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1. 易错（2026山东德州武城县期末）已知线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，$C$是直线$AB$上一点，$BC=4\ \mathrm{cm}$。若$M$是$AB$的中点，$N$是$BC$的中点，则线段$MN$的长度是（
A.$7\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$或$5\ \mathrm{cm}$
C.$7\ \mathrm{cm}$或$3\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
C
）A.$7\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$或$5\ \mathrm{cm}$
C.$7\ \mathrm{cm}$或$3\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
答案
1. C
易错警示
题干未附图,需根据题干描述画出所有可能的情形再计算.
易错警示
题干未附图,需根据题干描述画出所有可能的情形再计算.
解析
【分析】
本题是直线上线段长度的计算问题，解题时首先要注意题干中C在直线AB上，而非线段AB上，因此存在两种位置情况：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。解题步骤如下：先根据线段中点的定义分别求出MB、BN的长度，再结合两种位置情况，利用线段的和差关系分别计算MN的长度，最后汇总结果即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB上时：
∵M是AB的中点，AB=10cm
∴$MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$
∵N是BC的中点，BC=4cm
∴$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$
∴$MN=MB-BN=5-2=3\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB的延长线上时：
同理可得$MB=5\ \mathrm{cm}$，$BN=2\ \mathrm{cm}$
∴$MN=MB+BN=5+2=7\ \mathrm{cm}$
综上，线段MN的长度为7cm或3cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，难点在于容易忽略“C在直线AB上”的多种位置情况，仅计算其中一种情形导致漏解。遇到无附图的线段计算类题目时，要先梳理所有可能的点的位置关系，再分类计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是直线上线段长度的计算问题，解题时首先要注意题干中C在直线AB上，而非线段AB上，因此存在两种位置情况：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。解题步骤如下：先根据线段中点的定义分别求出MB、BN的长度，再结合两种位置情况，利用线段的和差关系分别计算MN的长度，最后汇总结果即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB上时：
∵M是AB的中点，AB=10cm
∴$MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$
∵N是BC的中点，BC=4cm
∴$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$
∴$MN=MB-BN=5-2=3\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB的延长线上时：
同理可得$MB=5\ \mathrm{cm}$，$BN=2\ \mathrm{cm}$
∴$MN=MB+BN=5+2=7\ \mathrm{cm}$
综上，线段MN的长度为7cm或3cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，难点在于容易忽略“C在直线AB上”的多种位置情况，仅计算其中一种情形导致漏解。遇到无附图的线段计算类题目时，要先梳理所有可能的点的位置关系，再分类计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. (2026安徽铜陵枞阳县期末)一列高铁行驶路线的示意图如图所示，图中5个点表示5个经停车站，这列高铁在这条路线上往返行车，需印制车票（
A.10种
B.11种
C.20种
D.22种
C
）A.10种
B.11种
C.20种
D.22种
答案
2. C
解析 题图中线段有 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10条,故往返需印制20种车票.
解析 题图中线段有 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10条,故往返需印制20种车票.
