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1.(2025·绥化)两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是 ()
A.14 cm
B.18 cm
C.30 cm
D.34 cm
A.14 cm
B.18 cm
C.30 cm
D.34 cm
答案
B
解析
【分析】
首先明确本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：第一步，相似三角形的对应边之比等于相似比，题中给出的两个相似三角形的最长边是一组对应边，因此可先求出两个三角形的相似比；第二步，根据相似三角形的周长比等于相似比，得到两个三角形的周长之比；第三步，结合两个三角形的周长之和为48cm，设未知数列方程求解，即可得到较小三角形的周长。
【解析】
解：
∵两个三角形是相似三角形，最长边分别为10 cm和6 cm
∴两个三角形的相似比为 $10:6=5:3$
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比
∴两个三角形的周长比为 $5:3$
设较大三角形的周长为$5x$ cm，较小三角形的周长为$3x$ cm，由题意得：
$5x + 3x = 48$
解得 $x=6$
∴较小三角形的周长为 $3x=3×6=18$ cm
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质、一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是正确理解相似比与周长比的关系，通过最长边的比确定周长比，再结合周长和的条件列方程计算即可，解题时注意区分大小三角形对应的比例项，避免出错。
【难度系数】
0.8
首先明确本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：第一步，相似三角形的对应边之比等于相似比，题中给出的两个相似三角形的最长边是一组对应边，因此可先求出两个三角形的相似比；第二步，根据相似三角形的周长比等于相似比，得到两个三角形的周长之比；第三步，结合两个三角形的周长之和为48cm，设未知数列方程求解，即可得到较小三角形的周长。
【解析】
解：
∵两个三角形是相似三角形，最长边分别为10 cm和6 cm
∴两个三角形的相似比为 $10:6=5:3$
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比
∴两个三角形的周长比为 $5:3$
设较大三角形的周长为$5x$ cm，较小三角形的周长为$3x$ cm，由题意得：
$5x + 3x = 48$
解得 $x=6$
∴较小三角形的周长为 $3x=3×6=18$ cm
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质、一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是正确理解相似比与周长比的关系，通过最长边的比确定周长比，再结合周长和的条件列方程计算即可，解题时注意区分大小三角形对应的比例项，避免出错。
【难度系数】
0.8
2.若$△ ABC$的每条边长增加各自的10%得到$△ A'B'C'$，则$∠ B'$的度数与其对应角$∠ B$的度数相比（）
A.增加了10%
B.减少了10%
C.增加了$(1+10\%)$
D.没有改变
A.增加了10%
B.减少了10%
C.增加了$(1+10\%)$
D.没有改变
答案
D
解析
【分析】
解题时首先思考：当三角形各边按相同比例放大时，两个三角形的形状关系是什么。第一步，先确定两个三角形的对应边比值：原三角形各边增加10%，即新三角形各边长是原边长的1.1倍，可得三边对应成比例，由此可判定两个三角形相似；第二步，回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，因此对应角∠B'和∠B的度数完全相同，不会发生增减变化。
【解析】
设△ABC的三边长分别为a、b、c，
则△A'B'C'的三边长分别为1.1a、1.1b、1.1c。
∵ $\frac{a}{1.1a}=\frac{b}{1.1b}=\frac{c}{1.1c}=\frac{10}{11}$，即两个三角形三边对应成比例，
∴ △ABC∽△A'B'C'，
根据相似三角形对应角相等的性质，可得∠B'=∠B，即∠B'的度数没有改变。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
【点评】
本题侧重对相似三角形基础知识点的应用，核心是理解图形按比例缩放时仅改变大小、不改变形状的特点，对应角的度数不会发生变化，掌握相似的判定与性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先思考：当三角形各边按相同比例放大时，两个三角形的形状关系是什么。第一步，先确定两个三角形的对应边比值：原三角形各边增加10%，即新三角形各边长是原边长的1.1倍，可得三边对应成比例，由此可判定两个三角形相似；第二步，回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，因此对应角∠B'和∠B的度数完全相同，不会发生增减变化。
【解析】
设△ABC的三边长分别为a、b、c，
则△A'B'C'的三边长分别为1.1a、1.1b、1.1c。
∵ $\frac{a}{1.1a}=\frac{b}{1.1b}=\frac{c}{1.1c}=\frac{10}{11}$，即两个三角形三边对应成比例，
∴ △ABC∽△A'B'C'，
根据相似三角形对应角相等的性质，可得∠B'=∠B，即∠B'的度数没有改变。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
【点评】
