如图1,在$4×4$的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,A,B,C,E四点都在正方形网格的格点上。

【基础设问】
(1)试说明$∠ABC=90^{\circ }$。
(2)若点D为直线AC上任意一点,求线段BD长的最小值。
(3)求$∠CAE+∠ACE$的大小。

(1) 因为$AB^{2}=4^{2}+2^{2}=20$，$BC^{2}=2^{2}+1^{2}=5$，$AC^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，
所以$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，
所以$△ ABC$是直角三角形，$∠ABC=90^{\circ }$。
(2) 过点B作$BG⊥AC$于点G，则BG的长即线段BD长的最小值。
因为$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AC· BG$，
所以$AB^{2}· BC^{2}=AC^{2}· BG^{2}$，即$20×5=25BG^{2}$，
所以$BG^{2}=4$，所以$BG=2$，
所以线段BD长的最小值为2。
(3) 由题图网格可得，$BC=BE$，
由(1)知$∠ABC=90^{\circ }$，所以$△ BCE$是等腰直角三角形，
所以$∠BEC=45^{\circ }$，所以$∠AEC=135^{\circ }$，
所以$∠CAE+∠ACE=180^{\circ }-∠AEC=45^{\circ }$。

【能力设问】
(4)如图2,在$3×3$的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,H,I,J,O四点都在正方形网格的格点上,求$∠HOI - ∠IOJ$的大小。

(5)如图3,在边长为1的小正方形组成的网格中,M,N,Q,R四点都在网格的格点上,P为MN上任一点,求$PR^2 - PQ^2$的值。

(4) 如图,找到点J关于OI的对称点L,连接OL,HL,
易得$∠IOJ=∠LOI$，
所以$∠HOI - ∠IOJ = ∠HOI - ∠LOI = ∠HOL$。
因为$HO^{2}=HL^{2}=1^{2}+2^{2}=5$，$OL^{2}=1^{2}+3^{2}=10$，
所以$HO^{2}+HL^{2}=OL^{2}$，
所以$△ HOL$是等腰直角三角形，所以$∠HOL=45^{\circ }$，
所以$∠HOI - ∠IOJ = 45^{\circ }$。
(5) 连接QM,MR，
因为$△ PMQ$与$△ PMR$都是直角三角形，
所以$PQ^{2}=PM^{2}+MQ^{2}$，$PR^{2}=PM^{2}+MR^{2}$，
所以$PR^{2}-PQ^{2}=PM^{2}+MR^{2}-(PM^{2}+MQ^{2})=MR^{2}-MQ^{2}$，
又因为$MQ=2$，$MR=4$，
所以$PR^{2}-PQ^{2}=4^{2}-2^{2}=12$。