解析
【分析】
解题时首先明确车票具有方向性，往返两个站点的车票属于不同种类，因此可以分两步计算：第一步先计算单程的路线总数，即统计图中所有线段的数量，每一条线段对应一种单程车票；第二步因为是往返行车，总车票数是单程车票数的2倍。数线段时按左端点顺序计数可避免重复或遗漏：从左起第一个点出发，依次和右侧各点组合形成线段，再从第二个点出发和它右侧的点组合，以此类推相加即可得到总线段数。
【解析】
首先计算图中单程对应的线段总数：
从点A出发可构成线段AB、AC、AD、AE，共4条；
从点B出发可构成线段BC、BD、BE，共3条；
从点C出发可构成线段CD、CE，共2条；
从点D出发可构成线段DE，共1条；
总线段数为4+3+2+1=10条。
由于往返车票方向不同，对应不同的车票，因此总车票数为10×2=20种。
【答案】
C
【知识点】
线段计数、有序搭配
【点评】
本题结合实际出行场景考查线段计数的应用，易错点是忽略车票的方向性，误将单程的线段总数直接作为最终结果，解题时注意结合生活常识判断即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确车票具有方向性，往返两个站点的车票属于不同种类，因此可以分两步计算：第一步先计算单程的路线总数，即统计图中所有线段的数量，每一条线段对应一种单程车票；第二步因为是往返行车，总车票数是单程车票数的2倍。数线段时按左端点顺序计数可避免重复或遗漏：从左起第一个点出发，依次和右侧各点组合形成线段，再从第二个点出发和它右侧的点组合，以此类推相加即可得到总线段数。
【解析】
首先计算图中单程对应的线段总数：
从点A出发可构成线段AB、AC、AD、AE，共4条；
从点B出发可构成线段BC、BD、BE，共3条；
从点C出发可构成线段CD、CE，共2条；
从点D出发可构成线段DE，共1条；
总线段数为4+3+2+1=10条。
由于往返车票方向不同，对应不同的车票，因此总车票数为10×2=20种。
【答案】
C
【知识点】
线段计数、有序搭配
【点评】
本题结合实际出行场景考查线段计数的应用，易错点是忽略车票的方向性，误将单程的线段总数直接作为最终结果，解题时注意结合生活常识判断即可。
【难度系数】
0.7
3. (2026甘肃兰州十九中教育集团期末)如图，点A,B,C在同一条直线上，O为AC的中点，E为AB的中点，F为BC的中点。有下列说法：①$EF=OC$；②$EF=\frac{1}{2}(AC+OB)$；③$EO=\frac{1}{2}(AO-OB)$；④$OF=\frac{1}{2}(OC+OB)$，其中正确的是 (
A.①③
B.②④
C.①④
D.①③④
D
)A.①③
B.②④
C.①④
D.①③④
答案
3. D
解析 ①设 $AC=2a,OB=b$. 因为 O 为 AC 的中点,所以 $OA=OC=\frac{1}{2}AC=a$. 所以 $AB=OA+OB=a+b$, $BC=OC-OB=a-b$. 因为 E 为 AB 的中点,F 为 BC 的中点,所以 $AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(a+b),BF=CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(a-b)$. 所以 $EF=BE+BF=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(a-b)=a$. 所以 $EF=OC$. 故①正确. ②$\frac{1}{2}(AC+OB)=\frac{1}{2}(2a+b),EF=a$,所以 $EF\ne\frac{1}{2}(AC+OB)$. 故②不正确. ③$EO=BE-OB=\frac{1}{2}(a+b)-b=\frac{1}{2}(a-b)$, $\frac{1}{2}(AO-OB)=\frac{1}{2}(a-b)$,所以 $EO=\frac{1}{2}(AO-OB)$. 故③正确. ④$OF=OB+BF=b+\frac{1}{2}(a-b)=\frac{1}{2}(a+b)$, $\frac{1}{2}(OC+OB)=\frac{1}{2}(a+b)$,所以 $OF=\frac{1}{2}(OC+OB)$. 故④正确.综上所述,正确的是①③④,故选 D.
解析 ①设 $AC=2a,OB=b$. 因为 O 为 AC 的中点,所以 $OA=OC=\frac{1}{2}AC=a$. 所以 $AB=OA+OB=a+b$, $BC=OC-OB=a-b$. 因为 E 为 AB 的中点,F 为 BC 的中点,所以 $AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(a+b),BF=CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(a-b)$. 所以 $EF=BE+BF=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(a-b)=a$. 所以 $EF=OC$. 故①正确. ②$\frac{1}{2}(AC+OB)=\frac{1}{2}(2a+b),EF=a$,所以 $EF\ne\frac{1}{2}(AC+OB)$. 故②不正确. ③$EO=BE-OB=\frac{1}{2}(a+b)-b=\frac{1}{2}(a-b)$, $\frac{1}{2}(AO-OB)=\frac{1}{2}(a-b)$,所以 $EO=\frac{1}{2}(AO-OB)$. 故③正确. ④$OF=OB+BF=b+\frac{1}{2}(a-b)=\frac{1}{2}(a+b)$, $\frac{1}{2}(OC+OB)=\frac{1}{2}(a+b)$,所以 $OF=\frac{1}{2}(OC+OB)$. 故④正确.综上所述,正确的是①③④,故选 D.
