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10. [2025北京朝阳区段考]已知x为长方形的一边长，其面积为y，且$y = x(4 - x)$，则自变量x的取值范围是（
A.$x ＞ 0$
B.$0 ＜ x ＜ 4$
C.$0 ≤ x ≤ 4$
D.$x ＞ 4$
B
）A.$x ＞ 0$
B.$0 ＜ x ＜ 4$
C.$0 ≤ x ≤ 4$
D.$x ＞ 4$
答案
B 由题意,得$4-x＞0$且$x＞0$,解得$0＜x＜4$.
解析
【分析】
要确定自变量x的取值范围，需结合实际问题的约束条件分析：x是长方形的一边长，首先边长必须为正数，其次长方形的另一边长为(4-x)，也需要满足边长为正的要求，据此列出不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
∵x为长方形的一边长，
∴x＞0，
又
∵长方形的另一边长为4-x，边长需为正数，
∴4-x＞0，解得x＜4，
综合两个条件可得0＜x＜4。
【答案】
B
【知识点】
函数自变量取值范围；一元一次不等式求解；长方形边长性质
【点评】
本题考查实际场景下函数自变量取值范围的求解，易错点是忽略长方形边长必须为正的要求，误将端点0、4纳入取值范围而错选C，解题时要注意结合实际场景判断变量的限制条件。
【难度系数】
0.7
要确定自变量x的取值范围，需结合实际问题的约束条件分析：x是长方形的一边长，首先边长必须为正数，其次长方形的另一边长为(4-x)，也需要满足边长为正的要求，据此列出不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
∵x为长方形的一边长，
∴x＞0，
又
∵长方形的另一边长为4-x，边长需为正数，
∴4-x＞0，解得x＜4，
综合两个条件可得0＜x＜4。
【答案】
B
【知识点】
函数自变量取值范围；一元一次不等式求解；长方形边长性质
【点评】
本题考查实际场景下函数自变量取值范围的求解，易错点是忽略长方形边长必须为正的要求，误将端点0、4纳入取值范围而错选C，解题时要注意结合实际场景判断变量的限制条件。
【难度系数】
0.7
11. [2026西安一中期中]弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧能承受的范围内，已知所挂物体的质量（单位：kg）与弹簧的长度（单位：cm）之间的关系如下表所示：
下列说法错误的是（
A.在没挂物体时，弹簧的长度为10 cm
B.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量
C.在弹簧能承受的范围内，如果物体的质量为m（单位：kg），那么弹簧的长度y（单位：cm）可以表示为$y=2.5m+10$
D.在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为6 kg时，弹簧的长度为25 cm
下列说法错误的是（
B
）A.在没挂物体时，弹簧的长度为10 cm
B.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量
C.在弹簧能承受的范围内，如果物体的质量为m（单位：kg），那么弹簧的长度y（单位：cm）可以表示为$y=2.5m+10$
D.在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为6 kg时，弹簧的长度为25 cm
答案
B 在没挂物体时,所挂物体的质量为0 kg,对应的弹簧的长度为10 cm,所以A项正确;题中表格反映了弹簧的长度和所挂物体的质量之间的关系,所挂物体的质量是自变量,所以B项错误;观察题中表格可得,物体的质量为m kg时,弹簧的长度为$(2.5m+10)\mathrm{cm}$,所以C项正确;由C项知$y=2.5m+10$,因此当$m=6$时,$y=25$,所以D项正确.
