3 代数式(第3课时)
课堂精要·梳理内容
1. 像$5ab$，$5abc$，$3v$，$6p$等，它们都是数与字母的，这样的代数式叫做单项式。

1. 乘积

【分析】
本题考查单项式的基本定义，解题时先回忆单项式的概念内容，再结合题目给出的示例验证：给出的几个代数式都不存在加减运算，也没有分母含字母的情况，都是数字和字母相乘的形式，对应定义就能确定空缺的内容。
【解析】
根据单项式的定义：数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式。
观察题干给出的例子：$5ab$是数5与字母a、b的乘积，$5abc$是数5与字母a、b、c的乘积，$3v$是数3与字母v的乘积，$6p$是数6与字母p的乘积，均符合“数与字母的乘积”的特征，因此空缺处应填“乘积”。
【答案】
乘积
【知识点】
单项式的定义
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对单项式核心定义的掌握情况，牢记相关概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.9

2. 几个单项式的叫作多项式。

2. 和

【分析】
本题是基础概念填空题，核心考查多项式的定义。解题时只需回忆教材中关于多项式的定义内容即可：我们在学习整式相关知识时，明确给出了多项式的概念规定，直接对应定义表述就能完成填空。
【解析】
根据多项式的标准定义：几个单项式的和叫作多项式，因此空格处应填写“和”。
【答案】
和
【知识点】
多项式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验学生对教材基础定义的识记情况，只要日常学习中注重对基础概念的记忆，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.95

3. 和 统称整式。

3. 单项式 多项式

【分析】
这道题属于概念识记类题目，考查整式的基本定义。解题时只需回忆整式的分类相关知识点：我们在整式相关内容的学习中明确规定了整式的构成，直接对应填写对应的概念即可。
【解析】
根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式，因此两个空依次填入单项式、多项式。
【答案】
单项式 多项式
【知识点】
整式的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对整式相关基础定义的记忆掌握，熟记相关基础概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9

4.单项式中的 叫作这个单项式的系数，所有字母的 叫作这个单项式的次数。
5.在多项式中，叫作多项式的项。一个多项式中，的次数，叫作这个多项式的次数。

4. 数字因数 指数和
5. 每个单项式 次数最高的项

【分析】
本题考查单项式、多项式的基础概念，解题思路为回忆对应概念的标准表述，逐一匹配填空即可。需注意区分易混淆概念：不要将单项式的次数计算与多项式的次数计算规则混淆，也不要记错系数、项的定义。
【解析】
4. 根据单项式的相关定义：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，例如单项式$-5x^3y$的系数为$-5$；所有字母的指数和叫作这个单项式的次数，例如上述单项式中$x$的指数为3、$y$的指数为1，次数为$3+1=4$。
5. 根据多项式的相关定义：多项式是几个单项式的和，其中每个单项式叫作多项式的项，例如多项式$2x^2-3x+7$的项为$2x^2$、$-3x$、$7$；一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数，例如上述多项式中次数最高的项是$2x^2$，次数为2，因此该多项式的次数为2。
【答案】
4. 数字因数 指数和
5. 每个单项式 次数最高的项
【知识点】
1. 单项式的相关概念
2. 多项式的相关概念
【点评】
本题是整式模块的基础题，核心考查对基础概念的识记准确性，相关概念是后续学习整式加减、乘除、因式分解等内容的基础，需牢固掌握，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

1. 给出下列式子：$7x,3,0,4a^2+a-5,\frac{1}{x-1},\frac{x^2 y}{3},\frac{1}{2}ab+1$，其中单项式有（）。

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

1. B

【分析】
解题前先回忆单项式的定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式。同时要明确两个判定误区：①分母中含有字母的式子是分式，不属于单项式；②含有加减运算的式子是多项式，不是单项式。接下来逐个判断给出的式子，统计符合单项式定义的数量，对应选项即可。
【解析】
首先明确单项式的判定规则：数或字母的积组成的代数式是单项式，单独的数或字母也属于单项式。
对给出的式子逐一判断：
1. $7x$是数字7与字母x的乘积，属于单项式；
2. $3$是单独的数字，属于单项式；
3. $0$是单独的数字，属于单项式；
4. $4a^2+a-5$含有加减运算，是几个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
5. $\frac{1}{x-1}$分母含有字母，属于分式，不是单项式；
6. $\frac{x^2 y}{3}$是数字$\frac{1}{3}$与字母$x^2y$的乘积，属于单项式；
7. $\frac{1}{2}ab+1$含有加法运算，是多项式，不是单项式。
综上，单项式共有4个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式的判定，整式的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握单项式的判定标准，注意区分单项式、多项式和分式，避免因漏记“单独的数也是单项式”“分母含字母的式子不是单项式”出现错判。
【难度系数】
0.8