解析
【分析】
本题是线段中点相关的等量关系判断问题，解题时可通过设参数将各线段长度量化，降低推理难度：首先设出AC和OB的长度参数，再根据中点性质分别表示出AB、BC、BE、BF等线段的长度，最后逐一计算四个结论中等号两侧的线段长度，对比是否相等即可判断结论正误。
【解析】
设$AC=2a$，$OB=b$。
∵ O为AC的中点，
∴ $OA=OC=\frac{1}{2}AC=a$。
则 $AB=OA+OB=a+b$，$BC=OC-OB=a-b$。
∵ E为AB的中点，F为BC的中点，
∴ $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(a+b)$，$BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(a-b)$。
① 计算$EF$：$EF=BE+BF=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(a-b)=a$，和$OC=a$相等，故①正确；
② 计算$\frac{1}{2}(AC+OB)=\frac{1}{2}(2a+b)=a+\frac{b}{2}$，和$EF=a$不相等，故②错误；
③ 计算$EO=BE-OB=\frac{1}{2}(a+b)-b=\frac{1}{2}(a-b)$，$\frac{1}{2}(AO-OB)=\frac{1}{2}(a-b)$，二者相等，故③正确；
④ 计算$OF=OB+BF=b+\frac{1}{2}(a-b)=\frac{1}{2}(a+b)$，$\frac{1}{2}(OC+OB)=\frac{1}{2}(a+b)$，二者相等，故④正确。
综上，①③④正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；整式化简
【点评】
本题是线段运算的典型题型，借助参数表示线段长度的方法，能清晰梳理复杂的线段和差关系，解题核心是熟练掌握线段中点的性质，准确对应各线段的数量关系，避免因线段关系混淆出错。
【难度系数】
0.6
本题是线段中点相关的等量关系判断问题，解题时可通过设参数将各线段长度量化，降低推理难度：首先设出AC和OB的长度参数，再根据中点性质分别表示出AB、BC、BE、BF等线段的长度，最后逐一计算四个结论中等号两侧的线段长度，对比是否相等即可判断结论正误。
【解析】
设$AC=2a$，$OB=b$。
∵ O为AC的中点，
∴ $OA=OC=\frac{1}{2}AC=a$。
则 $AB=OA+OB=a+b$，$BC=OC-OB=a-b$。
∵ E为AB的中点，F为BC的中点，
∴ $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(a+b)$，$BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(a-b)$。
① 计算$EF$：$EF=BE+BF=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(a-b)=a$，和$OC=a$相等，故①正确；
② 计算$\frac{1}{2}(AC+OB)=\frac{1}{2}(2a+b)=a+\frac{b}{2}$，和$EF=a$不相等，故②错误；
③ 计算$EO=BE-OB=\frac{1}{2}(a+b)-b=\frac{1}{2}(a-b)$，$\frac{1}{2}(AO-OB)=\frac{1}{2}(a-b)$，二者相等，故③正确；
④ 计算$OF=OB+BF=b+\frac{1}{2}(a-b)=\frac{1}{2}(a+b)$，$\frac{1}{2}(OC+OB)=\frac{1}{2}(a+b)$，二者相等，故④正确。
综上，①③④正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；整式化简
【点评】
本题是线段运算的典型题型，借助参数表示线段长度的方法，能清晰梳理复杂的线段和差关系，解题核心是熟练掌握线段中点的性质，准确对应各线段的数量关系，避免因线段关系混淆出错。
【难度系数】
0.6
4.(2026湖南岳阳平江县期末)如果一个角的补角为$158°$,那么这个角的余角是 (
A.$22°$
B.$68°$
C.$52°$
D.$112°$
B
)A.$22°$
B.$68°$
C.$52°$
D.$112°$
答案
4. B
解析
【分析】
解题需结合补角、余角的定义分步计算：第一步先根据补角的定义，用180°减去已知的补角度数，求出这个角本身的度数；第二步再根据余角的定义，用90°减去这个角的度数，即可得到它的余角，最后匹配对应选项。也可以利用“同一个角的补角比余角大90°”的规律直接计算，更加简便。
【解析】
方法一：
设这个角的度数为$ x $。
根据补角的定义：互为补角的两个角之和为$ 180° $，可得：
$ x + 158° = 180° $
解得$ x = 180° - 158° = 22° $
再根据余角的定义：互为余角的两个角之和为$ 90° $，可得这个角的余角为：
$ 90° - 22° = 68° $
方法二：
根据同一个角的补角比余角大$ 90° $的规律，可直接计算余角：
$ 158° - 90° = 68° $
【答案】
B
【知识点】
