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1. 襄阳市政打算对汉江某段长达2 400米的江堤进行美化.
(1)负责该美化项目的某工程队花费45 000元用于购买建筑材料,一段时间后,又花费21 000元第二次购买材料,第二次的购买量是第一次的一半,且第二次的单价(单位:元/t)比第一次少100元.求这两次分别购买材料多少吨?
(2)已知购买材料的地点距工地180 km,工程队第二次购买材料后,用卡车运回工地,匀速行驶1 h后,司机接到工程队的命令需提前到达,于是司机把速度增加到原来的1.5倍,最终提前40 min到达工地,求加速前卡车的平均速度.
(3)该工程队在美化800米后,改进施工方式,每天的工作效率比原来提高25%,26天完成全部美化任务.
①施工队原来每天美化江堤
②若市政原来每天支付给施工队的工资为a元,提高工作效率后每天支付给施工队的工资增加了20%,完成整个工程市政共支付给施工队的工资不超过58 400元,求a的最大值.
(1)负责该美化项目的某工程队花费45 000元用于购买建筑材料,一段时间后,又花费21 000元第二次购买材料,第二次的购买量是第一次的一半,且第二次的单价(单位:元/t)比第一次少100元.求这两次分别购买材料多少吨?
(2)已知购买材料的地点距工地180 km,工程队第二次购买材料后,用卡车运回工地,匀速行驶1 h后,司机接到工程队的命令需提前到达,于是司机把速度增加到原来的1.5倍,最终提前40 min到达工地,求加速前卡车的平均速度.
(3)该工程队在美化800米后,改进施工方式,每天的工作效率比原来提高25%,26天完成全部美化任务.
①施工队原来每天美化江堤
80
米;②若市政原来每天支付给施工队的工资为a元,提高工作效率后每天支付给施工队的工资增加了20%,完成整个工程市政共支付给施工队的工资不超过58 400元,求a的最大值.
答案
1.(1) 解:设第二次购买材料x t,则第一次购买材料2x t. 根据题意,得$\frac{45\ 000}{2x}-100=\frac{21\ 000}{x}$. 解得x=15. 经检验,x=15是所列方程的解,且符合题意.
∴2x=30 t. 答:第一次购买材料30 t,第二次购买材料15 t.
1.(2) 解:设加速前卡车的平均速度为m km/h,根据题意,得$\frac{180}{m}-(\frac{180-m}{1.5\ m}+1)=\frac{2}{3}$. 解得m=60. 经检验,m=60是所列方程的解,且符合题意. 答:加速前卡车的平均速度是60 km/h.
1.(3)① 80
1.(3)② 解:根据题意,得$\frac{800}{80}a+\frac{2\ 400-800}{(1+25\%)×80}×(1+20\%)a≤58\ 400$,解得$a≤2\ 000$.
∴a的最大值为2 000. 答:a的最大值为2 000.
∴2x=30 t. 答:第一次购买材料30 t,第二次购买材料15 t.
1.(2) 解:设加速前卡车的平均速度为m km/h,根据题意,得$\frac{180}{m}-(\frac{180-m}{1.5\ m}+1)=\frac{2}{3}$. 解得m=60. 经检验,m=60是所列方程的解,且符合题意. 答:加速前卡车的平均速度是60 km/h.
1.(3)① 80
1.(3)② 解:根据题意,得$\frac{800}{80}a+\frac{2\ 400-800}{(1+25\%)×80}×(1+20\%)a≤58\ 400$,解得$a≤2\ 000$.
∴a的最大值为2 000. 答:a的最大值为2 000.
