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6.某商店现有甲、乙、丙三种型号的电视机共1800台.其中甲型号电视机的数量是乙型号电视机数量的5倍,丙型号电视机比乙型号电视机多120台.甲、乙、丙三种型号的电视机各有多少台？
答案
6. 解:设乙型号电视机有 x 台,则甲型号电视机有 5x 台,丙型号电视机有(x+120)台.
由题意得 5x+x+(x+120)=1 800.
解得 x=240.
进而 5x=1 200,x+120=360.
答:甲型号电视机有 1 200 台,乙型号电视机有 240 台,丙型号电视机有 360 台.
由题意得 5x+x+(x+120)=1 800.
解得 x=240.
进而 5x=1 200,x+120=360.
答:甲型号电视机有 1 200 台,乙型号电视机有 240 台,丙型号电视机有 360 台.
解析
【分析】
这是和差倍关系的实际应用题，首先观察三个未知量的关联：甲、丙的数量都直接和乙的数量相关，因此选择设乙型号电视机数量为未知数x最为简便，再分别用含x的式子表示甲、丙的数量，最后根据“三种型号电视机总台数为1800台”的等量关系列一元一次方程，求解后再计算甲、丙的数量即可。
【解析】
解：设乙型号电视机有x台，则甲型号电视机有5x台，丙型号电视机有(x+120)台。
由题意得：
$5x + x + (x + 120) = 1800$
合并同类项得：$7x + 120 = 1800$
移项计算得：$7x = 1680$
系数化为1得：$x = 240$
则甲型号电视机数量：$5x = 5×240 = 1200$（台）
丙型号电视机数量：$x + 120 = 240 + 120 = 360$（台）
【答案】
甲型号电视机有1200台，乙型号电视机有240台，丙型号电视机有360台。
【知识点】
一元一次方程应用，和差倍问题
【点评】
本题属于基础类列方程解应用题，解题核心是找准作为参照的基准未知量设为x，再根据总量关系建立方程，计算难度低，找准等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是和差倍关系的实际应用题，首先观察三个未知量的关联：甲、丙的数量都直接和乙的数量相关，因此选择设乙型号电视机数量为未知数x最为简便，再分别用含x的式子表示甲、丙的数量，最后根据“三种型号电视机总台数为1800台”的等量关系列一元一次方程，求解后再计算甲、丙的数量即可。
【解析】
解：设乙型号电视机有x台，则甲型号电视机有5x台，丙型号电视机有(x+120)台。
由题意得：
$5x + x + (x + 120) = 1800$
合并同类项得：$7x + 120 = 1800$
移项计算得：$7x = 1680$
系数化为1得：$x = 240$
则甲型号电视机数量：$5x = 5×240 = 1200$（台）
丙型号电视机数量：$x + 120 = 240 + 120 = 360$（台）
【答案】
甲型号电视机有1200台，乙型号电视机有240台，丙型号电视机有360台。
【知识点】
一元一次方程应用，和差倍问题
【点评】
本题属于基础类列方程解应用题，解题核心是找准作为参照的基准未知量设为x，再根据总量关系建立方程，计算难度低，找准等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
7.一个四位数的个位上的数字为2,若把个位上的数字移到首位,得到的新数比原数小108.求原来的四位数是多少.
答案
7. 解: 若将原来的四位数记为 $\overline{abc2}$, 则新数可记为 $\overline{2abc}$.
设$\overline{abc}$ 为 x, 则原来的四位数是 10x+2, 新数是1 000×2+x.
由题意得(10x+2)-(1 000×2+x)=108.
解得 x=234.
进而 10x+2=2 342.
答:原来的四位数是 2 342.
设$\overline{abc}$ 为 x, 则原来的四位数是 10x+2, 新数是1 000×2+x.
由题意得(10x+2)-(1 000×2+x)=108.
解得 x=234.
进而 10x+2=2 342.
答:原来的四位数是 2 342.
