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1. 教材P30T3变式 [2026合肥四十五中月考] 下列曲线中能够表示y是x的函数的是 (
A
B
C D
C
)A
B
C D
答案
C
作辅助线识别函数图象
过x轴上任意一点作x轴的垂线,若该垂线与图象有两个或两个以上的交点,则该图象不能表示函数关系.
作辅助线识别函数图象
过x轴上任意一点作x轴的垂线,若该垂线与图象有两个或两个以上的交点,则该图象不能表示函数关系.
解析
【分析】
判断图象是否表示y是x的函数，核心依据是函数的定义：对于x的每一个确定的值，y有且只有唯一确定的值与之对应。对应的图象判断方法为：过x轴上任意一点作垂直于x轴的直线，若该直线与图象最多只有1个交点，则符合函数的要求，否则就不能表示y是x的函数，我们用这个方法逐一分析选项即可。
【解析】
使用“垂直x轴直线法”逐个判断：
1. 选项A：过x轴正半轴上任意一点作垂直于x轴的直线，与图象有2个交点，说明一个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
2. 选项B：过x轴上除端点外的任意点作垂直于x轴的直线，与圆形图象有2个交点，说明一个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
3. 选项C：任意作垂直于x轴的直线，与图象都只有1个交点，说明每个x值都对应唯一的y值，符合函数定义，当选；
4. 选项D：过x轴上部分点作垂直于x轴的直线，与图象有2个交点，说明一个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
函数的概念；函数图象识别
【点评】
本题考查函数定义的实际应用，解题关键是牢记“一个x对应唯一y”的判断原则，用竖线法可以快速解决这类图象识别类题目。
【难度系数】
0.85
判断图象是否表示y是x的函数，核心依据是函数的定义：对于x的每一个确定的值，y有且只有唯一确定的值与之对应。对应的图象判断方法为：过x轴上任意一点作垂直于x轴的直线，若该直线与图象最多只有1个交点，则符合函数的要求，否则就不能表示y是x的函数，我们用这个方法逐一分析选项即可。
【解析】
使用“垂直x轴直线法”逐个判断：
1. 选项A：过x轴正半轴上任意一点作垂直于x轴的直线，与图象有2个交点，说明一个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
2. 选项B：过x轴上除端点外的任意点作垂直于x轴的直线，与圆形图象有2个交点，说明一个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
3. 选项C：任意作垂直于x轴的直线，与图象都只有1个交点，说明每个x值都对应唯一的y值，符合函数定义，当选；
4. 选项D：过x轴上部分点作垂直于x轴的直线，与图象有2个交点，说明一个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
函数的概念；函数图象识别
【点评】
本题考查函数定义的实际应用，解题关键是牢记“一个x对应唯一y”的判断原则，用竖线法可以快速解决这类图象识别类题目。
【难度系数】
0.85
2. 教材P33T6变式 [2025宿州埇桥区期末] 圆圆出门散步，从家出发走了20分钟到达离家900米的广场，看到广场有杂技表演，就停下来看了10分钟，之后用15分钟回到家中。下面图象能表示圆圆离家的距离s(单位:米)与外出时间t(单位:分)之间关系的是 (
A
)答案
A
圆圆从家出发走了20分钟到达离家900米的广场,则t=20时,s=900;圆圆在广场停留10分钟,s的值不变,仍为900;圆圆用15分钟回到家中,则t=20 + 10 + 15 =45时,s=0.
圆圆从家出发走了20分钟到达离家900米的广场,则t=20时,s=900;圆圆在广场停留10分钟,s的值不变,仍为900;圆圆用15分钟回到家中,则t=20 + 10 + 15 =45时,s=0.