补角的定义；余角的定义；角度运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查补角和余角的概念理解与简单计算，熟练掌握相关定义即可快速作答，是角的运算模块的常考题型。
【难度系数】
0.85
解题需结合补角、余角的定义分步计算：第一步先根据补角的定义，用180°减去已知的补角度数，求出这个角本身的度数；第二步再根据余角的定义，用90°减去这个角的度数，即可得到它的余角，最后匹配对应选项。也可以利用“同一个角的补角比余角大90°”的规律直接计算，更加简便。
【解析】
方法一：
设这个角的度数为$ x $。
根据补角的定义：互为补角的两个角之和为$ 180° $，可得：
$ x + 158° = 180° $
解得$ x = 180° - 158° = 22° $
再根据余角的定义：互为余角的两个角之和为$ 90° $，可得这个角的余角为：
$ 90° - 22° = 68° $
方法二：
根据同一个角的补角比余角大$ 90° $的规律，可直接计算余角：
$ 158° - 90° = 68° $
【答案】
B
【知识点】
补角的定义；余角的定义；角度运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查补角和余角的概念理解与简单计算，熟练掌握相关定义即可快速作答，是角的运算模块的常考题型。
【难度系数】
0.85
5. 新趋势·回归教材（第178页习题6题变式）
我们通常把钟表的时针与分针所夹的角叫作钟面角. 若在0时至12时的某整点时刻,钟面角α恰好是其余角的2倍,则此时的时刻是（
A.4时或8时
B.2时或8时
C.4时或10时
D.2时或10时
我们通常把钟表的时针与分针所夹的角叫作钟面角. 若在0时至12时的某整点时刻,钟面角α恰好是其余角的2倍,则此时的时刻是（
D
）A.4时或8时
B.2时或8时
C.4时或10时
D.2时或10时
答案
5. D
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步，先根据余角的定义和题目给出的钟面角与它余角的数量关系，计算出钟面角α的具体度数；第二步，结合钟面的刻度特点：整点时分针固定指向12，钟面一圈360°被12个大格平均划分，每个大格对应30°，计算出时针和分针差几个大格时夹角等于α，再找出对应的整点时刻即可。
【解析】
1. 计算钟面角α的度数：
根据余角定义，两个角和为90°则互余，因此α的余角为$(90{}^{\circ }-α )$。
由题意列方程：$α =2(90{}^{\circ }-α )$
解方程：
$α =180{}^{\circ }-2α$
$3α =180{}^{\circ }$
$α =60{}^{\circ }$
2. 计算对应整点时刻：
钟面一周为360°，共12个大格，每个大格的度数为$360{}^{\circ }÷ 12=30{}^{\circ }$。
整点时分针指向12，要使时针与分针夹角为60°，则时针和12的位置需相差$60{}^{\circ }÷ 30{}^{\circ }=2$个大格。
符合条件的整点为：时针指向2（对应2时）、时针指向10（对应10时），两个时刻的钟面角均为60°。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；钟面角计算；一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的钟表场景考查角的相关计算，既需要掌握角的基础概念，也需要熟悉钟面的刻度特点，是一道贴合生活实际的基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题可分两步思考：第一步，先根据余角的定义和题目给出的钟面角与它余角的数量关系，计算出钟面角α的具体度数；第二步，结合钟面的刻度特点：整点时分针固定指向12，钟面一圈360°被12个大格平均划分，每个大格对应30°，计算出时针和分针差几个大格时夹角等于α，再找出对应的整点时刻即可。
【解析】
1. 计算钟面角α的度数：
根据余角定义，两个角和为90°则互余，因此α的余角为$(90{}^{\circ }-α )$。
由题意列方程：$α =2(90{}^{\circ }-α )$
解方程：
$α =180{}^{\circ }-2α$
$3α =180{}^{\circ }$
$α =60{}^{\circ }$
2. 计算对应整点时刻：
钟面一周为360°，共12个大格，每个大格的度数为$360{}^{\circ }÷ 12=30{}^{\circ }$。
整点时分针指向12，要使时针与分针夹角为60°，则时针和12的位置需相差$60{}^{\circ }÷ 30{}^{\circ }=2$个大格。
符合条件的整点为：时针指向2（对应2时）、时针指向10（对应10时），两个时刻的钟面角均为60°。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；钟面角计算；一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的钟表场景考查角的相关计算，既需要掌握角的基础概念，也需要熟悉钟面的刻度特点，是一道贴合生活实际的基础应用题。
【难度系数】
0.7
6.(2026山西朔州期末)下列角度换算正确的是（