解析
【分析】
这道题考查函数相关基础概念，解题时逐个分析选项即可：首先看A选项，可直接从表格中找质量为0时对应的弹簧长度判断；分析B选项要明确自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量，据此判断两者的属性；推导C选项的关系式时，先计算每增加1kg物体弹簧伸长的长度，再结合弹簧原长写出解析式；D选项将m=6代入解析式计算就能判断正误。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 当所挂物体质量为0kg（未挂物体）时，由表格可知弹簧长度为10cm，该选项说法正确；
B. 弹簧的长度随所挂物体的质量变化而变化，因此所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量，该选项说法错误；
C. 观察表格数据可得，所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度增加2.5cm，弹簧原长为10cm，因此在弹簧承受范围内，质量为m kg时，弹簧长度$y=2.5m+10$，该选项说法正确；
D. 将$m=6$代入$y=2.5m+10$，得$y=2.5×6+10=25$，即物体质量为6kg时弹簧长度为25cm，该选项说法正确。
综上，说法错误的是B。
【答案】
B
【知识点】
1. 自变量与因变量 2. 列函数解析式 3. 函数值计算
【点评】
本题结合弹簧伸长的实际情境考查函数基础知识点，解题时要准确区分自变量和因变量，正确从表格中提取变化规律推导函数关系式，细心计算即可做对。
【难度系数】
0.8
这道题考查函数相关基础概念，解题时逐个分析选项即可：首先看A选项，可直接从表格中找质量为0时对应的弹簧长度判断；分析B选项要明确自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量，据此判断两者的属性；推导C选项的关系式时，先计算每增加1kg物体弹簧伸长的长度，再结合弹簧原长写出解析式；D选项将m=6代入解析式计算就能判断正误。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A. 当所挂物体质量为0kg（未挂物体）时，由表格可知弹簧长度为10cm，该选项说法正确；
B. 弹簧的长度随所挂物体的质量变化而变化，因此所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量，该选项说法错误；
C. 观察表格数据可得，所挂物体质量每增加1kg，弹簧长度增加2.5cm，弹簧原长为10cm，因此在弹簧承受范围内，质量为m kg时，弹簧长度$y=2.5m+10$，该选项说法正确；
D. 将$m=6$代入$y=2.5m+10$，得$y=2.5×6+10=25$，即物体质量为6kg时弹簧长度为25cm，该选项说法正确。
综上，说法错误的是B。
【答案】
B
【知识点】
1. 自变量与因变量 2. 列函数解析式 3. 函数值计算
【点评】
本题结合弹簧伸长的实际情境考查函数基础知识点，解题时要准确区分自变量和因变量，正确从表格中提取变化规律推导函数关系式，细心计算即可做对。
【难度系数】
0.8
12. [2025深圳南山区期中]某市出租车的收费标准如下表：
设行驶里程数为x km,收费为y元,则y与x(x≥3)之间的函数表达式为
设行驶里程数为x km,收费为y元,则y与x(x≥3)之间的函数表达式为
$y=1.8x+2.6$
.答案
$y=1.8x+2.6$ 由题意得,当$x≥3$时,$y=1.8(x-3)+8$,即$y=1.8x+2.6$.
解析
【分析】
要得到x≥3时y与x的函数表达式，首先明确收费由两部分组成：一是3km及以内的固定起步价8元，二是超过3km部分的额外收费。先算出超过3km的里程为(x-3)km，这部分的费用为单价1.8元乘以超出里程，再将两部分费用相加，最后化简式子即可得到函数表达式。
【解析】
当x≥3时，3km及以内收费8元，超出3km的里程为(x-3)km，超出部分的收费为1.8(x-3)元。
因此总收费：
$y = 8 + 1.8(x-3)$
展开计算：
$y = 8 + 1.8x - 5.4$
合并同类项得：
$y = 1.8x + 2.6$
【答案】
$y=1.8x+2.6$
【知识点】
列函数关系式；一次函数的实际应用
【点评】
本题是分段计费类的基础题型，解题核心是理清不同里程对应的收费规则，拆分总费用的组成部分，再通过代数化简得到最终的函数表达式，计算时要注意常数项的合并不要出错。
【难度系数】
0.8
要得到x≥3时y与x的函数表达式，首先明确收费由两部分组成：一是3km及以内的固定起步价8元，二是超过3km部分的额外收费。先算出超过3km的里程为(x-3)km，这部分的费用为单价1.8元乘以超出里程，再将两部分费用相加，最后化简式子即可得到函数表达式。
【解析】
当x≥3时，3km及以内收费8元，超出3km的里程为(x-3)km，超出部分的收费为1.8(x-3)元。
因此总收费：
$y = 8 + 1.8(x-3)$
展开计算：
$y = 8 + 1.8x - 5.4$
合并同类项得：
$y = 1.8x + 2.6$
【答案】
$y=1.8x+2.6$
【知识点】
列函数关系式；一次函数的实际应用
【点评】
本题是分段计费类的基础题型，解题核心是理清不同里程对应的收费规则，拆分总费用的组成部分，再通过代数化简得到最终的函数表达式，计算时要注意常数项的合并不要出错。
【难度系数】
0.8
13. [2026淮北段考]如图,长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上,AB = 10 cm,当线段AB保持不动,线段CD在平行线上向右匀速运动时,长方形ABCD的面积发生了变化.设长方形ABCD的面积为y cm²,边AD的长为x cm.
(1)在这个变化过程中,对于AB,AD的长度,常量是
(2)请用含x的式子表示y.
(3)当长方形的长AD从12 cm变到30 cm时,长方形ABCD的面积值会如何变化?
(1)在这个变化过程中,对于AB,AD的长度,常量是
AB的长度
,变量是AD的长度
.(2)请用含x的式子表示y.
(3)当长方形的长AD从12 cm变到30 cm时,长方形ABCD的面积值会如何变化?
答案
解:(1)AB的长度 AD的长度
(2)由长方形的面积公式,得$y=10x$.
(3)当$x=12$时,$y=10×12=120$,
当$x=30$时,$y=10×30=300$,
所以当长方形的长AD从12 cm变到30 cm时,长方形ABCD的面积从$120\ \mathrm{cm^2}$变到$300\ \mathrm{cm^2}$.
