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7. 如图5,在$△ ABC$中,点D,E分别在边AB和AC上,$DE// BC$,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则 ()
A.$\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AE}$
B.$\frac{BD}{MN}=\frac{MN}{CE}$
C.$\frac{DN}{BM}=\frac{NE}{MC}$
D.$\frac{DN}{MC}=\frac{NE}{BM}$
A.$\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AE}$
B.$\frac{BD}{MN}=\frac{MN}{CE}$
C.$\frac{DN}{BM}=\frac{NE}{MC}$
D.$\frac{DN}{MC}=\frac{NE}{BM}$
答案
C
解析
【分析】
看到题干中$DE// BC$的条件，优先考虑平行线推出的A型相似三角形模型。观察选项涉及的线段：$DN、BM$属于$△ ADN$和$△ ABM$的对应边，$NE、MC$属于$△ ANE$和$△ AMC$的对应边，两组三角形均可由$DE// BC$证得相似，且两组相似三角形的比例式中均包含公共比值$\frac{AN}{AM}$，通过等量代换即可得到对应线段比的关系，再逐一排除错误选项即可。
【解析】
$\because DE// BC$
$\therefore DN// BM$，$NE// MC$
$\therefore △ ADN ∽ △ ABM$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）
$\therefore \frac{DN}{BM}=\frac{AN}{AM}$ ①
同理可证$△ ANE ∽ △ AMC$
$\therefore \frac{NE}{MC}=\frac{AN}{AM}$ ②
联立①②可得：$\frac{DN}{BM}=\frac{NE}{MC}$，故C选项正确。
其余选项错误原因：
A选项：由相似三角形性质仅能推出$\frac{AD}{AB}=\frac{AN}{AM}=\frac{AE}{AC}$，无法得到$\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AE}$，无依据；
B选项：不存在对应相似三角形可证明该比例关系，无依据；
D选项：推导结果为$\frac{DN}{BM}=\frac{NE}{MC}$，交叉变形可得$\frac{DN}{NE}=\frac{BM}{MC}$，与D选项不符。
【答案】
C
【知识点】
平行线判定相似三角形；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，核心是利用两组A型相似的公共比例作为桥梁，建立不同线段比例之间的联系，解题时需准确匹配相似三角形的对应边，避免比例关系混淆。
【难度系数】
0.7
看到题干中$DE// BC$的条件，优先考虑平行线推出的A型相似三角形模型。观察选项涉及的线段：$DN、BM$属于$△ ADN$和$△ ABM$的对应边，$NE、MC$属于$△ ANE$和$△ AMC$的对应边，两组三角形均可由$DE// BC$证得相似，且两组相似三角形的比例式中均包含公共比值$\frac{AN}{AM}$，通过等量代换即可得到对应线段比的关系，再逐一排除错误选项即可。
【解析】
$\because DE// BC$
$\therefore DN// BM$，$NE// MC$
$\therefore △ ADN ∽ △ ABM$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）
$\therefore \frac{DN}{BM}=\frac{AN}{AM}$ ①
同理可证$△ ANE ∽ △ AMC$
$\therefore \frac{NE}{MC}=\frac{AN}{AM}$ ②
联立①②可得：$\frac{DN}{BM}=\frac{NE}{MC}$，故C选项正确。
其余选项错误原因：
A选项：由相似三角形性质仅能推出$\frac{AD}{AB}=\frac{AN}{AM}=\frac{AE}{AC}$，无法得到$\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AE}$，无依据；
B选项：不存在对应相似三角形可证明该比例关系，无依据；
D选项：推导结果为$\frac{DN}{BM}=\frac{NE}{MC}$，交叉变形可得$\frac{DN}{NE}=\frac{BM}{MC}$，与D选项不符。
【答案】
C
【知识点】
平行线判定相似三角形；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，核心是利用两组A型相似的公共比例作为桥梁，建立不同线段比例之间的联系，解题时需准确匹配相似三角形的对应边，避免比例关系混淆。
【难度系数】
0.7
8. (2025·攀枝花)如图6,$△ ABC$中,$AB=AC=5,BC=6,D$为$BC$的中点,$CE ⊥ AB$于点$E,AD$与$CE$相交于点$O$,则$\frac{OD}{OC}=$ ()
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{24}{25}$
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{24}{25}$
答案
B
解析
【分析】
本题是等腰三角形背景下的线段比值求解问题，解题思路如下：第一步，利用等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC且BD=DC，先通过勾股定理算出AD的长度；第二步，观察所求的$\frac{OD}{OC}$，两条线段都在Rt△ODC中，可通过找角的等量关系，结合相似三角形或者锐角三角函数的性质，把未知比值转化为已知边的比值。核心突破口是推导得到∠OCD=∠BAD，将未知三角形的边比转化为已知Rt△ABD的边比。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，D为BC中点，$BC=6$