2.下列说法正确的是()。

A.$-1$不是单项式
B.$\dfrac{s}{v}$是单项式
C.$x$的系数是0
D.$\dfrac{2x - y}{3}$是整式

2. D

【分析】
要解这道题，需先明确单项式、单项式系数、整式的相关定义，再逐个对选项进行判断：首先回忆核心概念：1. 数与字母的乘积组成的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式，分母含字母的式子不是单项式；2. 单项式的系数是单项式中的数字因数；3. 整式是单项式和多项式的统称，整式的分母不含字母。接下来按照这些定义逐一排查每个选项的对错即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：单独的一个数属于单项式，-1是单独的常数，是单项式，故A错误；
B选项：$\dfrac{s}{v}$的分母中含有字母$v$，不符合单项式的定义，不属于单项式，故B错误；
C选项：$x$可以写成$1· x$，它的数字因数是1，即系数为1，不是0，故C错误；
D选项：$\dfrac{2x-y}{3}=\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3}y$，是两个单项式的和，属于多项式，多项式和单项式统称为整式，因此它是整式，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式的定义；单项式的系数；整式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握单项式、整式的相关定义，尤其要注意区分分母含字母的式子不属于整式，单独的字母的系数为1而非0这两个易错点。
【难度系数】
0.8

3.多项式$ab^2 + 2^5$的次数和项数分别为（）。

A.次数为5，项数为2
B.次数为3，项数为2
C.次数为5，项数为1
D.次数为3，项数为3

3. B

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆多项式的项数和次数的核心定义，按两步思考：第一步先确定多项式的项数，即数清楚组成该多项式的单项式个数，注意常数项也是独立的项；第二步确定多项式的次数，即找到次数最高的项，计算该项的次数，就是整个多项式的次数，注意不要把常数项的指数当成多项式的次数。
【解析】
1. 确定项数：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的常数项也属于项。本题中多项式$ab^2 + 2^5$由单项式$ab^2$和常数项$2^5$共2个部分组成，因此项数为2。
2. 确定次数：多项式的次数是指多项式里次数最高的项的次数。先计算各项次数：
项$ab^2$的次数为所有字母的指数和：$a$的指数是1，$b$的指数是2，总次数为$1+2=3$；
项$2^5$是常数项，次数为0。
因此最高次项的次数为3，即该多项式的次数为3。
综上，该多项式次数为3，项数为2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式的项数，多项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易误将常数项$2^5$的指数5当成多项式的次数，解题时要明确多项式的次数只和含字母的项的次数有关，常数项次数为0，不影响最高次的判断。
【难度系数】
0.8

4. 在整式$\frac{1}{3},3x-y^2,2^3x^2y,a,x+\frac{1}{3}y,x+1,\frac{2π a^2}{3}$中，________是单项式，________是多项式。

$\frac{1}{3},2^3x^2y,a,\frac{2π a^2}{3}$ 是单项式，$3x-y^2,x+\frac{1}{3}y,x+1$ 是多项式

【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式和多项式的定义，再依次对每个整式进行判断即可：①单项式定义：数或字母的积组成的代数式，单独的一个数、一个字母也属于单项式，注意π是常数不是字母；②多项式定义：几个单项式的和叫做多项式。接下来逐个分析给出的整式，对应分类即可。
【解析】
先回顾相关定义：
由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式。
逐个判断给出的整式：
1. $\frac{1}{3}$是单独的常数，属于单项式；
2. $3x-y^2$是单项式$3x$和$-y^2$的和，属于多项式；
3. $2^3x^2y$是常数$2^3$与字母$x^2y$的乘积，属于单项式；
4. $a$是单独的字母，属于单项式；
5. $x+\frac{1}{3}y$是单项式$x$和$\frac{1}{3}y$的和，属于多项式；
6. $x+1$是单项式$x$和常数$1$的和，属于多项式；
7. $\frac{2π a^2}{3}$中π是常数，所以它是常数$\frac{2π}{3}$与$a^2$的乘积，属于单项式。
【答案】
$\frac{1}{3},2^3x^2y,a,\frac{2π a^2}{3}$ 是单项式，$3x-y^2,x+\frac{1}{3}y,x+1$ 是多项式
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的分类
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是准确掌握单项式和多项式的定义，需要注意π是常数而非字母，不要把含π的代数式误判为含字母分母的式子，牢记定义即可快速正确分类。
【难度系数】
0.8

5.多项式 $ xy^2 - x^3y - \frac{2}{5}xy - 4 $ 的二次项的系数是。

5. $-\frac{2}{5}$

【分析】
要解决这道题，首先需要明确多项式的相关概念：多项式的每个单项式（包含前面的符号）叫做多项式的项，单项式的次数是项中所有字母的指数之和，单项式的系数是单项式中的数字因数（包含前面的正负号）。解题思路如下：第一步先拆分出多项式的所有项，第二步分别计算每一项的次数，找到二次项，第三步提取二次项的系数即可。
【解析】
首先拆分多项式$ xy^2 - x^3y - \frac{2}{5}xy - 4 $的所有项，分别为：$xy^2$、$-x^3y$、$-\frac{2}{5}xy$、$-4$。
接下来计算每个项的次数：
1. 项$xy^2$的次数为$1+2=3$，是三次项；
2. 项$-x^3y$的次数为$3+1=4$，是四次项；
3. 项$-\frac{2}{5}xy$的次数为$1+1=2$，是二次项；
4. 项$-4$是常数项，次数为0。
因此二次项为$-\frac{2}{5}xy$，它的系数为$-\frac{2}{5}$。
【答案】
$-\frac{2}{5}$
【知识点】
多项式的项、多项式的次数、单项式的系数
【点评】
本题考查多项式的基础概念，解题的关键是准确计算每项的次数，同时注意系数需要包含项前面的符号，避免因漏看负号或错算次数出现错误。
【难度系数】
0.7