(2)由长方形的面积公式,得$y=10x$.
(3)当$x=12$时,$y=10×12=120$,
当$x=30$时,$y=10×30=300$,
所以当长方形的长AD从12 cm变到30 cm时,长方形ABCD的面积从$120\ \mathrm{cm^2}$变到$300\ \mathrm{cm^2}$.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先回忆常量和变量的定义：在一个变化过程中，数值始终不变的量是常量，数值发生变化的量是变量。结合题目中“线段AB保持不动，CD向右运动导致AD长度变化”的条件，即可判断常量和变量。2. 第二问求面积y和x的关系，直接套用长方形面积=长×宽的公式，已知AB为固定的10cm，AD长为x cm，代入即可得到表达式。3. 第三问要判断面积的变化，只需要把AD的两个端点值x=12和x=30分别代入第二问得到的解析式中，算出对应的y值，就能得到面积的变化范围。
【解析】
(1) 根据常量和变量的定义，变化过程中AB长度保持不变，AD长度随CD的运动发生变化，因此常量是AB的长度，变量是AD的长度。
(2) 长方形的面积等于相邻两边长度的乘积，已知AB=10cm，AD=x cm，因此面积$y=10x$。
(3) 分别将$x=12$和$x=30$代入$y=10x$：
当$x=12$时，$y=10×12=120$；
当$x=30$时，$y=10×30=300$。
因此当AD从12cm变到30cm时，长方形面积从$120\ \mathrm{cm^2}$变到$300\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
(1)AB的长度；AD的长度
(2)$y=10x$
(3)长方形ABCD的面积从$120\ \mathrm{cm^2}$变到$300\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
常量与变量；列函数解析式；代数式求值
【点评】
本题属于基础应用题，结合几何图形的面积公式考查函数相关的基础概念，只要掌握常量变量的定义和长方形面积公式，就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 先回忆常量和变量的定义：在一个变化过程中，数值始终不变的量是常量，数值发生变化的量是变量。结合题目中“线段AB保持不动，CD向右运动导致AD长度变化”的条件，即可判断常量和变量。2. 第二问求面积y和x的关系，直接套用长方形面积=长×宽的公式，已知AB为固定的10cm，AD长为x cm，代入即可得到表达式。3. 第三问要判断面积的变化，只需要把AD的两个端点值x=12和x=30分别代入第二问得到的解析式中，算出对应的y值，就能得到面积的变化范围。
【解析】
(1) 根据常量和变量的定义，变化过程中AB长度保持不变，AD长度随CD的运动发生变化，因此常量是AB的长度，变量是AD的长度。
(2) 长方形的面积等于相邻两边长度的乘积，已知AB=10cm，AD=x cm，因此面积$y=10x$。
(3) 分别将$x=12$和$x=30$代入$y=10x$：
当$x=12$时，$y=10×12=120$；
当$x=30$时，$y=10×30=300$。
因此当AD从12cm变到30cm时，长方形面积从$120\ \mathrm{cm^2}$变到$300\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
(1)AB的长度；AD的长度
(2)$y=10x$
(3)长方形ABCD的面积从$120\ \mathrm{cm^2}$变到$300\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
常量与变量；列函数解析式；代数式求值
【点评】
本题属于基础应用题，结合几何图形的面积公式考查函数相关的基础概念，只要掌握常量变量的定义和长方形面积公式，就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
14. 应用意识 如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5 cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm.设链条总长度为y cm，链条节数为x.
(1)观察图形，填写下表：
| 链条节数x | 2 | 3 | 4 | … |
| 链条总长度y/cm | 4.2 |
| | … |
(2)上表的两个变量中，自变量是
(3)请写出y与x之间的函数表达式.
(4)如果一辆自行车的链条(安装前)共由60节链条组成，那么这根链条安装到自行车上(首尾相连成环形)后，总长度是多少？
(1)观察图形，填写下表：
| 链条节数x | 2 | 3 | 4 | … |
| 链条总长度y/cm | 4.2 |
| | … |(2)上表的两个变量中，自变量是
链条节数x
.(3)请写出y与x之间的函数表达式.
(4)如果一辆自行车的链条(安装前)共由60节链条组成，那么这根链条安装到自行车上(首尾相连成环形)后，总长度是多少？
答案
解:(1)5.9 7.6
(2)链条节数x
(3)根据题意,得$y=2.5x-0.8(x-1)=1.7x+0.8$,即y与x之间的函数表达式为$y=1.7x+0.8$.
(4)因为自行车上的链条为环形,在展直的基础上还要缩短0.8 cm,
所以$1.7×60+0.8-0.8=102(\mathrm{cm})$.
答:这根链条安装到自行车上后,总长度为102 cm.