解析
【分析】
要判断符合圆圆行程的s-t图像，需将整个外出过程拆分为三个阶段逐一分析：①去广场阶段：明确时间、距离的变化规律；②停留看表演阶段：明确时间变化时距离的特点；③回家阶段：明确时间、距离的变化规律和总时长，再将各阶段的特征和选项逐一比对即可得出答案。
【解析】
我们分三个阶段分析离家距离s和时间t的关系：
1. 去广场阶段：0~20分钟，圆圆从家前往900米的广场，离家距离s随时间t的增大而增大，当t=20分时，s=900米；
2. 停留阶段：圆圆看表演停留10分钟，即20~30分钟内，时间增加但离家距离不变，始终为900米，对应图像是平行于t轴的水平线段，因此没有水平段的选项B、D不符合要求，直接排除；
3. 回家阶段：圆圆用15分钟返回家，即从t=30分开始，s随t的增大而减小，到t=30+15=45分时，s=0（回到家）。观察剩余选项A、C：选项C的终点为t=50分，说明回家用时20分钟，不符合要求；选项A的终点为t=45分，完全符合行程特征。
【答案】
A
【知识点】
s-t图像解读、函数图象的实际意义
【点评】
本题是行程类函数图象的典型题，解题核心是按照事件发展顺序拆分不同阶段，抓住每个阶段中“距离是否随时间变化”“变化的时长是多少”两个关键特征，就能快速匹配正确图像，避免因忽略停留时间或返程时长错选。
【难度系数】
0.8
要判断符合圆圆行程的s-t图像，需将整个外出过程拆分为三个阶段逐一分析：①去广场阶段：明确时间、距离的变化规律；②停留看表演阶段：明确时间变化时距离的特点；③回家阶段：明确时间、距离的变化规律和总时长，再将各阶段的特征和选项逐一比对即可得出答案。
【解析】
我们分三个阶段分析离家距离s和时间t的关系：
1. 去广场阶段：0~20分钟，圆圆从家前往900米的广场，离家距离s随时间t的增大而增大，当t=20分时，s=900米；
2. 停留阶段：圆圆看表演停留10分钟，即20~30分钟内，时间增加但离家距离不变，始终为900米，对应图像是平行于t轴的水平线段，因此没有水平段的选项B、D不符合要求，直接排除；
3. 回家阶段：圆圆用15分钟返回家，即从t=30分开始，s随t的增大而减小，到t=30+15=45分时，s=0（回到家）。观察剩余选项A、C：选项C的终点为t=50分，说明回家用时20分钟，不符合要求；选项A的终点为t=45分，完全符合行程特征。
【答案】
A
【知识点】
s-t图像解读、函数图象的实际意义
【点评】
本题是行程类函数图象的典型题，解题核心是按照事件发展顺序拆分不同阶段，抓住每个阶段中“距离是否随时间变化”“变化的时长是多少”两个关键特征，就能快速匹配正确图像，避免因忽略停留时间或返程时长错选。
【难度系数】
0.8
3. (1)画出函数$y=2x-1$的图象.
(2)判断点$(1,1),(-1,0),(-2,3)$是否在函数$y=2x-1$的图象上.
(2)判断点$(1,1),(-1,0),(-2,3)$是否在函数$y=2x-1$的图象上.
答案
解:(1)列表:
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| y | … | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 | … |
描点、连线得函数$y=2x-1$的图象,如
所示.(2)由(1)中表格可知点$(1,1)$在函数$y=2x-1$的图象上,点$(-1,0),(-2,3)$不在函数$y=2x-1$的图象上.
判断点$P(x,y)$是否在函数图象上时,只需将点P的横坐标代入函数表达式,求出函数值,若求出的函数值与点P的纵坐标相等,则该点在函数图象上,否则该点不在函数图象上.
