1. ▶新趋势·数学文化 [2024 南通中考]“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为$m,n(m＞n)$。若小正方形面积为5，$(m+n)^2=21$，则大正方形面积为 ()


A.12
B.13
C.14
D.15

1 B 由题意可知,中间小正方形的边长为$m - n$,所以$(m - n)^2 =5$,即$m^2 + n^2 - 2mn = 5$ ①,因为$(m + n)^2 = 21$,所以$m^2 + n^2 + 2mn = 21$ ②,①+②得$2(m^2 + n^2)=26$,所以大正方形的面积为$m^2 + n^2 = 13$。

2. [2023天津中考] 如图，在$△ ABC$中，分别以点A和点C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD。若$BD=DC$，$AE=4$，$AD=5$，则AB的长为（）


A.9
B.8
C.7
D.6

2 D 由题意得,MN是AC的垂直平分线,所以$AC=2AE=8$,$DA=DC$,所以$∠DAC=∠C$。因为$BD=CD$,所以$BD=AD$,所以$∠B=∠BAD$。因为$∠B + ∠BAD + ∠C + ∠DAC = 180°$,所以$2∠BAD + 2∠DAC = 180°$,所以$∠BAD + ∠DAC = 90°$,所以$∠BAC=90°$。在$Rt△ ABC$中,$BC=BD + CD=2AD=10$,所以$AB^2 = BC^2 - AC^2 = 10^2 - 8^2 = 6^2$,所以$AB=6$。

3. 新趋势·数学文化 [2023 泸州中考]《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数$a,b,c$的计算公式：$a=\frac{1}{2}(m^2 -n^2), b=mn, c=\frac{1}{2}(m^2 +n^2)$，其中$m＞n＞0$，$m,n$是互质的奇数。下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）

A.3,4,5
B.5,12,13
C.6,8,10
D.7,24,25

3 C 当$m=3,n=1$时,$a=\frac{1}{2}(m^2 -n^2)=\frac{1}{2}×(3^2 -1^2)=4$,$b=mn=3×1=3$,$c=\frac{1}{2}(m^2 +n^2)=\frac{1}{2}×(3^2 +1^2)=5$,A项不符合题意;当$m=5,n=1$时,$a=\frac{1}{2}(m^2 -n^2)=\frac{1}{2}×(5^2 -1^2)=12$,$b=mn=5×1=5$,$c=\frac{1}{2}(m^2 +n^2)=\frac{1}{2}×(5^2 +1^2)=13$,B项不符合题意;当$m=7,n=1$时,$a=\frac{1}{2}(m^2 -n^2)=\frac{1}{2}×(7^2 -1^2)=24$,$b=mn=7×1=7$,$c=\frac{1}{2}(m^2 +n^2)=\frac{1}{2}×(7^2 +1^2)=25$,D项不符合题意。

4. ▶古题今算 [2024巴中中考]“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问：
水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题。如图，已知AC⊥BD于点C，AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（）


A.8
B.10
C.12
D.13

4 C 设$BC=x$,则$BD=BA=x+1$,在$Rt△ ABC$中,由勾股定理,得$AB^2=AC^2 + BC^2$,即$(x+1)^2=5^2 +x^2$,解得$x=12$,即$BC=12$。

5. [2024陕西中考] 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$E$是边$AB$上一点，连接$CE$，在$BC$的右侧作$BF // AC$，且$BF = AE$，连接$CF$。若$AC = 13$，$BC = 10$，则四边形$EBFC$的面积为。

5 60 因为$AB=AC$,所以$∠ABC=∠ACB$,因为$BF// AC$,所以$∠ACB=∠CBF$,所以$∠ABC=∠CBF$,所以BC平分$∠ABF$,如图,过点C作$CM⊥AB$于点M,$CN⊥BF$于点N,则$CM=CN$,因为$S_{△ACE}=\frac{1}{2}AE·CM$,$S_{△CBF}=\frac{1}{2}BF·CN$,且$BF=AE$,所以$S_{△CBF}=S_{△ACE}$,所以四边形EBFC的面积为$S_{△CBF}+S_{△CBE}=S_{△ACE}+S_{△CBE}=S_{△CBA}$,因为$AC=13$,所以$AB=13$,设$AM=x$,则$BM=13 - x$,由勾股定理,得$CM^2=AC^2 - AM^2=BC^2 - BM^2$,所以$13^2 - x^2=10^2 -(13 - x)^2$,解得$x=\frac{119}{13}$,所以$CM=\frac{120}{13}$,所以$S_{△CBA}=\frac{1}{2}AB·CM=60$,所以四边形EBFC的面积为60。

6. [2023随州中考]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$BC=6$,$D$为$AC$上一点,若$BD$是$∠ ABC$的平分线,则$AD=$。

6 5 如图,过点D作$DE⊥AB$于点E。因为$∠C=90°$,所以$CD⊥BC$。因为BD是$∠ABC$的平分线,$CD⊥BC$,$DE⊥AB$,所以$CD=DE$,又因为$BD=BD$,所以$BC=BE=6$(利用勾股定理得到)。在$Rt△ ABC$中,由勾股定理,得$AB=10$,所以$AE=AB - BE=10 - 6=4$,设$CD=DE=x$,则$AD=AC - CD=8 - x$。在$Rt△ ADE$中,$AE^2 + DE^2=AD^2$,即$4^2 + x^2=(8 - x)^2$,所以$x=3$,所以$AD=8 - x=5$。

7. [2024大庆中考] 如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形。执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形。图2是1次操作后的图形。图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”。若图1中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为。

7 48 如图,把题图2中各个小正方形标上字母,设正方形A的边长为x,正方形B的边长为y,所以正方形A的面积为$x^2$,正方形B的面积为$y^2$。由题意,得正方形C的边长为2,并且是直角三角形的斜边,所以正方形C的面积为4。根据勾股定理,得$x^2 + y^2=2^2=4$,所以正方形A的面积+正方形B的面积=4,所以题图1中所有正方形的面积和为$4+4=8$。同理可得:正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积,正方形G的面积+正方形H的面积=正方形B的面积,所以正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=4,所以题图2中所有正方形的面积和为题图1中所有正方形的面积和+4=12,即一次操作后所有正方形的面积为题图1中所有正方形的面积和+4=12。同理可得:2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4,所以2次操作后所有正方形的面积为题图1中所有正方形的面积和$+2×4=8+8=16$,所以10次操作后所有正方形的面积和为题图1中所有正方形的面积和$+10×4=8+40=48$。