解析
【分析】
本题是分式方程与不等式结合的实际应用题，分小问思路如下：
(1) 采购问题，核心等量关系为“第二次单价比第一次少100元”。设第二次购买量为$x$ t，则第一次为$2x$ t，分别用总费用除以购买量表示两次的单价，根据单价差列分式方程求解，注意分式方程要检验根是否符合实际意义。
(2) 行程问题，核心等量关系为“原计划行驶总时间 - 实际行驶总时间 = 提前的40分钟（即$\frac{2}{3}$h）”。设加速前速度为$m$ km/h，先表示出原计划总时间，再计算实际行驶时间（1小时+剩余路程除以提速后的速度），根据时间差列方程求解，同样要检验根。
(3) ①工程问题，核心等量关系为“改进前施工时间 + 改进后施工时间 = 26天”。设原来每天美化$x$米，分别表示两段施工的时间，列分式方程求解即可；②工资总额不超过58400元为不等关系，分别计算两段施工的工资总和，列不等式求解$a$的最大值。
【解析】
(1) 解：设第二次购买材料$x$ t，则第一次购买材料$2x$ t。
根据题意，得$\frac{45\ 000}{2x}-100=\frac{21\ 000}{x}$
两边同乘$2x$去分母得：$45000 - 200x = 42000$
解得$x=15$
经检验，$x=15$是所列方程的解，且符合题意。
$\therefore 2x=30$（t）
答：第一次购买材料30 t，第二次购买材料15 t。
(2) 解：设加速前卡车的平均速度为$m$ km/h，$40\ \mathrm{min}=\frac{2}{3}\ \mathrm{h}$。
根据题意，得$\frac{180}{m}-(\frac{180-m}{1.5m}+1)=\frac{2}{3}$
两边同乘$3m$去分母得：$540 - 2(180-m) - 3m = 2m$
解得$m=60$
经检验，$m=60$是所列方程的解，且符合题意。
答：加速前卡车的平均速度是60 km/h。
(3) ① 解：设施工队原来每天美化江堤$x$米，提高效率后每天美化$1.25x$米。
根据题意，得$\frac{800}{x}+\frac{2400-800}{1.25x}=26$
去分母解得$x=80$
经检验，$x=80$是所列方程的解，且符合题意。
② 解：前800米施工天数为$\frac{800}{80}=10$天，剩余路段施工天数为$\frac{1600}{1.25×80}=16$天，提高效率后每天工资为$1.2a$元。
根据题意，得$10a + 16×1.2a ≤ 58400$
化简得$29.2a ≤ 58400$
解得$a ≤ 2000$
答：$a$的最大值为2000。
【答案】
(1) 第一次购买材料30 t，第二次购买材料15 t；
(2) 加速前卡车的平均速度为60 km/h；
(3) ①$\boxed{80}$；②$a$的最大值为2000。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，工程与行程问题
【点评】
本题以江堤美化项目为情境，串联了采购、行程、工程三类常见的实际应用模型，重点考查学生提取等量关系、列解方程与不等式的能力，解题时需注意分式方程必须检验根的合理性，涉及时间、效率等单位时要统一单位，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.6
本题是分式方程与不等式结合的实际应用题，分小问思路如下：
(1) 采购问题，核心等量关系为“第二次单价比第一次少100元”。设第二次购买量为$x$ t，则第一次为$2x$ t，分别用总费用除以购买量表示两次的单价，根据单价差列分式方程求解，注意分式方程要检验根是否符合实际意义。
(2) 行程问题，核心等量关系为“原计划行驶总时间 - 实际行驶总时间 = 提前的40分钟（即$\frac{2}{3}$h）”。设加速前速度为$m$ km/h，先表示出原计划总时间，再计算实际行驶时间（1小时+剩余路程除以提速后的速度），根据时间差列方程求解，同样要检验根。
(3) ①工程问题，核心等量关系为“改进前施工时间 + 改进后施工时间 = 26天”。设原来每天美化$x$米，分别表示两段施工的时间，列分式方程求解即可；②工资总额不超过58400元为不等关系，分别计算两段施工的工资总和，列不等式求解$a$的最大值。
【解析】