解析
【分析】
这是一道数字移位类的一元一次方程应用题，解题核心是掌握多位数的表示方法，巧用整体设元简化计算。首先观察到原四位数仅个位数字已知，其余三位是连续的整体，我们可以把前三位看作一个整体设为x，就能用含x的式子分别表示出原数和移位后的新数，再根据“新数比原数小108”的等量关系列方程，求解出x后就能算出原四位数。
【解析】
设原四位数的前三位组成的三位数为x，则原四位数可表示为$10x+2$，将个位数字移到首位后得到的新四位数可表示为$2×1000 + x$。
根据题意列方程：
$(10x + 2) - (2000 + x) = 108$
去括号得：$10x + 2 - 2000 - x = 108$
合并同类项得：$9x - 1998 = 108$
移项计算得：$9x = 2106$
系数化为1得：$x = 234$
则原四位数为：$10x + 2 = 10×234 + 2 = 2342$
【答案】
2342
【知识点】
1. 列一元一次方程解应用题
2. 多位数的表示
3. 整体设元思想
【点评】
本题属于典型的数字类方程应用题，解题的关键是灵活运用整体设元的思想，避免单独设每个数位的数字导致未知数过多，只要准确把握多位数的表示规则和题目给出的等量关系就能顺利求解，能较好地考察学生对方程应用的掌握程度。
【难度系数】
0.7
这是一道数字移位类的一元一次方程应用题，解题核心是掌握多位数的表示方法，巧用整体设元简化计算。首先观察到原四位数仅个位数字已知，其余三位是连续的整体，我们可以把前三位看作一个整体设为x，就能用含x的式子分别表示出原数和移位后的新数，再根据“新数比原数小108”的等量关系列方程，求解出x后就能算出原四位数。
【解析】
设原四位数的前三位组成的三位数为x，则原四位数可表示为$10x+2$，将个位数字移到首位后得到的新四位数可表示为$2×1000 + x$。
根据题意列方程：
$(10x + 2) - (2000 + x) = 108$
去括号得：$10x + 2 - 2000 - x = 108$
合并同类项得：$9x - 1998 = 108$
移项计算得：$9x = 2106$
系数化为1得：$x = 234$
则原四位数为：$10x + 2 = 10×234 + 2 = 2342$
【答案】
2342
【知识点】
1. 列一元一次方程解应用题
2. 多位数的表示
3. 整体设元思想
【点评】
本题属于典型的数字类方程应用题，解题的关键是灵活运用整体设元的思想，避免单独设每个数位的数字导致未知数过多，只要准确把握多位数的表示规则和题目给出的等量关系就能顺利求解，能较好地考察学生对方程应用的掌握程度。
【难度系数】
0.7
8. 甲、乙两人在环形跑道上跑步. 两人从同一处同时反向出发,甲跑一圈需要 90 s.若乙每60 s与甲相遇一次,求乙跑一圈需要多少秒.
答案
8. 解:设乙跑一圈需要 x s,速度为 v m/s,则甲的速度为$\frac{vx}{90}$ m/s.
由题意得$\frac{vx}{90}×60+60v=vx$.
已知 v≠0,
化简,得$\frac{x}{90}×60+60=x$.
解得 x=180.
答:乙跑一圈需要 180 s.
由题意得$\frac{vx}{90}×60+60v=vx$.
已知 v≠0,
化简,得$\frac{x}{90}×60+60=x$.
解得 x=180.
答:乙跑一圈需要 180 s.
解析
【分析】
这是环形跑道反向相遇的行程问题，解题核心是明确等量关系：两人从同一地点同时反向出发，每次相遇时，两人跑的路程之和恰好等于环形跑道1圈的长度。我们可以先设乙跑一圈需要的时间为未知数，将甲、乙的速度用含未知数的参数表示，再根据路程和为1圈的等量关系列方程，化简求解即可，本题中引入的速度参数属于辅助量，计算时可以直接约掉，不需要求出具体数值。
【解析】
解：设乙跑一圈需要$x$ s，乙的速度为$v$ m/s，则环形跑道1圈的总长度为$vx$ m，甲的速度为$\frac{vx}{90}$ m/s。
根据相遇时两人路程和为1圈的长度，列方程得：
$\frac{vx}{90}×60+60v=vx$
已知$v≠0$，方程两边同时除以$v$，化简得：
$\frac{60x}{90}+60=x$
整理得：$\frac{2}{3}x+60=x$
移项计算得：$\frac{1}{3}x=60$
解得$x=180$
答：乙跑一圈需要180 s。
【答案】
乙跑一圈需要180 s
【知识点】
一元一次方程应用；环形相遇问题；行程问题公式
【点评】
本题是行程类的典型环形相遇题型，解题关键是抓住反向相遇时两人路程和等于跑道一圈长度的等量关系，引入的速度辅助量可直接约去，不需要单独计算，降低了解题难度。
【难度系数】
0.7
这是环形跑道反向相遇的行程问题，解题核心是明确等量关系：两人从同一地点同时反向出发，每次相遇时，两人跑的路程之和恰好等于环形跑道1圈的长度。我们可以先设乙跑一圈需要的时间为未知数，将甲、乙的速度用含未知数的参数表示，再根据路程和为1圈的等量关系列方程，化简求解即可，本题中引入的速度参数属于辅助量，计算时可以直接约掉，不需要求出具体数值。
【解析】
解：设乙跑一圈需要$x$ s，乙的速度为$v$ m/s，则环形跑道1圈的总长度为$vx$ m，甲的速度为$\frac{vx}{90}$ m/s。
根据相遇时两人路程和为1圈的长度，列方程得：
$\frac{vx}{90}×60+60v=vx$
已知$v≠0$，方程两边同时除以$v$，化简得：
$\frac{60x}{90}+60=x$
整理得：$\frac{2}{3}x+60=x$
移项计算得：$\frac{1}{3}x=60$
解得$x=180$
答：乙跑一圈需要180 s。
【答案】
乙跑一圈需要180 s
【知识点】
一元一次方程应用；环形相遇问题；行程问题公式
【点评】
本题是行程类的典型环形相遇题型，解题关键是抓住反向相遇时两人路程和等于跑道一圈长度的等量关系，引入的速度辅助量可直接约去，不需要单独计算，降低了解题难度。
【难度系数】
0.7
9. 新情境·生活场景 王阿姨2024年销售某款大衣，这款大衣的进价为每件300元，售价为每件450元. 在2025年，因为制作这款大衣的成本上涨，所以这款大衣的进价也上涨了，而且销售这款大衣的商家也增多了，竞争加剧. 王阿姨为了尽快售完购入的大衣，决定按2024年售价的九折销售，经预算，若2025年的销售量是2024年销售量的2倍，则这款大衣2025年的总利润和2024年的总利润一样. 请问这款大衣2025年的进价在2024年进价的基础上上涨了百分之几？
答案
9. 解:设这款大衣 2025 年的进价在 2024 年进价的基础上上涨的百分比为 x,2024 年的销售量为 a 件,则2025 年的销售量为 2a 件.
