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13. 如图11,在平面直角坐标系中,已知点$A(1,0),D(3,0),△ ABC$与$△ DEF$位似,原点$O$是位似中心.若$AB=1.5$,则$DE=$.
答案
$\boldsymbol{4.5}$
解析
【分析】
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：第一步，明确位似中心为原点，根据位似的性质，位似图形对应点到位似中心的距离之比等于位似比；第二步，找到△ABC和△DEF的一组对应点A、D，计算两点到原点O的距离，得到位似比；第三步，根据位似图形对应边的比等于位似比，代入已知AB的长度，即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，点A(1,0)和点D(3,0)是对应点
∴位似比$k=\frac{OA}{OD}=\frac{1}{3}$
根据位似图形的性质，对应边的比等于位似比，可得：
$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{3}$
已知$AB=1.5$，代入得：
$\frac{1.5}{DE}=\frac{1}{3}$
解得$DE=1.5×3=4.5$
【答案】
$\boldsymbol{4.5}$
【知识点】
位似的性质、平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题的核心是先通过对应点的坐标确定位似比，再利用位似图形对应边成比例计算未知边长，解题时注意不要把位似比的前后项弄反。
【难度系数】
0.8
本题考查位似图形的相关计算，解题思路如下：第一步，明确位似中心为原点，根据位似的性质，位似图形对应点到位似中心的距离之比等于位似比；第二步，找到△ABC和△DEF的一组对应点A、D，计算两点到原点O的距离，得到位似比；第三步，根据位似图形对应边的比等于位似比，代入已知AB的长度，即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，点A(1,0)和点D(3,0)是对应点
∴位似比$k=\frac{OA}{OD}=\frac{1}{3}$
根据位似图形的性质，对应边的比等于位似比，可得：
$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{3}$
已知$AB=1.5$，代入得：
$\frac{1.5}{DE}=\frac{1}{3}$
解得$DE=1.5×3=4.5$
【答案】
$\boldsymbol{4.5}$
【知识点】
位似的性质、平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题的核心是先通过对应点的坐标确定位似比，再利用位似图形对应边成比例计算未知边长，解题时注意不要把位似比的前后项弄反。
【难度系数】
0.8
14. 如图12,在△ABC中,AB≠AC. D,E分别为边AB,AC上的点. AC=3AD,AB=3AE,F为BC边上一点,添加一个条件为,可以使得△FDB与△ADE相似.
答案
解：
∵ $AC=3AD$，$AB=3AE$，
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，
又∵ $∠ A = ∠ A$，
∴ $△ ADE ∽ △ ACB$，
∴ $∠ AED = ∠ B$。
若添加条件 $DF // AC$，则 $∠ FDB = ∠ A$，
此时在$△ FDB$和$△ ADE$中：
$∠ FDB = ∠ A$，$∠ B = ∠ AED$，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ FDB ∽ △ ADE$。
故答案为：$\boldsymbol{DF// AC}$（答案不唯一，如$∠ BFD=∠ A$等符合要求的条件均可）。
∵ $AC=3AD$，$AB=3AE$，
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，
又∵ $∠ A = ∠ A$，
∴ $△ ADE ∽ △ ACB$，
∴ $∠ AED = ∠ B$。
若添加条件 $DF // AC$，则 $∠ FDB = ∠ A$，
此时在$△ FDB$和$△ ADE$中：
$∠ FDB = ∠ A$，$∠ B = ∠ AED$，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ FDB ∽ △ ADE$。
故答案为：$\boldsymbol{DF// AC}$（答案不唯一，如$∠ BFD=∠ A$等符合要求的条件均可）。
解析
【分析】
要使△FDB与△ADE相似，首先可利用已知的边的比例关系和公共角，先证明△ADE∽△ACB，得到对应角相等（如∠AED=∠B），此时两组三角形已有一组对应角相等，再根据相似三角形的判定定理，只需再添加一组对应角相等，或夹这组等角的两边对应成比例的条件即可，比如添加平行线得到等角、直接给出角相等的条件都符合要求。
【解析】
已知$AC=3AD$，$AB=3AE$，因此可得：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，
又
∵ $∠A = ∠A$，
∴ △ADE ∽ △ACB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠AED = ∠B$。