(1) 解：设第二次购买材料$x$ t，则第一次购买材料$2x$ t。
根据题意，得$\frac{45\ 000}{2x}-100=\frac{21\ 000}{x}$
两边同乘$2x$去分母得：$45000 - 200x = 42000$
解得$x=15$
经检验，$x=15$是所列方程的解，且符合题意。
$\therefore 2x=30$（t）
答：第一次购买材料30 t，第二次购买材料15 t。
(2) 解：设加速前卡车的平均速度为$m$ km/h，$40\ \mathrm{min}=\frac{2}{3}\ \mathrm{h}$。
根据题意，得$\frac{180}{m}-(\frac{180-m}{1.5m}+1)=\frac{2}{3}$
两边同乘$3m$去分母得：$540 - 2(180-m) - 3m = 2m$
解得$m=60$
经检验，$m=60$是所列方程的解，且符合题意。
答：加速前卡车的平均速度是60 km/h。
(3) ① 解：设施工队原来每天美化江堤$x$米，提高效率后每天美化$1.25x$米。
根据题意，得$\frac{800}{x}+\frac{2400-800}{1.25x}=26$
去分母解得$x=80$
经检验，$x=80$是所列方程的解，且符合题意。
② 解：前800米施工天数为$\frac{800}{80}=10$天，剩余路段施工天数为$\frac{1600}{1.25×80}=16$天，提高效率后每天工资为$1.2a$元。
根据题意，得$10a + 16×1.2a ≤ 58400$
化简得$29.2a ≤ 58400$
解得$a ≤ 2000$
答：$a$的最大值为2000。
【答案】
(1) 第一次购买材料30 t，第二次购买材料15 t；
(2) 加速前卡车的平均速度为60 km/h；
(3) ①$\boxed{80}$；②$a$的最大值为2000。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，工程与行程问题
【点评】
本题以江堤美化项目为情境，串联了采购、行程、工程三类常见的实际应用模型，重点考查学生提取等量关系、列解方程与不等式的能力，解题时需注意分式方程必须检验根的合理性，涉及时间、效率等单位时要统一单位，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.6
2. 2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”的整体造型巧妙借鉴中华传统文化中甲骨文的“巳”字，且以青绿色为主调，象征春意盎然，勃勃生机.因其憨态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，“巳升升”受到广大群众的喜爱.襄阳市某中学为激励学生奋发向上，决定购买一批“巳升升”来奖励学生，经调查后发现，市场上有A，B两种材质的吉祥物，已知使用B材质生产的吉祥物比A材质的吉祥物每个贵50元，用3000元购买A材质的吉祥物的数量是用1500元购买B材质吉祥物数量的4倍.
(1)购买一件A材质的吉祥物需要
(2)现在该学校准备用不超过3000元购买A，B两种材质的吉祥物共50个.恰逢商家对两种吉祥物的价格进行了调整：使用A材质的吉祥物的价格按原价的九折出售，使用B材质的吉祥物的价格比原价提高了20％，那么该学校此次最多可购买多少个B材质的吉祥物？
(1)购买一件A材质的吉祥物需要
50
元，购买一件B材质的吉祥物需要100
元；(2)现在该学校准备用不超过3000元购买A，B两种材质的吉祥物共50个.恰逢商家对两种吉祥物的价格进行了调整：使用A材质的吉祥物的价格按原价的九折出售，使用B材质的吉祥物的价格比原价提高了20％，那么该学校此次最多可购买多少个B材质的吉祥物？
答案
2.(1) 50 100
2.(2) 解:设该学校此次购买y个B材质的吉祥物,则购买(50−y)个A材质的吉祥物,由题意得:$50×0.9(50−y)+100×(1+20\%)y≤3000$. 解得$y≤10$. 答:该学校此次最多可购买10个B材质的吉祥物.
2.(2) 解:设该学校此次购买y个B材质的吉祥物,则购买(50−y)个A材质的吉祥物,由题意得:$50×0.9(50−y)+100×(1+20\%)y≤3000$. 解得$y≤10$. 答:该学校此次最多可购买10个B材质的吉祥物.