A.$1°=60''$
B.$1.5°=90'$
C.$0.5°=50'$
D.$1°=10'$
B
）A.$1°=60''$
B.$1.5°=90'$
C.$0.5°=50'$
D.$1°=10'$
答案
6. B
解析
【分析】
要解决这道角度换算题，首先需要明确度、分、秒相邻单位之间的换算进率为60，即$1°=60'$，$1'=60''$，解题时只需将每个选项中的角度按照进率换算成对应单位，再判断说法是否正确即可。
【解析】
角度单位度、分、秒是60进制，换算规则为：$\boxed{1°=60'}$，$\boxed{1'=60''}$。
逐一分析选项：
A选项：$1°=60'=60×60''=3600''$，不是$60''$，该选项错误；
B选项：$1.5°=1.5×60'=90'$，该选项正确；
C选项：$0.5°=0.5×60'=30'$，不是$50'$，该选项错误；
D选项：$1°=60'$，不是$10'$，该选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
度分秒的换算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查角度相邻单位的换算规则，解题时注意不要将度分秒的进率和十进制混淆，细心计算即可判断对错。
【难度系数】
0.9
要解决这道角度换算题，首先需要明确度、分、秒相邻单位之间的换算进率为60，即$1°=60'$，$1'=60''$，解题时只需将每个选项中的角度按照进率换算成对应单位，再判断说法是否正确即可。
【解析】
角度单位度、分、秒是60进制，换算规则为：$\boxed{1°=60'}$，$\boxed{1'=60''}$。
逐一分析选项：
A选项：$1°=60'=60×60''=3600''$，不是$60''$，该选项错误；
B选项：$1.5°=1.5×60'=90'$，该选项正确；
C选项：$0.5°=0.5×60'=30'$，不是$50'$，该选项错误；
D选项：$1°=60'$，不是$10'$，该选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
度分秒的换算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查角度相邻单位的换算规则，解题时注意不要将度分秒的进率和十进制混淆，细心计算即可判断对错。
【难度系数】
0.9
7.(2026福建泉州石狮市期末)如图，$∠ AOB=α$，$∠ BOC = 5∠ AOB$，$OD$平分$∠ AOC$，则$∠ BOD$的度数为（
A.$α$
B.$2α$
C.$3α$
D.$4α$
B
）A.$α$
B.$2α$
C.$3α$
D.$4α$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先根据已知的∠AOB的度数和∠BOC与∠AOB的倍数关系，先求出∠AOC的总度数；再利用角平分线的定义求出∠AOD的度数；最后根据角的和差关系，用∠AOD减去∠AOB即可得到∠BOD的度数。
【解析】
已知$∠ AOB=α$，$∠ BOC=5∠ AOB$，因此$∠ BOC=5α$。
则$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = α + 5α = 6α$。
因为$OD$平分$∠ AOC$，根据角平分线的定义可得：
$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×6α = 3α$。
因此$∠ BOD = ∠ AOD - ∠ AOB = 3α - α = 2α$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的和差运算；角平分线的定义
【点评】
本题属于角的运算的常规题型，解题的关键是理清图中各个角之间的数量关系，结合角平分线的性质将未知角用已知角表示即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据已知的∠AOB的度数和∠BOC与∠AOB的倍数关系，先求出∠AOC的总度数；再利用角平分线的定义求出∠AOD的度数；最后根据角的和差关系，用∠AOD减去∠AOB即可得到∠BOD的度数。
【解析】
已知$∠ AOB=α$，$∠ BOC=5∠ AOB$，因此$∠ BOC=5α$。
则$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = α + 5α = 6α$。
因为$OD$平分$∠ AOC$，根据角平分线的定义可得：
$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×6α = 3α$。
因此$∠ BOD = ∠ AOD - ∠ AOB = 3α - α = 2α$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的和差运算；角平分线的定义
【点评】
本题属于角的运算的常规题型，解题的关键是理清图中各个角之间的数量关系，结合角平分线的性质将未知角用已知角表示即可求解。
【难度系数】
0.8
8. 某校七年级(1)班的数学活动小组在做角的拓展练习时，尝试利用一副三角尺完成探究.