若添加条件 $DF // AC$，根据平行线的性质可得 $∠FDB = ∠A$，
此时在$△ FDB$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}∠FDB = ∠A \\∠B = ∠AED \end{cases}$
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ FDB ∽ △ ADE$。
注：添加条件不唯一，如$∠BFD=∠A$、$\frac{BD}{AE}=\frac{BF}{ED}$等符合相似判定的条件均可。
【答案】
$\boldsymbol{DF// AC}$（答案不唯一，如$∠BFD=∠A$等符合要求的条件均可）
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于开放性试题，需要先结合已知条件推导得到相等的角，再根据相似三角形的判定定理补充合适的条件，解题时要注意相似三角形对应角、对应边的对应关系，答案具有多样性。
【难度系数】
0.7
要使△FDB与△ADE相似，首先可利用已知的边的比例关系和公共角，先证明△ADE∽△ACB，得到对应角相等（如∠AED=∠B），此时两组三角形已有一组对应角相等，再根据相似三角形的判定定理，只需再添加一组对应角相等，或夹这组等角的两边对应成比例的条件即可，比如添加平行线得到等角、直接给出角相等的条件都符合要求。
【解析】
已知$AC=3AD$，$AB=3AE$，因此可得：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，
又
∵ $∠A = ∠A$，
∴ △ADE ∽ △ACB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠AED = ∠B$。
若添加条件 $DF // AC$，根据平行线的性质可得 $∠FDB = ∠A$，
此时在$△ FDB$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}∠FDB = ∠A \\∠B = ∠AED \end{cases}$
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ FDB ∽ △ ADE$。
注：添加条件不唯一，如$∠BFD=∠A$、$\frac{BD}{AE}=\frac{BF}{ED}$等符合相似判定的条件均可。
【答案】
$\boldsymbol{DF// AC}$（答案不唯一，如$∠BFD=∠A$等符合要求的条件均可）
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于开放性试题，需要先结合已知条件推导得到相等的角，再根据相似三角形的判定定理补充合适的条件，解题时要注意相似三角形对应角、对应边的对应关系，答案具有多样性。
【难度系数】
0.7
15. 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形,如果其中一个是等腰三角形,另外一个三角形和原三角形相似,那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图13,线段CD是△ABC的“和谐分割线”,△ACD为等腰三角形,△CBD和△ABC相似,∠A=46°,则∠ACB的度数为.
答案
解：
∵ △CBD∽△ABC，
∴ ∠BCD = ∠A = 46°。
∵ △ACD为等腰三角形，分情况讨论：
1. 若AC=AD：
∠ACD = ∠ADC = $\frac{180° - ∠ A}{2} = \frac{180° - 46°}{2} = 67°$，
∴ ∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 67° + 46° = 113°。
2. 若AD=CD：
∠ACD = ∠A = 46°，
∴ ∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 46° + 46° = 92°。
3. 若AC=CD：
∠ADC = ∠A = 46°，由∠ADC = ∠B + ∠BCD得∠B = 0°，不符合三角形定义，舍去。
验证两种有效情况均满足△ABC三边都不相等的条件，
∴ ∠ACB的度数为$\boldsymbol{113°}$或$\boldsymbol{92°}$。
∵ △CBD∽△ABC，
∴ ∠BCD = ∠A = 46°。
∵ △ACD为等腰三角形，分情况讨论：
1. 若AC=AD：
∠ACD = ∠ADC = $\frac{180° - ∠ A}{2} = \frac{180° - 46°}{2} = 67°$，
∴ ∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 67° + 46° = 113°。
2. 若AD=CD：
∠ACD = ∠A = 46°，
∴ ∠ACB = ∠ACD + ∠BCD = 46° + 46° = 92°。
3. 若AC=CD：
∠ADC = ∠A = 46°，由∠ADC = ∠B + ∠BCD得∠B = 0°，不符合三角形定义，舍去。
验证两种有效情况均满足△ABC三边都不相等的条件，
∴ ∠ACB的度数为$\boldsymbol{113°}$或$\boldsymbol{92°}$。
解析
【分析】
首先根据“和谐分割线”的定义明确两个核心条件：一是△CBD∽△ABC，二是△ACD为等腰三角形。第一步利用相似三角形对应角相等的性质，先求出∠BCD的度数；第二步针对等腰△ACD的腰的三种可能情况分别讨论计算∠ACD的度数，同时排除不符合三角形内角和、原三角形三边不相等要求的情况，最后将∠ACD与∠BCD相加即可得到∠ACB的度数。