解析
【分析】
(1) 本题可结合“数量=总价÷单价”的关系列分式方程求解。先设购买一件A材质吉祥物需要x元，则B材质单价为(x+50)元，根据“3000元购买A的数量是1500元购买B的数量的4倍”这一等量关系列方程，解出后检验根是否符合题意，即可得到两种材质吉祥物的单价。
(2) 本题属于一元一次不等式的实际应用问题，先计算调价后两种吉祥物的单价，设购买y个B材质吉祥物，则A材质购买(50-y)个，根据“总费用不超过3000元”的不等关系列不等式，求解后取最大正整数解，即为最多可购买的B材质吉祥物数量。
【解析】
(1) 设购买一件A材质的吉祥物需要x元，则购买一件B材质的吉祥物需要(x+50)元。
根据题意列方程：$\frac{3000}{x}=4×\frac{1500}{x+50}$
化简得：$\frac{3000}{x}=\frac{6000}{x+50}$
交叉相乘得：$3000(x+50)=6000x$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$x(x+50)=5000≠0$，所以$x=50$是原方程的解，且符合题意。
则B材质吉祥物单价为$x+50=50+50=100$元。
(2) 调价后，A材质吉祥物单价为$50×0.9=45$元，B材质吉祥物单价为$100×(1+20\%)=120$元。
设该学校此次购买y个B材质的吉祥物，则购买(50−y)个A材质的吉祥物。
由总费用不超过3000元列不等式：
$45(50−y)+120y≤3000$
展开合并得：$2250+75y≤3000$
解得：$y≤10$
y为正整数，因此y的最大值为10。
【答案】
(1) 50；100
(2) 该学校此次最多可购买10个B材质的吉祥物。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；销售打折问题
【点评】
本题结合时事热点创设情境，贴近生活，主要考查利用分式方程和一元一次不等式解决实际问题的能力，解题关键是找准题目中的等量关系和不等关系，注意解分式方程时要检验根是否符合实际意义，不等式的解要结合实际需求取合适的整数解。
【难度系数】
0.7
(1) 本题可结合“数量=总价÷单价”的关系列分式方程求解。先设购买一件A材质吉祥物需要x元，则B材质单价为(x+50)元，根据“3000元购买A的数量是1500元购买B的数量的4倍”这一等量关系列方程，解出后检验根是否符合题意，即可得到两种材质吉祥物的单价。
(2) 本题属于一元一次不等式的实际应用问题，先计算调价后两种吉祥物的单价，设购买y个B材质吉祥物，则A材质购买(50-y)个，根据“总费用不超过3000元”的不等关系列不等式，求解后取最大正整数解，即为最多可购买的B材质吉祥物数量。
【解析】
(1) 设购买一件A材质的吉祥物需要x元，则购买一件B材质的吉祥物需要(x+50)元。
根据题意列方程：$\frac{3000}{x}=4×\frac{1500}{x+50}$
化简得：$\frac{3000}{x}=\frac{6000}{x+50}$
交叉相乘得：$3000(x+50)=6000x$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$x(x+50)=5000≠0$，所以$x=50$是原方程的解，且符合题意。
则B材质吉祥物单价为$x+50=50+50=100$元。
(2) 调价后，A材质吉祥物单价为$50×0.9=45$元，B材质吉祥物单价为$100×(1+20\%)=120$元。
设该学校此次购买y个B材质的吉祥物，则购买(50−y)个A材质的吉祥物。
由总费用不超过3000元列不等式：
$45(50−y)+120y≤3000$
展开合并得：$2250+75y≤3000$
解得：$y≤10$
y为正整数，因此y的最大值为10。
【答案】
(1) 50；100
(2) 该学校此次最多可购买10个B材质的吉祥物。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；销售打折问题
【点评】
本题结合时事热点创设情境，贴近生活，主要考查利用分式方程和一元一次不等式解决实际问题的能力，解题关键是找准题目中的等量关系和不等关系，注意解分式方程时要检验根是否符合实际意义，不等式的解要结合实际需求取合适的整数解。
【难度系数】
0.7