本题侧重对相似三角形基础知识点的应用，核心是理解图形按比例缩放时仅改变大小、不改变形状的特点，对应角的度数不会发生变化，掌握相似的判定与性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 如图1,在$△ ABC$中,D是AB边上的一点.若$∠ ACD=∠ B$,$AD=1$,$AC=2$,$△ ADC$的面积为1,则$△ BCD$的面积为 ()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
首先观察题干条件，发现∠ACD=∠B，且△ACD和△ABC共享公共角∠A，可先通过两角相等判定两个三角形相似；再根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质，先求出△ABC的总面积，最后用总面积减去△ADC的面积即可得到△BCD的面积。
【解析】
在$△ ACD$和$△ ABC$中：
$\because ∠ ACD=∠ B$，$∠ A=∠ A$（公共角）
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
已知$AD=1$，$AC=2$，则两三角形的相似比为$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
$\because S_{△ ADC}=1$
$\therefore S_{△ ABC}=4×1=4$
因此$S_{△ BCD}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}=4-1=3$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的面积比性质、三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形应用的常规题型，解题核心是准确找到相等角判定三角形相似，再结合相似三角形的面积性质计算，要求熟练掌握相似三角形的判定和性质定理。
【难度系数】
0.7
首先观察题干条件，发现∠ACD=∠B，且△ACD和△ABC共享公共角∠A，可先通过两角相等判定两个三角形相似；再根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质，先求出△ABC的总面积，最后用总面积减去△ADC的面积即可得到△BCD的面积。
【解析】
在$△ ACD$和$△ ABC$中：
$\because ∠ ACD=∠ B$，$∠ A=∠ A$（公共角）
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
已知$AD=1$，$AC=2$，则两三角形的相似比为$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
$\because S_{△ ADC}=1$
$\therefore S_{△ ABC}=4×1=4$
因此$S_{△ BCD}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}=4-1=3$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的面积比性质、三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形应用的常规题型，解题核心是准确找到相等角判定三角形相似，再结合相似三角形的面积性质计算，要求熟练掌握相似三角形的判定和性质定理。
【难度系数】
0.7
4. (2025·河北)如图2,在五边形ABCDE中,AE//BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是 ()
A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
答案
D
解析
【分析】
首先由已知AE//BC可推导出△MAE和△DCN已经有一组对应角∠AEM=∠CND相等，根据相似三角形的AA判定定理，只需再得到一组对应角相等即可判定两三角形相似。接下来逐一分析每个选项能否推出另一组对应角相等，不能推出的即为所求答案。
【解析】
解：
∵AE//BC，BC是直线BN的一段，
∴AE//BN
∴∠AEM=∠CND（两直线平行，内错角相等），即△MAE与△DCN已有一组对应角相等。
逐一分析选项：
A.
∵AE//BC，
∴∠MAE=∠B（两直线平行，同位角相等），又∠B+∠4=180°，
∴∠MAE+∠4=180°，
∵∠4+∠DCN=180°（邻补角和为180°），
∴∠MAE=∠DCN，结合∠AEM=∠CND，由AA可判定△MAE∽△DCN，不符合题意；
B.
∵CD//AB，
∴∠M=∠CDN（两直线平行，同位角相等），结合∠AEM=∠CND，由AA可判定△MAE∽△DCN，不符合题意；
C. 若∠1=∠4，结合已得∠AEM=∠CND，由AA可判定△MAE∽△DCN，不符合题意；
D. 若∠2=∠3，无法推出△MAE与△DCN的另一组对应角相等，也无法得到对应边成比例，故无法判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题结合平行线的性质考查相似三角形的判定，解题时需准确识别两个三角形的对应角，逐一验证选项即可完成求解，需注意不要混淆非对应角的等量关系。
【难度系数】
0.7
首先由已知AE//BC可推导出△MAE和△DCN已经有一组对应角∠AEM=∠CND相等，根据相似三角形的AA判定定理，只需再得到一组对应角相等即可判定两三角形相似。接下来逐一分析每个选项能否推出另一组对应角相等，不能推出的即为所求答案。
【解析】
解：
∵AE//BC，BC是直线BN的一段，
∴AE//BN
∴∠AEM=∠CND（两直线平行，内错角相等），即△MAE与△DCN已有一组对应角相等。
逐一分析选项：
A.