解析
【分析】
1. 绘制函数图象遵循通用的三步法：列表、描点、连线。一次函数的图象为直线，我们可以选取多个便于计算的x取值，代入解析式求出对应y值，整理为表格后描出坐标点，最后用直线连接点即可得到图象。
2. 判断点是否在函数图象上的核心逻辑是：函数图象上所有点的坐标都满足函数解析式。只需将点的横坐标代入解析式，计算出对应的y值，和点的纵坐标对比，二者相等则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 绘制$y=2x-1$的图象：
① 列表：取x的整数值代入解析式计算y，结果如下：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| y | … | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 | … |
② 描点：将表格中得到的坐标点依次在平面直角坐标系中标出。
③ 连线：用直线将所有描出的点连接，即得到该函数的图象。
(2) 逐个判断点的位置：
对点$(1,1)$：代入$x=1$得$y=2×1-1=1$，和点的纵坐标相等，因此该点在函数图象上。
对点$(-1,0)$：代入$x=-1$得$y=2×(-1)-1=-3$，$-3≠0$，因此该点不在函数图象上。
对点$(-2,3)$：代入$x=-2$得$y=2×(-2)-1=-5$，$-5≠3$，因此该点不在函数图象上。
【答案】
(1) 列表如下：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| y | … | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 | … |
描点、连线得函数$y=2x-1$的图象，如所示。
(2) 点$(1,1)$在函数$y=2x-1$的图象上，点$(-1,0),(-2,3)$不在函数$y=2x-1$的图象上。
【知识点】
函数图象画法，一次函数图象，点在函数图象上的判定
【点评】
本题属于函数部分的基础题型，既考查了函数图象绘制的基本步骤，又考查了点与函数图象关系的判断方法，熟练掌握基础规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
1. 绘制函数图象遵循通用的三步法：列表、描点、连线。一次函数的图象为直线，我们可以选取多个便于计算的x取值，代入解析式求出对应y值，整理为表格后描出坐标点，最后用直线连接点即可得到图象。
2. 判断点是否在函数图象上的核心逻辑是：函数图象上所有点的坐标都满足函数解析式。只需将点的横坐标代入解析式，计算出对应的y值，和点的纵坐标对比，二者相等则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 绘制$y=2x-1$的图象：
① 列表：取x的整数值代入解析式计算y，结果如下：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| y | … | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 | … |
② 描点：将表格中得到的坐标点依次在平面直角坐标系中标出。
③ 连线：用直线将所有描出的点连接，即得到该函数的图象。
(2) 逐个判断点的位置：
对点$(1,1)$：代入$x=1$得$y=2×1-1=1$，和点的纵坐标相等，因此该点在函数图象上。
对点$(-1,0)$：代入$x=-1$得$y=2×(-1)-1=-3$，$-3≠0$，因此该点不在函数图象上。
对点$(-2,3)$：代入$x=-2$得$y=2×(-2)-1=-5$，$-5≠3$，因此该点不在函数图象上。
【答案】
(1) 列表如下：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| y | … | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 | … |
描点、连线得函数$y=2x-1$的图象，如
所示。(2) 点$(1,1)$在函数$y=2x-1$的图象上，点$(-1,0),(-2,3)$不在函数$y=2x-1$的图象上。
【知识点】
函数图象画法，一次函数图象，点在函数图象上的判定
【点评】
本题属于函数部分的基础题型，既考查了函数图象绘制的基本步骤，又考查了点与函数图象关系的判断方法，熟练掌握基础规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4. 跨学科·生物 [2025广西中考] 生态学家G. F. Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线。下列说法正确的是（
A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
B
）A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
答案
B
由题图可知,前3天种群数量持续增长,第5天的种群数量达到最大,且第5天的种群数量为400个,通过曲线“陡峭”程度的变化可判断每天增加的种群数量不相同,故选项B符合题意.
由题图可知,前3天种群数量持续增长,第5天的种群数量达到最大,且第5天的种群数量为400个,通过曲线“陡峭”程度的变化可判断每天增加的种群数量不相同,故选项B符合题意.