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得$AD⊥BC$，$BD=DC=\frac{1}{2}BC=3$
在$Rt△ABD$中，$AB=5$，$BD=3$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
∵$CE⊥AB$，$AD⊥BC$
∴$∠BAD+∠B=90°$，$∠OCD+∠B=90°$
∴$∠BAD=∠OCD$（同角的余角相等）
又
∵$∠ODC=∠ADB=90°$
∴$△OCD∽△BAD$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{OD}{BD}=\frac{OC}{AB}$，交叉变形得$\frac{OD}{OC}=\frac{BD}{AB}$
代入$BD=3$，$AB=5$，得$\frac{OD}{OC}=\frac{3}{5}$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，将等腰三角形、勾股定理、相似三角形的知识点结合考查，解题的关键是找到两个角的等量关系，通过相似三角形转化所求线段的比值，是中考常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题是等腰三角形背景下的线段比值求解问题，解题思路如下：第一步，利用等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC且BD=DC，先通过勾股定理算出AD的长度；第二步，观察所求的$\frac{OD}{OC}$，两条线段都在Rt△ODC中，可通过找角的等量关系，结合相似三角形或者锐角三角函数的性质，把未知比值转化为已知边的比值。核心突破口是推导得到∠OCD=∠BAD，将未知三角形的边比转化为已知Rt△ABD的边比。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，D为BC中点，$BC=6$
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得$AD⊥BC$，$BD=DC=\frac{1}{2}BC=3$
在$Rt△ABD$中，$AB=5$，$BD=3$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
∵$CE⊥AB$，$AD⊥BC$
∴$∠BAD+∠B=90°$，$∠OCD+∠B=90°$
∴$∠BAD=∠OCD$（同角的余角相等）
又
∵$∠ODC=∠ADB=90°$
∴$△OCD∽△BAD$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{OD}{BD}=\frac{OC}{AB}$，交叉变形得$\frac{OD}{OC}=\frac{BD}{AB}$
代入$BD=3$，$AB=5$，得$\frac{OD}{OC}=\frac{3}{5}$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，将等腰三角形、勾股定理、相似三角形的知识点结合考查，解题的关键是找到两个角的等量关系，通过相似三角形转化所求线段的比值，是中考常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
9. (2025·浙江)如图7,五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,已知点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0).若DE的长为3,则D'E'的长为 ()
A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
A.$\frac{7}{2}$
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5
答案
C
解析
【分析】
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比，而位似比等于对应点到位似中心的距离之比。首先根据点A、A'的坐标求出OA、OA'的长度，得到两个五边形的位似比；再根据位似图形对应边成比例，代入DE的长度即可求出D'E'的长度。
【解析】
∵ 五边形ABCDE和A'B'C'D'E'是以原点O为位似中心的位似图形
∴ 两个五边形的位似比$k=\frac{OA}{OA'}$
已知A(2,0)，A'(3,0)，则$OA=2$，$OA'=3$，即$k=\frac{2}{3}$
根据位似图形的性质，对应边成比例，可得$\frac{DE}{D'E'}=\frac{OA}{OA'}=\frac{2}{3}$
将$DE=3$代入比例式：$\frac{3}{D'E'}=\frac{2}{3}$
解得：$D'E'=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，相似图形对应边成比例
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题核心是先通过对应点的坐标确定位似比，再利用对应边的比例关系求解，掌握位似和相似的基本性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比，而位似比等于对应点到位似中心的距离之比。首先根据点A、A'的坐标求出OA、OA'的长度，得到两个五边形的位似比；再根据位似图形对应边成比例，代入DE的长度即可求出D'E'的长度。
【解析】
∵ 五边形ABCDE和A'B'C'D'E'是以原点O为位似中心的位似图形
∴ 两个五边形的位似比$k=\frac{OA}{OA'}$
已知A(2,0)，A'(3,0)，则$OA=2$，$OA'=3$，即$k=\frac{2}{3}$