(2)链条节数x
(3)根据题意,得$y=2.5x-0.8(x-1)=1.7x+0.8$,即y与x之间的函数表达式为$y=1.7x+0.8$.
(4)因为自行车上的链条为环形,在展直的基础上还要缩短0.8 cm,
所以$1.7×60+0.8-0.8=102(\mathrm{cm})$.
答:这根链条安装到自行车上后,总长度为102 cm.
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路逐步推导：(1)先找链条长度的变化规律：每增加1节链条，因存在1处交叉重叠，实际新增长度为$2.5-0.8=1.7\mathrm{cm}$，已知2节总长度为4.2cm，3节、4节的总长度可依次加1.7cm得到。(2)自变量是主动变化、会引起其他量变化的量，总长度$y$随链条节数$x$的变化而变化，据此可判断自变量。(3)推导函数表达式时，先算$x$节链条无重叠的总长度，再减去重叠部分多算的长度：$x$节链条共有$(x-1)$处重叠，每处重叠多算了0.8cm，减去这部分即可化简得到关系式。(4)环形链条首尾相连时，会比直链条多1处重叠，因此要在直链条总长度的基础上再减0.8cm，代入$x=60$计算即可。
【解析】
(1) 每增加1节链条实际新增长度为$2.5-0.8=1.7\mathrm{cm}$
3节链条总长度：$4.2+1.7=5.9\mathrm{cm}$
4节链条总长度：$5.9+1.7=7.6\mathrm{cm}$
(2) 链条总长度$y$随链条节数$x$的变化而变化，因此自变量为链条节数$x$。
(3) 由题意得，$x$节链条无重叠时总长度为$2.5x\mathrm{cm}$，共有$(x-1)$处重叠，每处重叠需减去$0.8\mathrm{cm}$，因此：
$\begin{aligned}y&=2.5x-0.8(x-1)\\&=1.7x+0.8\end{aligned}$
(4) 环形链条首尾相连会多1处重叠，需再减去$0.8\mathrm{cm}$，将$x=60$代入关系式：
$\begin{aligned}\mathrm{总长度}&=1.7×60+0.8-0.8\\&=102\mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{5.9}$，$\boldsymbol{7.6}$
(2) $\boldsymbol{链条节数x}$
(3) $\boldsymbol{y=1.7x+0.8}$（$x$为正整数）
(4) $\boldsymbol{102\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一次函数实际应用、自变量的判断、列函数关系式
【点评】
本题结合生活实际考查函数相关知识，解题核心是准确找到链条节数和长度的变化规律，需特别注意环形链条比直链条多一处重叠，是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
解决这道题可按以下思路逐步推导：(1)先找链条长度的变化规律：每增加1节链条，因存在1处交叉重叠，实际新增长度为$2.5-0.8=1.7\mathrm{cm}$，已知2节总长度为4.2cm，3节、4节的总长度可依次加1.7cm得到。(2)自变量是主动变化、会引起其他量变化的量，总长度$y$随链条节数$x$的变化而变化，据此可判断自变量。(3)推导函数表达式时，先算$x$节链条无重叠的总长度，再减去重叠部分多算的长度：$x$节链条共有$(x-1)$处重叠，每处重叠多算了0.8cm，减去这部分即可化简得到关系式。(4)环形链条首尾相连时，会比直链条多1处重叠，因此要在直链条总长度的基础上再减0.8cm，代入$x=60$计算即可。
【解析】
(1) 每增加1节链条实际新增长度为$2.5-0.8=1.7\mathrm{cm}$
3节链条总长度：$4.2+1.7=5.9\mathrm{cm}$
4节链条总长度：$5.9+1.7=7.6\mathrm{cm}$
(2) 链条总长度$y$随链条节数$x$的变化而变化，因此自变量为链条节数$x$。
(3) 由题意得，$x$节链条无重叠时总长度为$2.5x\mathrm{cm}$，共有$(x-1)$处重叠，每处重叠需减去$0.8\mathrm{cm}$，因此：
$\begin{aligned}y&=2.5x-0.8(x-1)\\&=1.7x+0.8\end{aligned}$
(4) 环形链条首尾相连会多1处重叠，需再减去$0.8\mathrm{cm}$，将$x=60$代入关系式：
$\begin{aligned}\mathrm{总长度}&=1.7×60+0.8-0.8\\&=102\mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{5.9}$，$\boldsymbol{7.6}$
(2) $\boldsymbol{链条节数x}$
(3) $\boldsymbol{y=1.7x+0.8}$（$x$为正整数）
(4) $\boldsymbol{102\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一次函数实际应用、自变量的判断、列函数关系式
【点评】
本题结合生活实际考查函数相关知识，解题核心是准确找到链条节数和长度的变化规律，需特别注意环形链条比直链条多一处重叠，是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