解析
【分析】
本题是结合函数图象判断实际问题结论的题目，解题思路如下：首先明确图象横、纵坐标的含义：横坐标t代表时间（单位：天），纵坐标y代表对应时间的大草履虫种群数量；接下来逐一把选项描述和图象信息对应验证：先看数值类描述是否和图象上的坐标对应，再看变化趋势类描述是否和图象的走势一致，最后判断增长速率类描述是否和曲线的陡峭程度变化匹配，即可选出正确选项。
【解析】
结合图象逐一分析选项：
A. 观察图象可知，第5天（t=5）对应的种群数量是400个，不是300个，故A错误；
B. 观察0~3天的图象走势，曲线持续上升，说明种群数量随时间增加而增大，即前3天种群数量持续增长，故B正确；
C. 图象中种群数量的最大值出现在第5天，为400个，第3天未达到最大值，故C错误；
D. 该图象是曲线，不同时间段曲线的陡峭程度不同，说明每天种群数量的增长量不相同，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
函数图象分析，图象信息提取，变量关系的图象表示
【点评】
本题是跨生物学科的题型，结合实际的种群增长场景考查函数图象的相关知识，侧重考查学生从图象中提取有效信息、分析变量变化规律的能力，解题的核心是明确横纵坐标的含义，结合图象的走势、坐标点判断选项正误。
【难度系数】
0.8
本题是结合函数图象判断实际问题结论的题目，解题思路如下：首先明确图象横、纵坐标的含义：横坐标t代表时间（单位：天），纵坐标y代表对应时间的大草履虫种群数量；接下来逐一把选项描述和图象信息对应验证：先看数值类描述是否和图象上的坐标对应，再看变化趋势类描述是否和图象的走势一致，最后判断增长速率类描述是否和曲线的陡峭程度变化匹配，即可选出正确选项。
【解析】
结合图象逐一分析选项：
A. 观察图象可知，第5天（t=5）对应的种群数量是400个，不是300个，故A错误；
B. 观察0~3天的图象走势，曲线持续上升，说明种群数量随时间增加而增大，即前3天种群数量持续增长，故B正确；
C. 图象中种群数量的最大值出现在第5天，为400个，第3天未达到最大值，故C错误；
D. 该图象是曲线，不同时间段曲线的陡峭程度不同，说明每天种群数量的增长量不相同，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
函数图象分析，图象信息提取，变量关系的图象表示
【点评】
本题是跨生物学科的题型，结合实际的种群增长场景考查函数图象的相关知识，侧重考查学生从图象中提取有效信息、分析变量变化规律的能力，解题的核心是明确横纵坐标的含义，结合图象的走势、坐标点判断选项正误。
【难度系数】
0.8
5. 跨学科·物理 [2026合肥蜀山区期中]为了探究物质的质量与体积的关系，同学们找来甲、乙、丙、丁四种物质做实验，分别测量它们的体积$ V $(单位:$ \mathrm{cm}^3 $)和质量$ m $(单位:$ \mathrm{g} $)，并在如图所示的平面直角坐标系内依次画出了相应的图象。根据图象及物理学知识 $ m = \rho V $，可判断这四种物质中密度$ \rho $(单位:$ \mathrm{g/cm}^3 $)最大的是 (
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
D
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
D
由$m=\rho V$知,当体积相同时,质量越大,密度越大,由题图可知,当体积为$V_1$时,这四种物质中质量最大的是丁,故其密度最大.
由$m=\rho V$知,当体积相同时,质量越大,密度越大,由题图可知,当体积为$V_1$时,这四种物质中质量最大的是丁,故其密度最大.
解析
【分析】
要判断四种物质的密度大小，首先明确$m=\rho V$是正比例函数关系，密度$\rho$是质量$m$与体积$V$的比值，我们可以用两种思路解题：一是利用正比例函数的性质，比例系数$\rho$对应$m-V$图象直线的斜率，斜率越大$\rho$越大；二是用控制变量法，取相同体积，比较质量大小，质量越大的密度越大。结合图象特征分析即可得出结论。
【解析】
方法1：由公式$m=\rho V$变形可得$\rho=\frac{m}{V}$，当体积$V$相同时，质量$m$越大，密度$\rho$越大。
观察图象，取体积均为$V_1$时，丁对应的质量为$m_2$，是四种物质中质量最大的，因此丁的密度最大。
方法2：$m=\rho V$是关于$V$的正比例函数，比例系数为$\rho$，对应图象中直线的倾斜程度（斜率），直线越陡，斜率越大，即$\rho$越大。图象中丁的直线最陡，因此丁的密度最大。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数图象与性质
2. 密度公式应用
3. 控制变量法
【点评】
本题是跨学科题目，结合物理密度知识与数学函数图象知识，考查图象分析能力与知识迁移能力，解题的关键是理解正比例函数比例系数的实际意义，或运用控制变量法比较物理量大小。
【难度系数】
0.8
要判断四种物质的密度大小，首先明确$m=\rho V$是正比例函数关系，密度$\rho$是质量$m$与体积$V$的比值，我们可以用两种思路解题：一是利用正比例函数的性质，比例系数$\rho$对应$m-V$图象直线的斜率，斜率越大$\rho$越大；二是用控制变量法，取相同体积，比较质量大小，质量越大的密度越大。结合图象特征分析即可得出结论。
【解析】
方法1：由公式$m=\rho V$变形可得$\rho=\frac{m}{V}$，当体积$V$相同时，质量$m$越大，密度$\rho$越大。
观察图象，取体积均为$V_1$时，丁对应的质量为$m_2$，是四种物质中质量最大的，因此丁的密度最大。
方法2：$m=\rho V$是关于$V$的正比例函数，比例系数为$\rho$，对应图象中直线的倾斜程度（斜率），直线越陡，斜率越大，即$\rho$越大。图象中丁的直线最陡，因此丁的密度最大。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数图象与性质
2. 密度公式应用
3. 控制变量法
【点评】
本题是跨学科题目，结合物理密度知识与数学函数图象知识，考查图象分析能力与知识迁移能力，解题的关键是理解正比例函数比例系数的实际意义，或运用控制变量法比较物理量大小。
【难度系数】
0.8
6. [2026六安裕安区段考]匀速地向一个容器内注水,直至把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为折线).这个容器的形状可能是 (
A
)答案
A
由题中图象可知,随着时间t的增加,水面高度h上升的速度越来越快(OA段最慢,AB段较快,BC段最快),因为是匀速注水,所以这个容器应是下面最粗,中间其次,上面最细.
