1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$BC=5$，$AC=12$，则$\cos A$的值为 （）

A.$\dfrac{5}{12}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{5}{13}$
D.$\dfrac{12}{13}$

1.D

2.一个等腰三角形的腰长是10，底边长是12，求这个三角形底角的正弦值、余弦值和正切值.

2. 解:设这个等腰三角形的顶角为$∠A$,底角分别为$∠B,∠C$,则有 $AB=AC=10,BC=12$. 过点 $A$ 作$AD⊥BC$于点 $D$.
$\because AB=AC,AD⊥BC,\therefore BD=CD=6$,
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=8$,
$\therefore \sin ∠ABC=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5},\cos ∠ABC=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{3}{5}$,
$\tan ∠ABC=\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{4}{3}.$

3.若α为锐角，且$\tanα=3$，则$\sinα$等于（）

A.$1$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

3.D

4. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,点D在边AB上,连接CD.若$BD=CD$,$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$,则$\tan B=$.

4.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

5. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数$y=-\frac{1}{x}(x＜0)$，$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，则$\sin∠ ABO$的值为。

5.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

6. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$E$,$EF⊥ AB$于点$F$,$F$恰好是$AB$的三等分点$(AF＞BF)$.
(1)求证:$AC=AF$;
(2)求$\tan∠ CAE$的值.

6. 解:(1)略.
(2)$\because F$ 是$AB$ 的一个三等分点$(AF＞BF)$,
$\therefore$ 设 $BF=x,AF=2x,\therefore AC=2x,AB=3x$.
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,由勾股定理得 $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3x)^2-(2x)^2}=\sqrt{5}x$.
$\because \tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2x}{\sqrt{5}x}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△EFB$ 中,$EF=BF· \tan B=\dfrac{2\sqrt{5}x}{5}$,
$\therefore CE=EF=\dfrac{2\sqrt{5}x}{5},\therefore \tan ∠CAE=\dfrac{CE}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.

7. 已知$α,β$为互余的角($α,β$均不为$0$),$\cosα=\dfrac{4}{5}$,则$\sinβ$的值为$\quad(\quad)$

A.$\dfrac{4}{5}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$

7.A

8. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$,则下列式子一定成立的是（）

A.$\sin A=\cos B$
B.$\sin A · \tan A=\cos A$
C.$\sin A · \cos B=1$
D.$\sin A=\sin(90° -A)$

8.A