1. 下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是().

A.$(y-1)(y+1)=y^2-1$
B.$x^2y+xy^2-1=xy(x+y)-1$
C.$(x-2)(x-3)=(3-x)(2-x)$
D.$x^2-4x+4=(x-2)^2$

D

【分析】
首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解。判断变形是否为因式分解，需要同时满足两个条件：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是几个整式的积的形式，且变形前后等式成立。解题时我们只需要逐个对照选项，验证是否满足这两个条件即可。
【解析】
结合因式分解的定义逐一分析选项：
选项A：左边是两个整式的乘积$(y-1)(y+1)$，右边是多项式$y^2-1$，属于整式乘法过程，是因式分解的逆过程，不属于因式分解。
选项B：右边的结果是$xy(x+y)-1$，包含减法运算，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求。
选项C：左右两边都是两个整式的乘积，仅对左边的因式提取负号后交换位置，属于恒等变形，但变形对象本身就已经是乘积形式，没有对多项式进行因式分解，不符合要求。
选项D：左边是多项式$x^2-4x+4$，右边是两个相同整式$(x-2)$的乘积，完全符合因式分解的定义。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，解题的关键是准确掌握因式分解的核心特征，注意区分因式分解和整式乘法，避免将普通恒等变形直接等同于因式分解。
【难度系数】
0.8

2. 对于①$x - 3xy = x(1 - 3y)$，②$(x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3$从左到右的变形，表述正确的是().

A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是乘法运算，②是因式分解
D.①是因式分解，②是乘法运算

D

【分析】
解题时首先要明确因式分解和整式乘法的核心定义：因式分解是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，整式乘法是将几个整式的乘积展开为多项式的形式，二者为互逆变形。接下来分别分析两个式子的变形特征：①左边是多项式，右边为两个整式的积，符合因式分解的特征；②左边是两个整式的乘积，右边为多项式，符合整式乘法的特征，据此即可选出正确选项。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 因式分解：把一个多项式写成几个整式的积的形式，这类变形称为因式分解；
2. 整式乘法：将几个整式相乘，最终运算结果为一个多项式的运算。
对两个变形逐一判断：
对于①：变形左边是多项式$x-3xy$，右边是整式$x$与整式$1-3y$的乘积，符合因式分解的定义，因此①是因式分解；
对于②：变形左边是两个整式$(x+3)$和$(x-1)$的乘积，右边是多项式$x^2+2x-3$，符合整式乘法运算的特征，因此②是乘法运算。
综上，①是因式分解，②是乘法运算，故选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法的定义
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的区分，核心是掌握两种变形的形式特征，二者为互逆变形，只要根据变形前后的式子是多项式还是几个整式的积，即可快速判断。
【难度系数】
0.8

3. 下列多项式中,可以提取公因式的是 ().

A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + x$
C.$x^2 - y$
D.$x^2 + 2xy + y^2$

B

【分析】
本题考查可提取公因式的多项式的判断，解题核心是掌握公因式的定义：多项式各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。解题时只需逐个分析每个选项的多项式各项是否存在公共的因式即可，若存在则符合要求。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 多项式$x^2 - y^2$的两项为$x^2$和$-y^2$，两项没有相同的字母因式，无公因式，可通过平方差公式分解，不符合提取公因式的要求；
B. 多项式$x^2 + x$的两项为$x^2$和$x$，两项都含有公因式$x$，提取公因式后可写成$x(x+1)$，符合要求；
C. 多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，两项没有相同的字母因式，无公因式，不符合要求；
D. 多项式$x^2 + 2xy + y^2$的三项为$x^2$、$2xy$、$y^2$，$x^2$不含字母$y$，$y^2$不含字母$x$，没有所有项都含有的公因式，可通过完全平方公式分解，不符合提取公因式的要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的概念；提公因式法因式分解
【点评】
本题是基础概念考查题，需要注意区分提公因式法和公式法因式分解的适用场景，判断公因式时要确认所有项都含有该因式，避免和公式法的分解形式混淆。
【难度系数】
0.9

4. 分解因式：
(1)$a^2y - 3ay + 6y$；
(2)$xy^3 - \frac{8}{27}x^3$；
(3)$a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a$。

(1) $a^2y - 3ay + 6y = y(a^2 - 3a + 6).$
(2) $xy^3 - \frac{8}{27}x^3 = x(y^3 - \frac{8}{27}x^2).$
(3) $a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a = a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9).$

【分析】
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步确定多项式各项的公因式，公因式的确定方法：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者乘积就是公因式；第二步提取公因式，将多项式每一项都除以公因式，把得到的结果作为括号内的因式，公因式写在括号外，最后检查括号内的因式是否还能继续分解即可。
(1)题中三项都含有字母y，且y的最低次幂是1次，因此公因式为y；
(2)题中两项都含有字母x，且x的最低次幂是1次，因此公因式为x；
(3)题中三项都含有字母a，且a的最低次幂是1次，因此公因式为a。
【解析】
(1) 对$a^2y - 3ay + 6y$提取公因式$y$：
$a^2y - 3ay + 6y = y· a^2 - y· 3a + y· 6 = y(a^2 - 3a + 6)$
(2) 对$xy^3 - \frac{8}{27}x^3$提取公因式$x$：
$xy^3 - \frac{8}{27}x^3 = x· y^3 - x· \frac{8}{27}x^2 = x(y^3 - \frac{8}{27}x^2)$
(3) 对$a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a$提取公因式$a$：
$a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a = a· ab^3 + a· 36a^2b^2 + a· 9 = a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9)$
【答案】
(1) $y(a^2 - 3a + 6)$
(2) $x(y^3 - \frac{8}{27}x^2)$
(3) $a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础运算题，核心是掌握公因式的确定方法，提取公因式时要注意不要漏写常数项，提取完成后要检查剩余的多项式是否还能继续分解，保证分解彻底。
【难度系数】
0.9