(1)如图1，边OA与边OD都在直线MN上，∠AOB=45°, ∠COD=60°,则∠BOC的度数为
(2)在(1)的基础上，保持三角尺COD不动，将三角尺AOB绕点O顺时针旋转一个角度α.
①如图2，当∠AOD为直角时，求∠BOC的度数.
②如图3，在旋转过程中，两个三角尺都在直线MN的上方，当边OB平分由OA,OC,OD中的任意两边组成的角时，旋转角α的度数是多少？请直接写出答案.
(1)如图1，边OA与边OD都在直线MN上，∠AOB=45°, ∠COD=60°,则∠BOC的度数为
75°
.(2)在(1)的基础上，保持三角尺COD不动，将三角尺AOB绕点O顺时针旋转一个角度α.
①如图2，当∠AOD为直角时，求∠BOC的度数.
②如图3，在旋转过程中，两个三角尺都在直线MN的上方，当边OB平分由OA,OC,OD中的任意两边组成的角时，旋转角α的度数是多少？请直接写出答案.
答案
8. 解:(1)$75°$
(2)①因为$∠AOD$为直角,
所以$∠AOD=90°$.
因为$∠AOB=45°$,
所以$∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°-45°=45°$.
因为$∠COD=60°$,
所以$∠BOC=∠COD-∠BOD=60°-45°=15°$.
②旋转角α的度数为$30°$或$90°$或$105°$.
解析 当OB平分$∠AOC$时,$∠AOC=2∠AOB=90°$,
因为$∠AOM=α,∠COD=60°$,所以$∠AOC=180°-∠AOM-∠COD=180°-α-60°=120°-α$,所以$120°-α=90°$,所以$α=30°$;当OB平分$∠AOD$时,$∠AOD=2∠AOB=90°$,所以$α=180°-∠AOD=90°$;当OB平分$∠COD$时,$∠BOD=\frac{1}{2}∠COD=30°$,所以$α=180°-∠AOB-∠BOD=105°$.综上所述,旋转角α的度数为$30°$或$90°$或$105°$.
(2)①因为$∠AOD$为直角,
所以$∠AOD=90°$.
因为$∠AOB=45°$,
所以$∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°-45°=45°$.
因为$∠COD=60°$,
所以$∠BOC=∠COD-∠BOD=60°-45°=15°$.
②旋转角α的度数为$30°$或$90°$或$105°$.
解析 当OB平分$∠AOC$时,$∠AOC=2∠AOB=90°$,
因为$∠AOM=α,∠COD=60°$,所以$∠AOC=180°-∠AOM-∠COD=180°-α-60°=120°-α$,所以$120°-α=90°$,所以$α=30°$;当OB平分$∠AOD$时,$∠AOD=2∠AOB=90°$,所以$α=180°-∠AOD=90°$;当OB平分$∠COD$时,$∠BOD=\frac{1}{2}∠COD=30°$,所以$α=180°-∠AOB-∠BOD=105°$.综上所述,旋转角α的度数为$30°$或$90°$或$105°$.
