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15. 一只广口玻璃瓶的质量为100 g，当瓶内装满水时，瓶和水的总质量为400 g。现先在玻璃瓶中放入一小块金属，称得瓶和金属块的总质量为900 g，再往瓶中注满水，称得总质量为1.1 kg。则：（对应目标：816203）
（1）玻璃瓶的容积是多少？
（2）金属块的体积是多少？
（3）金属块的密度是多少？
（1）玻璃瓶的容积是多少？
（2）金属块的体积是多少？
（3）金属块的密度是多少？
答案
15. 解：（1）由题可知，当瓶内装满水时，所装水的质量
$m_\mathrm{水}=m_2-m_1=400\ \mathrm{g}-100\ \mathrm{g}=300\ \mathrm{g}$，
玻璃瓶的容积
$V=V_\mathrm{水}=\frac{m_\mathrm{水}}{\rho_\mathrm{水}}=\frac{300\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=300\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{mL}$；
（2）先放入金属块，再加水注满，此时所加水的质量
$m_\mathrm{水}'=m_4-m_3=1.1×10^3\ \mathrm{g}-900\ \mathrm{g}=200\ \mathrm{g}$，
所加水的体积$V_\mathrm{水}'=\frac{m_\mathrm{水}'}{\rho_\mathrm{水}}=\frac{200\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=200\ \mathrm{cm}^3$，
金属块的体积
$V_\mathrm{金属块}=V-V_\mathrm{水}'=300\ \mathrm{cm}^3-200\ \mathrm{cm}^3=100\ \mathrm{cm}^3$；
（3）金属块的质量
$m_\mathrm{金属块}=m_3-m_1=900\ \mathrm{g}-100\ \mathrm{g}=800\ \mathrm{g}$，
金属块的密度$\rho_\mathrm{金属块}=\frac{m_\mathrm{金属块}}{V_\mathrm{金属块}}=\frac{800\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3}=8\ \mathrm{g/cm}^3$。
$m_\mathrm{水}=m_2-m_1=400\ \mathrm{g}-100\ \mathrm{g}=300\ \mathrm{g}$，
玻璃瓶的容积
$V=V_\mathrm{水}=\frac{m_\mathrm{水}}{\rho_\mathrm{水}}=\frac{300\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=300\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{mL}$；
（2）先放入金属块，再加水注满，此时所加水的质量
$m_\mathrm{水}'=m_4-m_3=1.1×10^3\ \mathrm{g}-900\ \mathrm{g}=200\ \mathrm{g}$，
所加水的体积$V_\mathrm{水}'=\frac{m_\mathrm{水}'}{\rho_\mathrm{水}}=\frac{200\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=200\ \mathrm{cm}^3$，
金属块的体积
$V_\mathrm{金属块}=V-V_\mathrm{水}'=300\ \mathrm{cm}^3-200\ \mathrm{cm}^3=100\ \mathrm{cm}^3$；
（3）金属块的质量
$m_\mathrm{金属块}=m_3-m_1=900\ \mathrm{g}-100\ \mathrm{g}=800\ \mathrm{g}$，
金属块的密度$\rho_\mathrm{金属块}=\frac{m_\mathrm{金属块}}{V_\mathrm{金属块}}=\frac{800\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3}=8\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
解题思路对应三个问题逐步推导：
1. 求玻璃瓶容积：玻璃瓶装满水时，水的体积与瓶子容积相等，先通过“瓶和水总质量-空瓶质量”算出满瓶水的质量，再利用密度公式的变形式$V=\frac{m}{\rho}$计算水的体积，即可得到瓶子容积。
2. 求金属块体积：放入金属块后再注满水，此时加入的水的体积等于瓶子容积减去金属块的体积。先通过“总质量-瓶和金属块总质量”算出新加入水的质量，计算出这部分水的体积后，用瓶子容积减去该体积即可得到金属块体积。
3. 求金属块密度：先通过“瓶和金属块总质量-空瓶质量”算出金属块质量，再代入密度公式$\rho=\frac{m}{V}$即可算出金属块的密度。
【解析】
（1）瓶内装满水时，水的质量：
$m_\mathrm{水}=m_2-m_1=400\ \mathrm{g}-100\ \mathrm{g}=300\ \mathrm{g}$
玻璃瓶的容积等于满瓶水的体积：