根据位似图形的性质，对应边成比例，可得$\frac{DE}{D'E'}=\frac{OA}{OA'}=\frac{2}{3}$
将$DE=3$代入比例式：$\frac{3}{D'E'}=\frac{2}{3}$
解得：$D'E'=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，相似图形对应边成比例
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题核心是先通过对应点的坐标确定位似比，再利用对应边的比例关系求解，掌握位似和相似的基本性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
10. (2025·遂宁)如图8所示,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=13$,$BC=5$,结合尺规作图痕迹提供的信息,求出线段$AQ$的长为 ()
A.$2\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{15}$
C.$6$
D.$\dfrac{120}{13}$
A.$2\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{15}$
C.$6$
D.$\dfrac{120}{13}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先根据勾股定理求出AC的长度，再识别尺规作图的含义：BQ是∠ABC的角平分线，且AQ⊥BQ。由此可推出△ABH是等腰三角形（H为AQ延长线与BC延长线的交点），得到AB=BH、Q为AH中点，先求出CH的长度，再用勾股定理计算AH的长度，即可得到AQ的长度。
【解析】
1. 计算AC的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
2. 分析作图痕迹的性质：
由作图痕迹可知，$BQ$平分$∠ ABC$，且$AQ⊥ BQ$。延长$AQ$交$BC$的延长线于点$H$。
在$△ ABQ$和$△ HBQ$中：
$\begin{cases}∠ ABQ=∠ HBQ \\BQ=BQ \\∠ AQB=∠ HQB=90°\end{cases}$
$\therefore△ ABQ≌△ HBQ(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=BH=13$，$AQ=QH$，即$Q$是$AH$的中点。
3. 计算$AQ$的长度：
$CH=BH-BC=13-5=8$，
在$Rt△ ACH$中，$∠ ACH=90°$，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AC^2+CH^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$，
$\therefore AQ=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{2}×4\sqrt{13}=2\sqrt{13}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，角平分线作图，等腰三角形性质
【点评】
本题将尺规作图、勾股定理、全等三角形及等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是正确识别作图痕迹得到角平分线与垂线的关系，通过构造等腰三角形转化线段长度进行求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据勾股定理求出AC的长度，再识别尺规作图的含义：BQ是∠ABC的角平分线，且AQ⊥BQ。由此可推出△ABH是等腰三角形（H为AQ延长线与BC延长线的交点），得到AB=BH、Q为AH中点，先求出CH的长度，再用勾股定理计算AH的长度，即可得到AQ的长度。
【解析】
1. 计算AC的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
2. 分析作图痕迹的性质：
由作图痕迹可知，$BQ$平分$∠ ABC$，且$AQ⊥ BQ$。延长$AQ$交$BC$的延长线于点$H$。
在$△ ABQ$和$△ HBQ$中：
$\begin{cases}∠ ABQ=∠ HBQ \\BQ=BQ \\∠ AQB=∠ HQB=90°\end{cases}$
$\therefore△ ABQ≌△ HBQ(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=BH=13$，$AQ=QH$，即$Q$是$AH$的中点。
3. 计算$AQ$的长度：
$CH=BH-BC=13-5=8$，
在$Rt△ ACH$中，$∠ ACH=90°$，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AC^2+CH^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$，
$\therefore AQ=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{2}×4\sqrt{13}=2\sqrt{13}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，角平分线作图，等腰三角形性质
【点评】
本题将尺规作图、勾股定理、全等三角形及等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是正确识别作图痕迹得到角平分线与垂线的关系，通过构造等腰三角形转化线段长度进行求解。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.如图9,已知$AB// CD$,AD与BC相交于点O.若$\frac{BO}{OC}=\frac{2}{3}$,AD=10,则AO=.
