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9.若单项式$2x^3y^4$与$-7x^2y^n$的次数相同，则n是（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
9. C
解析
【分析】
解决本题的思路是：首先回忆单项式次数的定义，即一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；接下来先计算出单项式$2x^3y^4$的次数，再根据两个单项式次数相等的条件列出关于n的等式，求解即可得到n的值。
【解析】
解：根据单项式次数的定义逐步计算：
1. 计算单项式$2x^3y^4$的次数：x的指数是3，y的指数是4，因此次数为$3+4=7$。
2. 已知两个单项式次数相同，因此$-7x^2y^n$的次数也为7，可得等式：$2+n=7$。
3. 求解等式得：$n=7-2=5$。
因此应选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
单项式的次数；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对单项式次数定义的掌握程度，解题时注意不要将数字系数的数值纳入次数计算，准确掌握概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解决本题的思路是：首先回忆单项式次数的定义，即一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；接下来先计算出单项式$2x^3y^4$的次数，再根据两个单项式次数相等的条件列出关于n的等式，求解即可得到n的值。
【解析】
解：根据单项式次数的定义逐步计算：
1. 计算单项式$2x^3y^4$的次数：x的指数是3，y的指数是4，因此次数为$3+4=7$。
2. 已知两个单项式次数相同，因此$-7x^2y^n$的次数也为7，可得等式：$2+n=7$。
3. 求解等式得：$n=7-2=5$。
因此应选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
单项式的次数；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对单项式次数定义的掌握程度，解题时注意不要将数字系数的数值纳入次数计算，准确掌握概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
10.若多项式$a(a-1)x^3+(a-1)x+1$是关于$x$的一次多项式，则$a$的值为(
A.0
B.1
C.0或1
D.不能确定
A
)。A.0
B.1
C.0或1
D.不能确定
答案
10. A
解析
【分析】要解决这道题，首先明确“关于x的一次多项式”的两个要求：一是x的最高次数为1，所以三次项必须不存在，即三次项的系数为0；二是必须存在x的一次项，也就是一次项的系数不能为0，否则就变成常数多项式，不符合要求。我们先根据三次项系数为0求出a的可能取值，再验证一次项系数是否不为0，排除不符合的取值就能得到答案。
【解析】已知多项式是关于x的一次多项式，需同时满足以下两个条件：
1. 三次项系数为0：$a(a-1)=0$，解得$a=0$或$a=1$；
2. 一次项系数不为0：$a-1≠0$，解得$a≠1$。
结合两个条件，最终得$a=0$。
【答案】A
【知识点】1.多项式的次数 2.一元一次多项式判定
【点评】本题属于易错题，解题时容易忽略一次项系数不能为0的限制条件，误选C选项。求解这类多项式次数的问题时，既要保证更高次项的系数为0，也要保证对应次数的项的系数不为0。
【难度系数】0.6
【解析】已知多项式是关于x的一次多项式，需同时满足以下两个条件：
1. 三次项系数为0：$a(a-1)=0$，解得$a=0$或$a=1$；
2. 一次项系数不为0：$a-1≠0$，解得$a≠1$。
结合两个条件，最终得$a=0$。
【答案】A
【知识点】1.多项式的次数 2.一元一次多项式判定
【点评】本题属于易错题，解题时容易忽略一次项系数不能为0的限制条件，误选C选项。求解这类多项式次数的问题时，既要保证更高次项的系数为0，也要保证对应次数的项的系数不为0。
【难度系数】0.6
11.有一个多项式$a^{10} - a^{9}b + a^{8}b^{2} - a^{7}b^{3} + ···$，按照这样的规律写下去，你知道第7项是什么吗？最后一项呢？这是一个几次几项式？有什么规律？
答案
解:可以看出,从左到右a的指数逐次减1,b的指数逐次加1,所以第7项是$a^4b^6$,最后一项是$b^{10}$,这是一个关于a,b的十次十一项式,它的第n项是$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。
解析
【分析】
解题时首先观察已知多项式各项的特征，从三个维度找规律：①符号：奇数项为正，偶数项为负；②a的指数：从10开始，每往后一项减1；③b的指数：从0开始，每往后一项加1，且每项a的指数与b的指数之和恒为10。找到规律后，先代入n=7算出第7项，再根据a的指数降到0时为最后一项算出最后一项，再根据多项式次数、项数的定义判断多项式的类型，最后总结通用规律即可。
【解析】
1. 找规律：观察前几项可得：
符号规律：第n项（n为正整数）的符号为：n为奇数时正，n为偶数时负，可表示为$(-1)^{n+1}$；
a的指数规律：第n项中a的指数为$10-(n-1)=11-n$；
b的指数规律：第n项中b的指数为$n-1$。
2. 求第7项：当n=7时，符号为正，a的指数为$11-7=4$，b的指数为$7-1=6$，故第7项为$a^4b^6$。
3. 求最后一项：当a的指数为0时为最后一项，即$11-n=0$，得n=11，此时b的指数为$11-1=10$，符号为正，故最后一项为$b^{10}$。