∵AE//BC，
∴∠MAE=∠B（两直线平行，同位角相等），又∠B+∠4=180°，
∴∠MAE+∠4=180°，
∵∠4+∠DCN=180°（邻补角和为180°），
∴∠MAE=∠DCN，结合∠AEM=∠CND，由AA可判定△MAE∽△DCN，不符合题意；
B.
∵CD//AB，
∴∠M=∠CDN（两直线平行，同位角相等），结合∠AEM=∠CND，由AA可判定△MAE∽△DCN，不符合题意；
C. 若∠1=∠4，结合已得∠AEM=∠CND，由AA可判定△MAE∽△DCN，不符合题意；
D. 若∠2=∠3，无法推出△MAE与△DCN的另一组对应角相等，也无法得到对应边成比例，故无法判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题结合平行线的性质考查相似三角形的判定，解题时需准确识别两个三角形的对应角，逐一验证选项即可完成求解，需注意不要混淆非对应角的等量关系。
【难度系数】
0.7
5.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中“井深几何”的问题，它的题意可以由图3获得，则井深BD为（）
A.1.25尺
B.57.5尺
C.6.25尺
D.56.5尺
A.1.25尺
B.57.5尺
C.6.25尺
D.56.5尺
答案
B
解析
【分析】
这是一道相似三角形的实际应用问题，解题思路如下：第一步先统一单位，将题目中的“4寸”换算为以“尺”为单位的量，避免单位不统一导致计算错误；第二步观察图形特征，竖立的木杆和井深均为竖直方向，二者互相平行，可得到一对相似三角形；第三步根据相似三角形对应边成比例的性质，列出关于井深的方程，求解即可得到结果。
【解析】
首先进行单位换算：1尺=10寸，因此4寸=0.4尺。
设井深$BD=x$尺，由题意可知竖直木杆与井深所在直线互相平行，因此视线截得的两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{0.4}{5}=\frac{5}{x+5}$
交叉相乘得：
$0.4(x+5)=5×5$
展开计算：
$0.4x + 2 = 25$
移项求解：
$0.4x=23$
$x=23÷0.4=57.5$
因此井深BD为57.5尺。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质，单位换算
【点评】
本题结合我国古代数学典籍中的问题，考查相似三角形在实际测量中的应用，解题的关键是准确找到相似三角形，列出正确的比例式，计算前注意统一单位，避免因单位混乱出现计算错误。
【难度系数】
0.6
这是一道相似三角形的实际应用问题，解题思路如下：第一步先统一单位，将题目中的“4寸”换算为以“尺”为单位的量，避免单位不统一导致计算错误；第二步观察图形特征，竖立的木杆和井深均为竖直方向，二者互相平行，可得到一对相似三角形；第三步根据相似三角形对应边成比例的性质，列出关于井深的方程，求解即可得到结果。
【解析】
首先进行单位换算：1尺=10寸，因此4寸=0.4尺。
设井深$BD=x$尺，由题意可知竖直木杆与井深所在直线互相平行，因此视线截得的两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{0.4}{5}=\frac{5}{x+5}$
交叉相乘得：
$0.4(x+5)=5×5$
展开计算：
$0.4x + 2 = 25$
移项求解：
$0.4x=23$
$x=23÷0.4=57.5$
因此井深BD为57.5尺。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质，单位换算
【点评】
本题结合我国古代数学典籍中的问题，考查相似三角形在实际测量中的应用，解题的关键是准确找到相似三角形，列出正确的比例式，计算前注意统一单位，避免因单位混乱出现计算错误。
【难度系数】
0.6
6. 如图4,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=36°$,以点$C$为圆心,以$BC$为半径作弧交$AC$于点$D$,再分别以$B,D$为圆心,以大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧,两弧相交于点$P$,作射线$CP$交$AB$于点$E$,连接$DE$.以下结论不正确的是（）
A.$∠ BCE=36°$
B.$BC=AE$
C.$\frac{BE}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{S_{△ AEC}}{S_{△ BEC}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
A.$∠ BCE=36°$
B.$BC=AE$
C.$\frac{BE}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{S_{△ AEC}}{S_{△ BEC}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先根据尺规作图的特征判断CP是∠ACB的角平分线，第一步先利用等腰△ABC的已知顶角度数计算底角度数，验证A选项；第二步通过角度关系推导等腰三角形，验证B选项；第三步通过证明△BCE∽△BAC，得到线段比例关系，分别计算C、D选项的比值，判断正误，最终选出不正确的结论。
【解析】
1. 计算基础角度，验证A选项：
已知$AB=AC$，$∠BAC=36°$，
∴$∠ABC=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°$。
由作图步骤可知CP是$∠ACB$的角平分线，
∴$∠BCE=∠ACE=72°÷2=36°$，故A选项结论正确，不符合题意。
2. 推导线段相等，验证B选项：
∵$∠A=36°$，$∠ACE=36°$，
∴△AEC为等腰三角形，$AE=CE$。
又
∵$∠BEC$是△AEC的外角，
∴$∠BEC=∠A+∠ACE=72°$，而$∠ABC=72°$，
∴$∠BEC=∠ABC$，
∴$CE=BC$，
∴$BC=CE=AE$，故B选项结论正确，不符合题意。