5. 利用因式分解计算：
(1) $29 × 19.99 + 72 × 19.99 + 13 × 19.99 - 19.99 × 14$；
(2) $39 × 37 - 13 × 3^4$。

(1) $29 × 19.99 + 72 × 19.99 + 13 × 19.99 - 19.99 × 14$
$=19.99×(29+72+13-14)$
$=19.99×100$
$=1999.$
(2)$39×37 -13×3^4 = 39×37 -13×3×3^3 = 39×37 -39×27 = 39×(37-27)=390.$

【分析】
(1) 观察算式可发现每一项都含有公因式19.99，解题时先提取公因式19.99，再计算括号内系数的加减运算，最后计算乘法即可，无需分别计算每一项的乘法再求和差，大幅简化计算过程。
(2) 观察算式发现两项暂无直接公因式，但39是13的3倍，可先将第二项中的$3^4$变形为$3×3^3$，将第二项转化为$39×27$，此时两项有公因式39，提取公因式后再计算即可简化运算。
【解析】
(1) $29 × 19.99 + 72 × 19.99 + 13 × 19.99 - 19.99 × 14$
$=19.99×(29+72+13-14)$
$=19.99×100$
$=1999$
(2) $39 × 37 - 13 × 3^4$
$= 39×37 -13×3×3^3$
$= 39×37 -39×27$
$= 39×(37-27)$
$=39×10$
$=390$
【答案】
(1) $\boxed{1999}$；(2) $\boxed{390}$
【知识点】
提取公因式法；因式分解的应用；有理数简便运算
【点评】
本题考查利用因式分解进行简便计算，解题核心是准确识别或构造出各项的公因式，通过提取公因式将复杂的乘法运算转化为简单的加减和整十整百数的乘法运算，能有效降低计算量，减少计算失误。
【难度系数】
0.8

6. 利用因式分解说明 $3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198}$ 能被7整除.

$3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198} = 3^{198} × (3^2 - 4×3 +10) = 3^{198}×7$,故原式能被7整除.

【分析】
要证明一个式子能被7整除，只需将该式变形为7与某个整数乘积的形式即可。观察原式的三项，都含有底数为3的幂，其中最低次幂是$3^{198}$，因此可以先提取公因式$3^{198}$，再计算括号内的数值，判断结果是否含有因数7。
【解析】
解：对原式提取公因式$3^{198}$，得：
$\begin{aligned}3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198}&= 3^{198} × 3^2 - 3^{198}×4×3 + 3^{198}×10\\&=3^{198} × (3^2 - 4×3 +10)\\&= 3^{198}×(9-12+10)\\&=3^{198}×7\end{aligned}$
因为$3^{198}$是正整数，所以$3^{198}×7$是7的整数倍，因此原式能被7整除。
【答案】
$3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198} = 3^{198}×7$，故原式能被7整除。
【知识点】
提公因式法因式分解，同底数幂的运算，整除判定
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，解题核心是准确找到各项的公因式，通过提取公因式化简式子，再判断化简结果是否含有目标因数即可，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8

7.分解因式$x^2+ax+b$时,甲看错了$a$的值,分解的结果是$(x-3)(x+2)$,乙看错了$b$的值,分解的结果是$(x-2)(x-3)$,求$a+b$的值.

由$(x-3)(x+2)=x^2 -x -6$,得$b=-6$.
由$(x-2)(x-3)=x^2 -5x +6$,得$a=-5$,
故$a+b=-5+(-6)=-11$.

【分析】
首先明确因式分解和整式乘法是互逆运算。甲仅看错了$a$的值，说明他分解得到的结果展开后，常数项$b$是不受看错的$a$影响的，也就是$b$是正确的；乙仅看错了$b$的值，说明他分解得到的结果展开后，一次项系数$a$是不受看错的$b$影响的，也就是$a$是正确的。我们只需要分别展开两人的分解结果，对应提取正确的$b$和$a$的值，再计算$a+b$即可。
【解析】
先展开甲的分解结果：
$(x-3)(x+2)=x^2+2x-3x-6=x^2-x-6$
因为甲仅看错$a$的值，所以常数项$b$正确，即$b=-6$。
再展开乙的分解结果：
$(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$
因为乙仅看错$b$的值，所以一次项系数$a$正确，即$a=-5$。
因此$a+b=-5+(-6)=-11$。
【答案】
$\boldsymbol{-11}$
【知识点】
1. 整式乘法运算
2. 因式分解的逆运算性质
3. 多项式系数对应关系
【点评】
本题是因式分解相关的基础题型，解题核心是抓住“看错某一系数时另一系数不受影响”的特点，利用因式分解和整式乘法的互逆关系提取正确系数即可，做题时要注意区分$a$、$b$分别对应的多项式系数项，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7