4. 判断多项式类型：该多项式共有11项，每项的次数均为10，因此是关于a、b的十次十一项式。
5. 总结规律：第n项可表示为$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$（$1\le n\le11$，n为正整数）。
【答案】
第7项是$a^4b^6$，最后一项是$b^{10}$，这是一个关于a,b的十次十一项式，它的第n项是$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。
【知识点】
多项式的项与次数；规律探究；单项式的概念
【点评】
本题重点考查对整式相关概念的掌握和归纳推理能力，需要分别从符号、字母指数两个角度拆解规律，同时要准确理解多项式次数、项数的判定标准，是整式章节的基础拓展题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知多项式各项的特征，从三个维度找规律：①符号：奇数项为正，偶数项为负；②a的指数：从10开始，每往后一项减1；③b的指数：从0开始，每往后一项加1，且每项a的指数与b的指数之和恒为10。找到规律后，先代入n=7算出第7项，再根据a的指数降到0时为最后一项算出最后一项，再根据多项式次数、项数的定义判断多项式的类型，最后总结通用规律即可。
【解析】
1. 找规律：观察前几项可得：
符号规律：第n项（n为正整数）的符号为：n为奇数时正，n为偶数时负，可表示为$(-1)^{n+1}$；
a的指数规律：第n项中a的指数为$10-(n-1)=11-n$；
b的指数规律：第n项中b的指数为$n-1$。
2. 求第7项：当n=7时，符号为正，a的指数为$11-7=4$，b的指数为$7-1=6$，故第7项为$a^4b^6$。
3. 求最后一项：当a的指数为0时为最后一项，即$11-n=0$，得n=11，此时b的指数为$11-1=10$，符号为正，故最后一项为$b^{10}$。
4. 判断多项式类型：该多项式共有11项，每项的次数均为10，因此是关于a、b的十次十一项式。
5. 总结规律：第n项可表示为$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$（$1\le n\le11$，n为正整数）。
【答案】
第7项是$a^4b^6$，最后一项是$b^{10}$，这是一个关于a,b的十次十一项式，它的第n项是$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。
【知识点】
多项式的项与次数；规律探究；单项式的概念
【点评】
本题重点考查对整式相关概念的掌握和归纳推理能力，需要分别从符号、字母指数两个角度拆解规律，同时要准确理解多项式次数、项数的判定标准，是整式章节的基础拓展题型。
【难度系数】
0.7
12.若代数式$(x^2+ax-2y+7)-(bx^2-2x+9y-1)$的值与字母$x$的取值无关，求$a,b$的值。
答案
$a=-2,b=1$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确“代数式的值与字母x的取值无关”的含义：即无论x取何值，代数式的结果都不变，说明合并同类项后所有含x的项的系数都为0。解题时先对代数式去括号、合并同类项，再令含x的各项系数等于0，即可列方程求出a、b的值。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&(x^2+ax-2y+7)-(bx^2-2x+9y-1)\\=&x^2+ax-2y+7 - bx^2 + 2x - 9y + 1\\=&(1 - b)x^2 + (a + 2)x - 11y + 8\end{aligned}$
因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0：
1. 二次项系数：$1 - b = 0$，解得 $b = 1$
2. 一次项系数：$a + 2 = 0$，解得 $a = -2$
【答案】
$a=-2,b=1$
【知识点】
整式的加减；合并同类项；代数式取值无关条件
【点评】
本题是整式加减的典型应用题型，解题核心是理解代数式取值与某字母无关的本质是该字母的各次项系数均为0，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是正确解题的基础。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确“代数式的值与字母x的取值无关”的含义：即无论x取何值，代数式的结果都不变，说明合并同类项后所有含x的项的系数都为0。解题时先对代数式去括号、合并同类项，再令含x的各项系数等于0，即可列方程求出a、b的值。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&(x^2+ax-2y+7)-(bx^2-2x+9y-1)\\=&x^2+ax-2y+7 - bx^2 + 2x - 9y + 1\\=&(1 - b)x^2 + (a + 2)x - 11y + 8\end{aligned}$
因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0：
1. 二次项系数：$1 - b = 0$，解得 $b = 1$
2. 一次项系数：$a + 2 = 0$，解得 $a = -2$
【答案】
$a=-2,b=1$
【知识点】
整式的加减；合并同类项；代数式取值无关条件
【点评】
本题是整式加减的典型应用题型，解题核心是理解代数式取值与某字母无关的本质是该字母的各次项系数均为0，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是正确解题的基础。
【难度系数】
0.7