解析
【分析】
(1) 已知OA与OD都在直线MN上，故∠AOB、∠BOC、∠COD三个角相加等于平角180°，代入已知的∠AOB和∠COD的度数，直接作差即可求出∠BOC的度数。
(2) ① 先根据直角的定义确定∠AOD的度数，再通过角的和差关系先计算出∠BOD的度数，最后用∠COD减去∠BOD即可得到∠BOC的度数。
② 题目说明OB平分OA、OC、OD中任意两边组成的角，因此需要分三种情况讨论：OB平分∠AOC、OB平分∠AOD、OB平分∠COD，结合角平分线的性质和角的和差关系分别列等式求解α，同时注意满足两个三角尺都在直线MN上方的限制条件。
【解析】
(1)
∵ 边OA与边OD都在直线MN上，
∴ ∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，
又
∵ ∠AOB=45°，∠COD=60°，
∴ ∠BOC=180°-45°-60°=75°。
(2) ①
∵ ∠AOD为直角，
∴ ∠AOD=90°，
∵ ∠AOB=45°，
∴ ∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°-45°=45°，
∵ ∠COD=60°，
∴ ∠BOC=∠COD-∠BOD=60°-45°=15°。
② 分三种情况讨论：
当OB平分∠AOC时，∠AOC=2∠AOB=90°，
∵ ∠AOM=α，∠COD=60°，
∴ ∠AOC=180°-α-60°=120°-α，
即120°-α=90°，解得α=30°；
当OB平分∠AOD时，∠AOD=2∠AOB=90°，
∴ α=180°-∠AOD=90°；
当OB平分∠COD时，∠BOD=$\frac{1}{2}$∠COD=30°，
∴ α=180°-∠AOB-∠BOD=180°-45°-30°=105°。
综上，旋转角α的度数为30°或90°或105°。
【答案】
(1) $\boxed{75°}$；(2) ① $\boxed{15°}$；② $\boxed{30°}$或$\boxed{90°}$或$\boxed{105°}$
【知识点】
角的和差运算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题结合三角尺的旋转考查角的相关计算，要求熟练掌握角的基本性质和运算关系，难点在于第②小问需要根据题意进行分类讨论，避免漏解，能够有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
(1) 已知OA与OD都在直线MN上，故∠AOB、∠BOC、∠COD三个角相加等于平角180°，代入已知的∠AOB和∠COD的度数，直接作差即可求出∠BOC的度数。
(2) ① 先根据直角的定义确定∠AOD的度数，再通过角的和差关系先计算出∠BOD的度数，最后用∠COD减去∠BOD即可得到∠BOC的度数。
② 题目说明OB平分OA、OC、OD中任意两边组成的角，因此需要分三种情况讨论：OB平分∠AOC、OB平分∠AOD、OB平分∠COD，结合角平分线的性质和角的和差关系分别列等式求解α，同时注意满足两个三角尺都在直线MN上方的限制条件。
【解析】
(1)
∵ 边OA与边OD都在直线MN上，
∴ ∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，
又
∵ ∠AOB=45°，∠COD=60°，
∴ ∠BOC=180°-45°-60°=75°。
(2) ①
∵ ∠AOD为直角，
∴ ∠AOD=90°，
∵ ∠AOB=45°，
∴ ∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°-45°=45°，
∵ ∠COD=60°，
∴ ∠BOC=∠COD-∠BOD=60°-45°=15°。
② 分三种情况讨论：
当OB平分∠AOC时，∠AOC=2∠AOB=90°，
∵ ∠AOM=α，∠COD=60°，
∴ ∠AOC=180°-α-60°=120°-α，
即120°-α=90°，解得α=30°；
当OB平分∠AOD时，∠AOD=2∠AOB=90°，
∴ α=180°-∠AOD=90°；
当OB平分∠COD时，∠BOD=$\frac{1}{2}$∠COD=30°，
∴ α=180°-∠AOB-∠BOD=180°-45°-30°=105°。
综上，旋转角α的度数为30°或90°或105°。
【答案】
(1) $\boxed{75°}$；(2) ① $\boxed{15°}$；② $\boxed{30°}$或$\boxed{90°}$或$\boxed{105°}$
【知识点】
角的和差运算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题结合三角尺的旋转考查角的相关计算，要求熟练掌握角的基本性质和运算关系，难点在于第②小问需要根据题意进行分类讨论，避免漏解，能够有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