$V=V_\mathrm{水}=\frac{m_\mathrm{水}}{\rho_\mathrm{水}}=\frac{300\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=300\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{mL}$
（2）放入金属块后再注满水，加入水的质量：
$m_\mathrm{水}'=m_4-m_3=1.1×10^3\ \mathrm{g}-900\ \mathrm{g}=200\ \mathrm{g}$
加入水的体积：
$V_\mathrm{水}'=\frac{m_\mathrm{水}'}{\rho_\mathrm{水}}=\frac{200\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=200\ \mathrm{cm}^3$
金属块的体积等于被它排开的水的体积：
$V_\mathrm{金属块}=V-V_\mathrm{水}'=300\ \mathrm{cm}^3-200\ \mathrm{cm}^3=100\ \mathrm{cm}^3$
（3）金属块的质量：
$m_\mathrm{金属块}=m_3-m_1=900\ \mathrm{g}-100\ \mathrm{g}=800\ \mathrm{g}$
金属块的密度：
$\rho_\mathrm{金属块}=\frac{m_\mathrm{金属块}}{V_\mathrm{金属块}}=\frac{800\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3}=8\ \mathrm{g/cm}^3$
【答案】
（1）玻璃瓶的容积为$\boldsymbol{300\ \mathrm{cm}^3}$（或300 mL）；
（2）金属块的体积为$\boldsymbol{100\ \mathrm{cm}^3}$；
（3）金属块的密度为$\boldsymbol{8\ \mathrm{g/cm}^3}$。
【知识点】
密度公式的应用；体积等量代换；质量计算
【点评】
本题是密度计算的经典题型，核心考查密度公式的灵活运用和隐含等量关系的分析能力，解题关键是明确金属块体积等于它排开的水的体积，对巩固密度相关计算、提升逻辑推导能力有较好的训练价值。
【难度系数】
0.7
解题思路对应三个问题逐步推导：
1. 求玻璃瓶容积：玻璃瓶装满水时，水的体积与瓶子容积相等，先通过“瓶和水总质量-空瓶质量”算出满瓶水的质量，再利用密度公式的变形式$V=\frac{m}{\rho}$计算水的体积，即可得到瓶子容积。
2. 求金属块体积：放入金属块后再注满水，此时加入的水的体积等于瓶子容积减去金属块的体积。先通过“总质量-瓶和金属块总质量”算出新加入水的质量，计算出这部分水的体积后，用瓶子容积减去该体积即可得到金属块体积。
3. 求金属块密度：先通过“瓶和金属块总质量-空瓶质量”算出金属块质量，再代入密度公式$\rho=\frac{m}{V}$即可算出金属块的密度。
【解析】
（1）瓶内装满水时，水的质量：
$m_\mathrm{水}=m_2-m_1=400\ \mathrm{g}-100\ \mathrm{g}=300\ \mathrm{g}$
玻璃瓶的容积等于满瓶水的体积：
$V=V_\mathrm{水}=\frac{m_\mathrm{水}}{\rho_\mathrm{水}}=\frac{300\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=300\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{mL}$
（2）放入金属块后再注满水，加入水的质量：
$m_\mathrm{水}'=m_4-m_3=1.1×10^3\ \mathrm{g}-900\ \mathrm{g}=200\ \mathrm{g}$
加入水的体积：
$V_\mathrm{水}'=\frac{m_\mathrm{水}'}{\rho_\mathrm{水}}=\frac{200\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=200\ \mathrm{cm}^3$
金属块的体积等于被它排开的水的体积：
$V_\mathrm{金属块}=V-V_\mathrm{水}'=300\ \mathrm{cm}^3-200\ \mathrm{cm}^3=100\ \mathrm{cm}^3$
（3）金属块的质量：
$m_\mathrm{金属块}=m_3-m_1=900\ \mathrm{g}-100\ \mathrm{g}=800\ \mathrm{g}$
金属块的密度：
$\rho_\mathrm{金属块}=\frac{m_\mathrm{金属块}}{V_\mathrm{金属块}}=\frac{800\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3}=8\ \mathrm{g/cm}^3$
【答案】
（1）玻璃瓶的容积为$\boldsymbol{300\ \mathrm{cm}^3}$（或300 mL）；
（2）金属块的体积为$\boldsymbol{100\ \mathrm{cm}^3}$；
（3）金属块的密度为$\boldsymbol{8\ \mathrm{g/cm}^3}$。
【知识点】
密度公式的应用；体积等量代换；质量计算
【点评】
本题是密度计算的经典题型，核心考查密度公式的灵活运用和隐含等量关系的分析能力，解题关键是明确金属块体积等于它排开的水的体积，对巩固密度相关计算、提升逻辑推导能力有较好的训练价值。
【难度系数】
0.7