【解析】
∵ △CBD∽△ABC，
∴ ∠BCD = ∠A = 46°。
∵ △ACD为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
1. 若AC=AD：
$∠ ACD = ∠ ADC = \frac{180° - ∠ A}{2} = \frac{180° - 46°}{2} = 67°$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 67° + 46° = 113°$，此时△ABC三边均不相等，符合条件。
2. 若AD=CD：
$∠ ACD = ∠ A = 46°$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 46° + 46° = 92°$，此时△ABC三边均不相等，符合条件。
3. 若AC=CD：
$∠ ADC = ∠ A = 46°$，根据三角形外角性质$∠ ADC = ∠ B + ∠ BCD$，代入得$∠ B = 46° - 46° = 0°$，不符合三角形的定义，故舍去。
综上，∠ACB的度数为113°或92°。
【答案】
$113°$或$92°$
【知识点】
相似三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于新定义题型，结合了相似三角形、等腰三角形的性质考查，解题的关键是对等腰三角形的腰长进行分类讨论，同时要注意验证结果是否符合三角形的基本性质，避免出现漏解、错解。
【难度系数】
0.6
首先根据“和谐分割线”的定义明确两个核心条件：一是△CBD∽△ABC，二是△ACD为等腰三角形。第一步利用相似三角形对应角相等的性质，先求出∠BCD的度数；第二步针对等腰△ACD的腰的三种可能情况分别讨论计算∠ACD的度数，同时排除不符合三角形内角和、原三角形三边不相等要求的情况，最后将∠ACD与∠BCD相加即可得到∠ACB的度数。
【解析】
∵ △CBD∽△ABC，
∴ ∠BCD = ∠A = 46°。
∵ △ACD为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
1. 若AC=AD：
$∠ ACD = ∠ ADC = \frac{180° - ∠ A}{2} = \frac{180° - 46°}{2} = 67°$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 67° + 46° = 113°$，此时△ABC三边均不相等，符合条件。
2. 若AD=CD：
$∠ ACD = ∠ A = 46°$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 46° + 46° = 92°$，此时△ABC三边均不相等，符合条件。
3. 若AC=CD：
$∠ ADC = ∠ A = 46°$，根据三角形外角性质$∠ ADC = ∠ B + ∠ BCD$，代入得$∠ B = 46° - 46° = 0°$，不符合三角形的定义，故舍去。
综上，∠ACB的度数为113°或92°。
【答案】
$113°$或$92°$
【知识点】
相似三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于新定义题型，结合了相似三角形、等腰三角形的性质考查，解题的关键是对等腰三角形的腰长进行分类讨论，同时要注意验证结果是否符合三角形的基本性质，避免出现漏解、错解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16. (8分)如图14,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E$在边$BC$上移动(点$E$不与点$B,C$重合),满足$∠ DEF=∠ B$,且点$D,F$分别在边$AB,AC$上.
(1)求证:$△ BDE∽△ CEF$;
(2)当点$E$移动到$BC$的中点时,求证:$FE$平分$∠ DFC$.
16. (8分)如图14,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E$在边$BC$上移动(点$E$不与点$B,C$重合),满足$∠ DEF=∠ B$,且点$D,F$分别在边$AB,AC$上.
(1)求证:$△ BDE∽△ CEF$;
(2)当点$E$移动到$BC$的中点时,求证:$FE$平分$∠ DFC$.
答案
证明：
(1) ∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
∵ 在$△ BDE$中，$∠ B + ∠ BDE + ∠ BED = 180°$，
又 $∠ BED + ∠ DEF + ∠ CEF = 180°$，且$∠ DEF=∠ B$，
∴ $∠ BDE=∠ CEF$，
∴ $△ BDE ∽ △ CEF$。
(2) ∵ $△ BDE ∽ △ CEF$，
∴ $\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}$。
∵ 点$E$是$BC$的中点，
∴ $BE=CE$，
∴ $\frac{CE}{CF}=\frac{DE}{EF}$，即 $\frac{CE}{DE}=\frac{CF}{EF}$。
又 ∵ $∠ C = ∠ DEF$，
∴ $△ DEF ∽ △ ECF$，
