综合与实践
答案 P09
[2026 佛山顺德区月考]先阅读下面的材料,再解决问题。
【实际问题】如图1,一圆柱的底面半径为5 cm,BC 是底面直径,高 AB 为 5 cm,求一只蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到点 C(点 A 与点 C 正对)的最短路线,小明设计了两条路线。

【解决方案】路线1:侧面展开图中的线段 AC,如图2 所示。
设路线1 的长度为$ l_1 $,则$ l_1^2 = AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + (5π)^2 = 25 + 25π^2 $。
路线2:高线 AB + 底面直径 BC。
设路线2 的长度为$ l_2 $,则$ l_2^2 = (5 + 10)^2 = 225 $。
为比较$ l_1, l_2 $的大小,采用“作差法”:
因为$ l_1^2 - l_2^2 = 25(π^2 - 8) ＞ 0 $,
所以$ l_1^2 ＞ l_2^2 $,所以$ l_1 ＞ l_2 $,
所以小明认为路线2 较短。
(1)【问题类比】小亮对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成“圆柱的底面半径为 1 cm,高 AB 为5 cm”。请你用上述方法帮小亮比较出$ l_1 $与$ l_2 $的大小。
(2)【问题拓展】请你帮他们继续研究:在一般情况下,若圆柱的底面半径为$ r $ cm,高为$ h $ cm,一只蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到点 C,当$ \frac{r}{h} $满足什么条件时,路线2 较短?请说明理由。
(3)【问题解决】图3 是紧密排列在一起的2 个相同的圆柱,高为5 cm。一只蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到点 C,当路线1 和路线2 这两条路线长度相等时,求圆柱的底面半径$ r $。

(1)如题图2。
因为圆柱的底面半径为1 cm,高AB为5 cm,
所以路线1:$l_1^2 = AC^2 = AB^2 + BC^2 = 25 + π^2$。
路线2:$l_2 = 5 + 2 = 7(\mathrm{cm})$,则$l_2^2 = 49$。
因为$l_1^2 - l_2^2 = 25 + π^2 - 49 = π^2 - 24 ＜ 0$,
所以$l_1^2 ＜ l_2^2$,所以$l_1 ＜ l_2$。
(2)当$\frac{r}{h} ＞ \frac{4}{π^2 - 4}$时,路线2较短。理由如下:
如题图2。
因为圆柱的底面半径为r cm,高为h cm,
所以路线1:$l_1^2 = AC^2 = AB^2 + BC^2 = h^2 + (π r)^2$。
路线2:$l_2^2 = (h + 2r)^2$。
$l_1^2 - l_2^2 = h^2 + (π r)^2 - (h + 2r)^2 = r(π^2 r - 4r - 4h) = r[(π^2 - 4)r - 4h]$。
因为r恒大于0,所以当$(π^2 - 4)r - 4h ＞ 0$,即$\frac{r}{h} ＞ \frac{4}{π^2 - 4}$时,
$l_1^2 ＞ l_2^2$,此时路线2较短。
(3)路线1:$l_1^2 = 25 + (2π r)^2$。路线2:$l_2^2 = (5 + 4r)^2$。
由题意,得$25 + (2π r)^2 = (5 + 4r)^2$,解得$r = \frac{10}{π^2 - 4}$,
即当路线1和路线2这两条路线长度相等时,圆柱的底面半径r为$\frac{10}{π^2 - 4}\mathrm{ cm}$。