_n}=\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots=\frac{a_n}{b_n}$得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{ad=bc}$
(2) ① $\boldsymbol{\frac{d}{c}}$；② $\boldsymbol{\frac{b}{d}}$；③ $\boldsymbol{bk}$；$\boldsymbol{dk}$；$\boldsymbol{\frac{bk+b}{b}=k+1}$；$\boldsymbol{\frac{dk+d}{d}=k+1}$；$\boldsymbol{\frac{c+d}{d}}$
(3) ①②③证明过程见解析
【知识点】
比例的性质，等式的性质，分式化简
【点评】
本题以探究的形式引导学生推导比例的各类常用性质，核心考查“设k法”这一比例问题的通用处理方法，逻辑链条清晰，能够帮助学生理解比例变形的底层逻辑，为后续比例相关计算、几何相似等内容的学习做好铺垫。
【难度系数】
0.7

【实践应用】
已知$\frac{a}{b}=\frac{5}{2}$，则$\frac{a-b}{a}=$.

$\frac{3}{5}$

【分析】
已知a与b的比值，要求含a、b的分式的值，可采用两种思路求解：一是参数法，根据比值设参数分别表示a、b，再代入所求分式约分化简即可；二是拆分所求分式，结合比例的倒数关系直接代入计算，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法1：参数法
∵$\frac{a}{b}=\frac{5}{2}$，
∴设$a=5k$，$b=2k$（$k≠0$，保证分母不为0），
将$a=5k$、$b=2k$代入$\frac{a-b}{a}$得：
$\frac{a-b}{a}=\frac{5k-2k}{5k}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$。
方法2：分式拆分法
先对所求分式变形：$\frac{a-b}{a}=\frac{a}{a}-\frac{b}{a}=1-\frac{b}{a}$，
∵$\frac{a}{b}=\frac{5}{2}$，
∴$\frac{b}{a}=\frac{2}{5}$，
代入计算得：$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题型，解题思路灵活，熟练掌握比例变形和分式拆分技巧即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8