∴ $∠ DFE = ∠ CFE$，
即$FE$平分$∠ DFC$。
(1) ∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
∵ 在$△ BDE$中，$∠ B + ∠ BDE + ∠ BED = 180°$，
又 $∠ BED + ∠ DEF + ∠ CEF = 180°$，且$∠ DEF=∠ B$，
∴ $∠ BDE=∠ CEF$，
∴ $△ BDE ∽ △ CEF$。
(2) ∵ $△ BDE ∽ △ CEF$，
∴ $\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}$。
∵ 点$E$是$BC$的中点，
∴ $BE=CE$，
∴ $\frac{CE}{CF}=\frac{DE}{EF}$，即 $\frac{CE}{DE}=\frac{CF}{EF}$。
又 ∵ $∠ C = ∠ DEF$，
∴ $△ DEF ∽ △ ECF$，
∴ $∠ DFE = ∠ CFE$，
即$FE$平分$∠ DFC$。
解析
【分析】
（1）要证明$△ BDE ∽ △ CEF$，可通过“两角对应相等的两个三角形相似”判定。首先由$AB=AC$可得等腰三角形底角相等，即$∠ B=∠ C$，得到第一组等角；再结合三角形内角和、平角的性质，以及已知$∠ DEF=∠ B$，推导得出$∠ BDE=∠ CEF$，得到第二组等角，即可证相似。
（2）要证明$FE$平分$∠ DFC$，需证$∠ DFE=∠ CFE$。首先利用（1）中相似三角形的性质得到对应边成比例，结合$E$是$BC$中点的条件，将比例式中的$BE$替换为$CE$，调整比例关系后，结合$∠ C=∠ DEF$的条件，证明$△ DEF ∽ △ ECF$，利用相似三角形对应角相等即可得到等角结论，完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
∵ 在$△ BDE$中，$∠ B + ∠ BDE + ∠ BED = 180°$，
又 $∠ BED + ∠ DEF + ∠ CEF = 180°$，且$∠ DEF=∠ B$，
∴ $∠ BDE=∠ CEF$，
∴ $△ BDE ∽ △ CEF$。
(2) 证明：
∵ $△ BDE ∽ △ CEF$，
∴ $\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}$。
∵ 点$E$是$BC$的中点，
∴ $BE=CE$，
∴ $\frac{CE}{CF}=\frac{DE}{EF}$，即 $\frac{CE}{DE}=\frac{CF}{EF}$。
又
∵ $∠ C = ∠ DEF$，
∴ $△ DEF ∽ △ ECF$，
∴ $∠ DFE = ∠ CFE$，
即$FE$平分$∠ DFC$。
【答案】
(1) $△ BDE ∽ △ CEF$，得证；
(2) $FE$平分$∠ DFC$，得证。
【知识点】
等腰三角形性质、相似三角形判定、相似三角形性质
【点评】
本题是三角形模块的基础综合题，重点考察等腰三角形和相似三角形的核心知识，解题时要注意利用角的和差关系推导等角，同时灵活复用前一问的结论作为后一问的已知条件，这类相似模型是几何题的常见基础模型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$△ BDE ∽ △ CEF$，可通过“两角对应相等的两个三角形相似”判定。首先由$AB=AC$可得等腰三角形底角相等，即$∠ B=∠ C$，得到第一组等角；再结合三角形内角和、平角的性质，以及已知$∠ DEF=∠ B$，推导得出$∠ BDE=∠ CEF$，得到第二组等角，即可证相似。
（2）要证明$FE$平分$∠ DFC$，需证$∠ DFE=∠ CFE$。首先利用（1）中相似三角形的性质得到对应边成比例，结合$E$是$BC$中点的条件，将比例式中的$BE$替换为$CE$，调整比例关系后，结合$∠ C=∠ DEF$的条件，证明$△ DEF ∽ △ ECF$，利用相似三角形对应角相等即可得到等角结论，完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$。
∵ 在$△ BDE$中，$∠ B + ∠ BDE + ∠ BED = 180°$，
又 $∠ BED + ∠ DEF + ∠ CEF = 180°$，且$∠ DEF=∠ B$，
∴ $∠ BDE=∠ CEF$，
∴ $△ BDE ∽ △ CEF$。
(2) 证明：
∵ $△ BDE ∽ △ CEF$，
∴ $\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}$。
∵ 点$E$是$BC$的中点，
∴ $BE=CE$，
∴ $\frac{CE}{CF}=\frac{DE}{EF}$，即 $\frac{CE}{DE}=\frac{CF}{EF}$。
又
∵ $∠ C = ∠ DEF$，
∴ $△ DEF ∽ △ ECF$，
∴ $∠ DFE = ∠ CFE$，
即$FE$平分$∠ DFC$。
【答案】
(1) $△ BDE ∽ △ CEF$，得证；
(2) $FE$平分$∠ DFC$，得证。
【知识点】
等腰三角形性质、相似三角形判定、相似三角形性质
【点评】
本题是三角形模块的基础综合题，重点考察等腰三角形和相似三角形的核心知识，解题时要注意利用角的和差关系推导等角，同时灵活复用前一问的结论作为后一问的已知条件，这类相似模型是几何题的常见基础模型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