由题中图象可知,随着时间t的增加,水面高度h上升的速度越来越快(OA段最慢,AB段较快,BC段最快),因为是匀速注水,所以这个容器应是下面最粗,中间其次,上面最细.
解析
【分析】
解题时首先要明确匀速注水的特点：单位时间内注入水的体积是固定的。此时水面高度上升的快慢和容器的横截面积直接相关：容器越粗（横截面积越大），相同体积的水注入后，水面上升得越慢，对应h-t图像的线段越平缓；容器越细（横截面积越小），水面上升得越快，对应h-t图像的线段越陡。接下来观察题中给出的三段折线：OA段最平缓，说明注水初期水面上升最慢，对应容器最下方的部分最粗；AB段斜率比OA大，上升速度更快，说明容器中间部分比下方细；BC段斜率最大，上升最快，说明容器最上方部分最细。因此容器从下到上是逐渐变细的三层结构，据此匹配选项即可。
【解析】
已知是匀速注水，即相同时间内注入水的体积相等。
水面高度h的上升速度与容器横截面积成反比：
1. 观察OA段：h上升速度最慢，说明容器最下部横截面积最大（最粗）；
2. 观察AB段：h上升速度比OA段快，说明容器中部横截面积比下部小（比下部细）；
3. 观察BC段：h上升速度最快，说明容器最上部横截面积最小（最细）。
综上，容器从下到上逐层变细，符合该特征的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
函数图象识别，变量关系分析
【点评】
本题将函数图象与实际生活场景结合，核心是建立图象的斜率（变化趋势）和实际容器粗细的对应关系，能够很好地考查学生的读图能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确匀速注水的特点：单位时间内注入水的体积是固定的。此时水面高度上升的快慢和容器的横截面积直接相关：容器越粗（横截面积越大），相同体积的水注入后，水面上升得越慢，对应h-t图像的线段越平缓；容器越细（横截面积越小），水面上升得越快，对应h-t图像的线段越陡。接下来观察题中给出的三段折线：OA段最平缓，说明注水初期水面上升最慢，对应容器最下方的部分最粗；AB段斜率比OA大，上升速度更快，说明容器中间部分比下方细；BC段斜率最大，上升最快，说明容器最上方部分最细。因此容器从下到上是逐渐变细的三层结构，据此匹配选项即可。
【解析】
已知是匀速注水，即相同时间内注入水的体积相等。
水面高度h的上升速度与容器横截面积成反比：
1. 观察OA段：h上升速度最慢，说明容器最下部横截面积最大（最粗）；
2. 观察AB段：h上升速度比OA段快，说明容器中部横截面积比下部小（比下部细）；
3. 观察BC段：h上升速度最快，说明容器最上部横截面积最小（最细）。
综上，容器从下到上逐层变细，符合该特征的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
函数图象识别，变量关系分析
【点评】
本题将函数图象与实际生活场景结合，核心是建立图象的斜率（变化趋势）和实际容器粗细的对应关系，能够很好地考查学生的读图能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
