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13.【数学应用】如图，在边长为x的正方形硬纸片上剪去两个直径为x的半圆，所剩部分(图中阴影部分)的面积是多少？
答案
$x^2-\frac{π x^2}{4}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，由于阴影是不规则图形，我们可以用“整体面积减去空白部分面积”的思路求解。首先确定整体是边长为x的正方形，先计算正方形的面积；再观察空白部分是两个直径为x的半圆，两个半圆刚好可以拼接成1个完整的、直径为x的圆，再计算这个圆的面积；最后用正方形面积减去圆的面积，就能得到阴影部分的面积。
【解析】
解：1. 计算正方形的面积：
正方形边长为$x$，因此正方形面积 $S_{正方形}=x × x = x^2$。
2. 计算空白部分的总面积：
两个直径为$x$的半圆可拼成1个完整的圆，圆的直径为$x$，因此半径$r=\frac{x}{2}$。
根据圆的面积公式，圆的面积 $S_{圆}=π r^2 = π × (\frac{x}{2})^2 = \frac{π x^2}{4}$，即空白部分总面积为$\frac{π x^2}{4}$。
3. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{正方形}-S_{圆}=x^2 - \frac{π x^2}{4}$。
【答案】
$x^2-\frac{π x^2}{4}$
【知识点】
割补法求面积，正方形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的基础题，解题关键是灵活运用割补法，将零散的空白半圆转化为规则的整圆简化计算，掌握“整体减空白”的求解思路即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要求阴影部分的面积，由于阴影是不规则图形，我们可以用“整体面积减去空白部分面积”的思路求解。首先确定整体是边长为x的正方形，先计算正方形的面积；再观察空白部分是两个直径为x的半圆，两个半圆刚好可以拼接成1个完整的、直径为x的圆，再计算这个圆的面积；最后用正方形面积减去圆的面积，就能得到阴影部分的面积。
【解析】
解：1. 计算正方形的面积：
正方形边长为$x$，因此正方形面积 $S_{正方形}=x × x = x^2$。
2. 计算空白部分的总面积：
两个直径为$x$的半圆可拼成1个完整的圆，圆的直径为$x$，因此半径$r=\frac{x}{2}$。
根据圆的面积公式，圆的面积 $S_{圆}=π r^2 = π × (\frac{x}{2})^2 = \frac{π x^2}{4}$，即空白部分总面积为$\frac{π x^2}{4}$。
3. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{正方形}-S_{圆}=x^2 - \frac{π x^2}{4}$。
【答案】
$x^2-\frac{π x^2}{4}$
【知识点】
割补法求面积，正方形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的基础题，解题关键是灵活运用割补法，将零散的空白半圆转化为规则的整圆简化计算，掌握“整体减空白”的求解思路即可快速解题。
【难度系数】
0.8
14.【综合与实践】阅读下列材料，完成相应的任务：
对称式
一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫作对称式。
例如，代数式$abc$中任意两个字母交换位置，可得到代数式$bac$，$acb$，$cba$，因为$abc = bac = acb = cba$，所以$abc$是对称式；而代数式$a - b$中字母$a$，$b$交换位置，得到代数式$b - a$，因为$a - b$与$b - a$可能不相等，所以$a - b$不是对称式。
任务一：下列四个代数式，是对称式的是
①$a + b + c$；②$a^2 + b^2$；③$a^2b$；④$\frac{a}{b}$。
任务二：写出一个只含有字母$x$，$y$的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6次。
对称式
一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫作对称式。
例如，代数式$abc$中任意两个字母交换位置，可得到代数式$bac$，$acb$，$cba$，因为$abc = bac = acb = cba$，所以$abc$是对称式；而代数式$a - b$中字母$a$，$b$交换位置，得到代数式$b - a$，因为$a - b$与$b - a$可能不相等，所以$a - b$不是对称式。
任务一：下列四个代数式，是对称式的是
①②
（填序号）。①$a + b + c$；②$a^2 + b^2$；③$a^2b$；④$\frac{a}{b}$。
任务二：写出一个只含有字母$x$，$y$的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6次。
答案
14. ①② $x^3y^3$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时首先要明确对称式的核心判断标准：交换代数式中任意两个字母的位置，代数式的值不变。任务一可逐个对照定义判断四个代数式是否符合要求；任务二需同时满足三个要求：仅含x、y的单项式、是对称式、次数为6，结合对称式的特征和单项式次数的定义构造即可。
【解析】
任务一：根据对称式定义逐一判断：
①交换a、b、c中任意两个字母的位置，相加的结果不变，故$a+b+c$是对称式；
②交换a、b的位置，得到$b^2+a^2$，和原式$a^2+b^2$相等，故$a^2+b^2$是对称式；
③交换a、b的位置，得到$b^2a=ab^2$，当$a≠b$且$a、b$均不为0时，$a^2b≠ab^2$，故$a^2b$不是对称式；
④交换a、b的位置，得到$\frac{b}{a}$，当$a≠±b$且$a、b$均不为0时，$\frac{a}{b}≠\frac{b}{a}$，故$\frac{a}{b}$不是对称式。
因此任务一选①②。
任务二：要求的单项式需同时满足：仅含字母x、y，是对称式，次数为6。根据对称式的定义，交换x、y的位置后单项式不变，因此x和y的指数相等；又单项式的次数是所有字母指数的和为6，因此x、y的指数均为3，可得符合要求的单项式为$x^3y^3$（答案不唯一，系数不为0且x、y指数均为3即可）。
【答案】
①②；$x^3y^3$（答案不唯一）
【知识点】
对称式的定义，单项式的次数，新定义理解
【点评】
本题为新定义类题型，重点考查对新概念的理解能力和知识迁移应用能力，只要准确把握对称式的核心特征，结合已有代数式、单项式的相关知识就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确对称式的核心判断标准：交换代数式中任意两个字母的位置，代数式的值不变。任务一可逐个对照定义判断四个代数式是否符合要求；任务二需同时满足三个要求：仅含x、y的单项式、是对称式、次数为6，结合对称式的特征和单项式次数的定义构造即可。
【解析】
任务一：根据对称式定义逐一判断：
①交换a、b、c中任意两个字母的位置，相加的结果不变，故$a+b+c$是对称式；
②交换a、b的位置，得到$b^2+a^2$，和原式$a^2+b^2$相等，故$a^2+b^2$是对称式；
③交换a、b的位置，得到$b^2a=ab^2$，当$a≠b$且$a、b$均不为0时，$a^2b≠ab^2$，故$a^2b$不是对称式；
④交换a、b的位置，得到$\frac{b}{a}$，当$a≠±b$且$a、b$均不为0时，$\frac{a}{b}≠\frac{b}{a}$，故$\frac{a}{b}$不是对称式。
因此任务一选①②。
任务二：要求的单项式需同时满足：仅含字母x、y，是对称式，次数为6。根据对称式的定义，交换x、y的位置后单项式不变，因此x和y的指数相等；又单项式的次数是所有字母指数的和为6，因此x、y的指数均为3，可得符合要求的单项式为$x^3y^3$（答案不唯一，系数不为0且x、y指数均为3即可）。
【答案】
①②；$x^3y^3$（答案不唯一）
【知识点】
对称式的定义，单项式的次数，新定义理解
【点评】
本题为新定义类题型，重点考查对新概念的理解能力和知识迁移应用能力，只要准确把握对称式的核心特征，结合已有代数式、单项式的相关知识就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