由题意得 2a×[ 450×0. 9-300(1+x) ] = a×( 450-300).
解得 x=10%.
答:这款大衣 2025 年的进价在 2024 年进价的基础上上涨了 10%.
由题意得 2a×[ 450×0. 9-300(1+x) ] = a×( 450-300).
解得 x=10%.
答:这款大衣 2025 年的进价在 2024 年进价的基础上上涨了 10%.
解析
【分析】
这是一道销售利润类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住“2025年总利润和2024年总利润一样”的等量关系。首先回忆总利润计算公式：总利润=（单件售价-单件进价）×销售量。我们可以先设2025年进价上涨的百分比为x，由于2024年销售量未知，可引入辅助元a表示2024年的销售量，对应的2025年销售量为2a，辅助元a在后续计算中会被消去，不影响最终结果。接下来分别表示出两年的单件利润，再乘对应销售量得到总利润，根据总利润相等列方程求解即可。
【解析】
解：设这款大衣2025年的进价在2024年进价的基础上上涨的百分比为x，2024年的销售量为a件，则2025年的销售量为2a件。
由题意得：
$2a×[450×0.9 - 300(1+x)] = a×(450 - 300)$
$\because a≠0$，方程两边同时除以a，得：
$2×(405 - 300 - 300x) = 150$
化简得：$2×(105 - 300x) = 150$
去括号得：$210 - 600x = 150$
移项计算得：$600x = 60$
解得：$x=0.1=10\%$
【答案】
这款大衣2025年的进价在2024年进价的基础上上涨了10%。
【知识点】
一元一次方程的应用，销售利润问题，百分比计算
【点评】
本题结合实际销售场景命题，贴近生活，解题关键是找准总利润相等的核心等量关系，解题时可引入辅助元表示销售量，辅助元无需单独求解，会在计算过程中消去，能有效降低列式难度，需注意打折销售的售价计算要准确。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住“2025年总利润和2024年总利润一样”的等量关系。首先回忆总利润计算公式：总利润=（单件售价-单件进价）×销售量。我们可以先设2025年进价上涨的百分比为x，由于2024年销售量未知，可引入辅助元a表示2024年的销售量，对应的2025年销售量为2a，辅助元a在后续计算中会被消去，不影响最终结果。接下来分别表示出两年的单件利润，再乘对应销售量得到总利润，根据总利润相等列方程求解即可。
【解析】
解：设这款大衣2025年的进价在2024年进价的基础上上涨的百分比为x，2024年的销售量为a件，则2025年的销售量为2a件。
由题意得：
$2a×[450×0.9 - 300(1+x)] = a×(450 - 300)$
$\because a≠0$，方程两边同时除以a，得：
$2×(405 - 300 - 300x) = 150$
化简得：$2×(105 - 300x) = 150$
去括号得：$210 - 600x = 150$
移项计算得：$600x = 60$
解得：$x=0.1=10\%$
【答案】
这款大衣2025年的进价在2024年进价的基础上上涨了10%。
【知识点】
一元一次方程的应用，销售利润问题，百分比计算
【点评】
本题结合实际销售场景命题，贴近生活，解题关键是找准总利润相等的核心等量关系，解题时可引入辅助元表示销售量，辅助元无需单独求解，会在计算过程中消去，能有效降低列式难度，需注意打折销售的售价计算要准确。
【难度系数】
0.7