11.如图9,已知$AB// CD$,AD与BC相交于点O.若$\frac{BO}{OC}=\frac{2}{3}$,AD=10,则AO=.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
首先观察图形，已知AB//CD，可联想到利用平行线的性质推导内错角相等，进而证明△AOB与△DOC相似；再根据相似三角形对应边成比例，得到AO与OD的比值；最后结合AD的总长度，按比例分配即可求出AO的长度。
【解析】
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ C$（两直线平行，内错角相等），
∴ $△ AOB ∽ △ DOC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{OC}=\frac{2}{3}$，
设$AO=2k$，$OD=3k$（$k≠0$），
∵ $AD=AO+OD=10$，
∴ $2k+3k=10$，解得$k=2$，
∴ $AO=2k=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是通过平行线证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质建立线段间的数量关系求解，熟练掌握相似三角形的相关知识即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，已知AB//CD，可联想到利用平行线的性质推导内错角相等，进而证明△AOB与△DOC相似；再根据相似三角形对应边成比例，得到AO与OD的比值；最后结合AD的总长度，按比例分配即可求出AO的长度。
【解析】
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ C$（两直线平行，内错角相等），
∴ $△ AOB ∽ △ DOC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{OC}=\frac{2}{3}$，
设$AO=2k$，$OD=3k$（$k≠0$），
∵ $AD=AO+OD=10$，
∴ $2k+3k=10$，解得$k=2$，
∴ $AO=2k=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是通过平行线证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质建立线段间的数量关系求解，熟练掌握相似三角形的相关知识即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
12. 如图10,路灯距离地面8 m,身高1.6 m的小明站在距离路灯的底部(点O)20 m的A处,则小明的影子AM长为 m.
答案
解：设AM的长为x m。
由题意可知，路灯高度为8 m，小明身高AB=1.6 m，OA=20 m，且路灯与小明均垂直于地面OM，
因此AB//OC，可得△MAB∽△MOC。
根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{AB}{OC}=\frac{AM}{OM}$
又OM = OA + AM = 20 + x，代入数值：
$\frac{1.6}{8}=\frac{x}{20+x}$
解得x=5，经检验x=5符合题意。
∴ 小明的影子AM长为$\boldsymbol{5}$ m。
由题意可知，路灯高度为8 m，小明身高AB=1.6 m，OA=20 m，且路灯与小明均垂直于地面OM，
因此AB//OC，可得△MAB∽△MOC。
根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{AB}{OC}=\frac{AM}{OM}$
又OM = OA + AM = 20 + x，代入数值：
$\frac{1.6}{8}=\frac{x}{20+x}$
解得x=5，经检验x=5符合题意。
∴ 小明的影子AM长为$\boldsymbol{5}$ m。
解析
【分析】
这是中心投影背景下求影长的实际问题，解题思路如下：首先观察到路灯和小明都垂直于地面，可推出二者平行，进而得到两个共角的直角三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，设影子长为未知数，将已知边长代入比例式列方程，求解后检验结果是否符合实际即可。
【解析】
设AM的长为x m。
由题意可知，路灯高度为8 m，小明身高AB=1.6 m，OA=20 m，且路灯与小明均垂直于地面OM，
因此AB与路灯所在竖直线平行，可得△MAB∽△MOC。
根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{AB}{OC}=\frac{AM}{OM}$
又OM = OA + AM = 20 + x，代入数值：
$\frac{1.6}{8}=\frac{x}{20+x}$
解方程得：$8x=1.6×(20+x)$，整理得$6.4x=32$，解得$x=5$，经检验x=5是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
5
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，中心投影
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的典型应用，解题核心是通过垂直关系推出平行线，进而得到相似三角形，再利用比例关系建立方程求解，侧重考查基础建模能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
这是中心投影背景下求影长的实际问题，解题思路如下：首先观察到路灯和小明都垂直于地面，可推出二者平行，进而得到两个共角的直角三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，设影子长为未知数，将已知边长代入比例式列方程，求解后检验结果是否符合实际即可。
【解析】
设AM的长为x m。
由题意可知，路灯高度为8 m，小明身高AB=1.6 m，OA=20 m，且路灯与小明均垂直于地面OM，
因此AB与路灯所在竖直线平行，可得△MAB∽△MOC。
根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{AB}{OC}=\frac{AM}{OM}$
又OM = OA + AM = 20 + x，代入数值：
$\frac{1.6}{8}=\frac{x}{20+x}$
解方程得：$8x=1.6×(20+x)$，整理得$6.4x=32$，解得$x=5$，经检验x=5是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
5
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，中心投影
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的典型应用，解题核心是通过垂直关系推出平行线，进而得到相似三角形，再利用比例关系建立方程求解，侧重考查基础建模能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