6.单项式$-\dfrac{3π xy^2 z}{5}$的系数是，次数是。

6. $-\frac{3π}{5}$ 4

【分析】
解题时先回忆单项式系数和次数的定义：①单项式的系数是单项式中的数字因数；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和。首先确定系数：注意π是常数，不属于字母，所以将数字和π合并作为数字因数即可；再确定次数：找出单项式中所有的字母，分别统计每个字母的指数（未写指数的字母默认指数为1），再相加得到总次数即可。
【解析】
根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数为系数，π是常数，因此单项式$-\dfrac{3π xy^2 z}{5}$的数字因数为$-\dfrac{3π}{5}$，即系数为$-\dfrac{3π}{5}$。
根据单项式次数的定义：所有字母的指数和为单项式的次数，该单项式中字母x的指数为1，y的指数为2，z的指数为1，因此次数为$1+2+1=4$。
【答案】
$-\dfrac{3π}{5}$；4
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题考查单项式的基础概念，易错点是易将π误认为是字母参与次数计算，或是遗漏指数为1的字母的指数，熟练掌握相关定义即可正确作答。
【难度系数】
0.8

7.多项式$-3x^2 + 2x - 1$是单项式，，的和，次数是。

7. $-3x^2$ $2x$ $-1$ 2

【分析】
解题时首先回忆多项式的相关概念：①多项式的项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意项要包含它前面的符号；②多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。第一步先拆分多项式，把每个带符号的单项式单独拆分出来，第二步分别计算每个单项式的次数，找到最高的次数就是多项式的次数。
【解析】
解：根据多项式的定义，多项式是几个单项式的和，拆分时要保留每个项前面的符号：
多项式$-3x^2 + 2x - 1$可以改写为$(-3x^2)+(2x)+(-1)$，因此它是单项式$-3x^2$、$2x$、$-1$的和。
接下来计算各单项式的次数：
$-3x^2$中字母x的指数是2，次数为2；
$2x$中字母x的指数是1，次数为1；
$-1$是常数项，次数为0。
多项式的次数取最高次项的次数，因此这个多项式的次数是2。
【答案】
$-3x^2$；$2x$；$-1$；2
【知识点】
多项式的项；单项式的次数；多项式的次数
【点评】
本题考查多项式的基础概念，易错点是书写多项式的项时容易忽略项前面的负号，明确项的符号属性、区分单项式与多项式次数的计算规则即可正确作答。
【难度系数】
0.8

8.对于多项式$3x^2 - \frac{3}{4}x^4y - 1.3 + 2xy^2$，分别解答下列问题：
(1)写出它是几项式；
(2)写出它的各项；
(3)写出它的最高次项；
(4)写出它的最高次项的次数；
(5)写出它的次数；
(6)写出它的五次项的系数。

8. (1) 四
(2)$3x^2,-\frac{3}{4}x^4y,-1.3,2xy^2$
(3)$-\frac{3}{4}x^4y$
(4)5
(5)5
(6)$-\frac{3}{4}$

【分析】
解答本题需先熟练掌握多项式的相关概念：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，单项式的数字因数叫做单项式的系数。解题时先拆分出多项式的所有项，再分别计算每个项的次数，最后对应各个问题逐一解答即可，注意确定各项时要带上项前面的符号。
【解析】
首先拆分多项式$3x^2 - \frac{3}{4}x^4y - 1.3 + 2xy^2$的所有项，再依次分析：
(1) 该多项式由$3x^2$、$-\frac{3}{4}x^4y$、$-1.3$、$2xy^2$共4个单项式组成，因此是四项式；
(2) 各项分别为：$3x^2$，$-\frac{3}{4}x^4y$，$-1.3$，$2xy^2$；
(3) 计算各单项的次数：$3x^2$的次数为2，$-\frac{3}{4}x^4y$的次数为$4+1=5$，$-1.3$是常数项次数为0，$2xy^2$的次数为$1+2=3$，因此最高次项为$-\frac{3}{4}x^4y$；
(4) 由(3)可知最高次项的次数为5；
(5) 多项式的次数为最高次项的次数，因此该多项式的次数为5；
(6) 五次项为$-\frac{3}{4}x^4y$，其数字因数为$-\frac{3}{4}$，即五次项的系数为$-\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) 四
(2)$3x^2,-\frac{3}{4}x^4y,-1.3,2xy^2$
(3)$-\frac{3}{4}x^4y$
(4)5
(5)5
(6)$-\frac{3}{4}$
【知识点】
多项式的相关概念，单项式的系数与次数
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的核心是准确理解多项式、单项式的相关定义，需要注意确定多项式的项时不能遗漏项前面的符号，计算项的次数时要累加所有字母的指数，不要忽略指数为1的字母。
【难度系数】
0.8