3. 利用相似推导比例，验证C、D选项：
设$BC=x$，$AC=AB=y$，则$AE=BC=x$，$BE=y-x$。
在△BCE和△BAC中：$∠B$为公共角，$∠BCE=∠A=36°$，
∴△BCE∽△BAC。
由相似性质得：$\frac{BC}{BA}=\frac{BE}{BC}$，即$\frac{x}{y}=\frac{y-x}{x}$，整理得$x^2+xy-y^2=0$，令$k=\frac{x}{y}$，则$k^2+k-1=0$，解得$k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负根舍去），即$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
验证C选项：$BE=y-x=y-\frac{\sqrt{5}-1}{2}y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}y$，
∴$\frac{BE}{AC}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故C选项结论错误，符合题意。
验证D选项：△AEC和△BEC同高，面积比等于底的比，即$\frac{S_{△AEC}}{S_{△BEC}}=\frac{AE}{BE}=\frac{x}{y-x}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}y}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}y}=\frac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}}$，分母有理化后得$\frac{(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{2\sqrt{5}+2}{4}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 等腰三角形的性质与判定
2. 相似三角形的判定与性质
3. 尺规作角平分线
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、角平分线作图、相似三角形的相关知识，需要结合角的数量关系推导线段的等量关系和比例关系，逐个验证选项，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
解题时首先根据尺规作图的特征判断CP是∠ACB的角平分线，第一步先利用等腰△ABC的已知顶角度数计算底角度数，验证A选项；第二步通过角度关系推导等腰三角形，验证B选项；第三步通过证明△BCE∽△BAC，得到线段比例关系，分别计算C、D选项的比值，判断正误，最终选出不正确的结论。
【解析】
1. 计算基础角度，验证A选项：
已知$AB=AC$，$∠BAC=36°$，
∴$∠ABC=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°$。
由作图步骤可知CP是$∠ACB$的角平分线，
∴$∠BCE=∠ACE=72°÷2=36°$，故A选项结论正确，不符合题意。
2. 推导线段相等，验证B选项：
∵$∠A=36°$，$∠ACE=36°$，
∴△AEC为等腰三角形，$AE=CE$。
又
∵$∠BEC$是△AEC的外角，
∴$∠BEC=∠A+∠ACE=72°$，而$∠ABC=72°$，
∴$∠BEC=∠ABC$，
∴$CE=BC$，
∴$BC=CE=AE$，故B选项结论正确，不符合题意。
3. 利用相似推导比例，验证C、D选项：
设$BC=x$，$AC=AB=y$，则$AE=BC=x$，$BE=y-x$。
在△BCE和△BAC中：$∠B$为公共角，$∠BCE=∠A=36°$，
∴△BCE∽△BAC。
由相似性质得：$\frac{BC}{BA}=\frac{BE}{BC}$，即$\frac{x}{y}=\frac{y-x}{x}$，整理得$x^2+xy-y^2=0$，令$k=\frac{x}{y}$，则$k^2+k-1=0$，解得$k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负根舍去），即$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
验证C选项：$BE=y-x=y-\frac{\sqrt{5}-1}{2}y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}y$，
∴$\frac{BE}{AC}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故C选项结论错误，符合题意。
验证D选项：△AEC和△BEC同高，面积比等于底的比，即$\frac{S_{△AEC}}{S_{△BEC}}=\frac{AE}{BE}=\frac{x}{y-x}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}y}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}y}=\frac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}}$，分母有理化后得$\frac{(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{2\sqrt{5}+2}{4}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 等腰三角形的性质与判定
2. 相似三角形的判定与性质
3. 尺规作角平分线
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、角平分线作图、相似三角形的相关知识，需要结合角的数量关系推导线段的等量关系和比例关系，逐个验证选项，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
