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5 解下列方程：
（1）一题多解 $x^2 -6x +9=(5-2x)^2$；
（2）$2x^2 -3x -6=0$；
（3）$(x-3)(x-4)=5x$；
（4）一题多解 $2(5x-1)^2=3(1-5x)$。
（1）一题多解 $x^2 -6x +9=(5-2x)^2$；
（2）$2x^2 -3x -6=0$；
（3）$(x-3)(x-4)=5x$；
（4）一题多解 $2(5x-1)^2=3(1-5x)$。
答案
(1) 解法一:将原方程整理,得$(x-3)^2-(5-2x)^2=0$,
$\therefore (x-3+5-2x)(x-3-5+2x)=0. \therefore x-3+5-2x=0$或$x-3-5+2x=0. \therefore x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$
解法二:将原方程整理,得$(x-3)^2=(5-2x)^2. \therefore x-3=\pm(5-2x). \therefore x-3=5-2x$或$x-3=-(5-2x). \therefore x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$
(2) $\because a=2,b=-3,c=-6,\therefore \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-6)=57＞0. \therefore x=\frac{3\pm\sqrt{57}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{57}}{4}. \therefore x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$
(3) 将原方程整理,得$x^2-7x+12=5x$,即$x^2-12x=-12,\therefore (x-6)^2=24. \therefore x-6=\pm2\sqrt{6}. \therefore x_1=6+2\sqrt{6},x_2=6-2\sqrt{6}$
(4) 解法一:将原方程整理,得$2(5x-1)^2+3(5x-1)=0$.
$\therefore (5x-1)[2(5x-1)+3]=0. \therefore 5x-1=0$或$2(5x-1)+3=0. \therefore x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$
解法二:将原方程整理,得$50x^2-5x-1=0$.用十字相乘法因式分解,得$(10x+1)(5x-1)=0. \therefore 5x-1=0$或$10x+1=0. \therefore x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$
$\therefore (x-3+5-2x)(x-3-5+2x)=0. \therefore x-3+5-2x=0$或$x-3-5+2x=0. \therefore x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$
解法二:将原方程整理,得$(x-3)^2=(5-2x)^2. \therefore x-3=\pm(5-2x). \therefore x-3=5-2x$或$x-3=-(5-2x). \therefore x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$
(2) $\because a=2,b=-3,c=-6,\therefore \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-6)=57＞0. \therefore x=\frac{3\pm\sqrt{57}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{57}}{4}. \therefore x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$
(3) 将原方程整理,得$x^2-7x+12=5x$,即$x^2-12x=-12,\therefore (x-6)^2=24. \therefore x-6=\pm2\sqrt{6}. \therefore x_1=6+2\sqrt{6},x_2=6-2\sqrt{6}$
(4) 解法一:将原方程整理,得$2(5x-1)^2+3(5x-1)=0$.
$\therefore (5x-1)[2(5x-1)+3]=0. \therefore 5x-1=0$或$2(5x-1)+3=0. \therefore x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$
解法二:将原方程整理,得$50x^2-5x-1=0$.用十字相乘法因式分解,得$(10x+1)(5x-1)=0. \therefore 5x-1=0$或$10x+1=0. \therefore x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$
解析
【分析】
解一元二次方程时，可先观察方程结构选择最优解法：
1. 方程（1）左右两边都是完全平方式，既可以移项后用平方差公式因式分解，也可以直接开平方降次求解；
2. 方程（2）是一元二次方程的一般形式，且不易因式分解，优先用公式法，先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算；
3. 方程（3）左边是乘积形式，需先展开整理为一般式，观察系数特征适合用配方法求解；
4. 方程（4）左右两项有公因式$(5x-1)$，可先移项提取公因式因式分解，也可展开整理后用十字相乘法因式分解求解，注意不要随意两边除以公因式避免漏根。
【解析】
（1）解法一：将原方程整理，得$(x-3)^2-(5-2x)^2=0$，
由平方差公式因式分解得$(x-3+5-2x)(x-3-5+2x)=0$，
$\therefore x-3+5-2x=0$或$x-3-5+2x=0$，
解得$x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$。
解法二：将原方程整理，得$(x-3)^2=(5-2x)^2$，
开平方得$x-3=\pm(5-2x)$，
$\therefore x-3=5-2x$或$x-3=-(5-2x)$，
解得$x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$。
（2）对于方程$2x^2 -3x -6=0$，可知$a=2,b=-3,c=-6$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-6)=57＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{3\pm\sqrt{57}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{57}}{4}$，
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$。
（3）将原方程展开整理，得$x^2-7x+12=5x$，
移项得$x^2-12x=-12$，
配方得$(x-6)^2=24$，
开平方得$x-6=\pm2\sqrt{6}$，
解得$x_1=6+2\sqrt{6},x_2=6-2\sqrt{6}$。
（4）解法一：将原方程整理，得$2(5x-1)^2+3(5x-1)=0$，
提取公因式$(5x-1)$得$(5x-1)[2(5x-1)+3]=0$，
$\therefore 5x-1=0$或$2(5x-1)+3=0$，
解得$x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$。
解法二：将原方程展开整理，得$50x^2-5x-1=0$，
用十字相乘法因式分解，得$(10x+1)(5x-1)=0$，
$\therefore 5x-1=0$或$10x+1=0$，
解得$x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$。
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$；
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$；
(3) $x_1=6+2\sqrt{6},x_2=6-2\sqrt{6}$；
(4) $x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$
【知识点】
一元二次方程解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题围绕一元二次方程的多种解法设置，要求学生能够根据方程的结构特征灵活选择最优解法，简化计算过程，解题时需注意移项的符号问题，开平方时不要漏解，也不要随意约去含未知数的公因式避免漏根。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程时，可先观察方程结构选择最优解法：
1. 方程（1）左右两边都是完全平方式，既可以移项后用平方差公式因式分解，也可以直接开平方降次求解；
2. 方程（2）是一元二次方程的一般形式，且不易因式分解，优先用公式法，先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算；
3. 方程（3）左边是乘积形式，需先展开整理为一般式，观察系数特征适合用配方法求解；
4. 方程（4）左右两项有公因式$(5x-1)$，可先移项提取公因式因式分解，也可展开整理后用十字相乘法因式分解求解，注意不要随意两边除以公因式避免漏根。
【解析】
（1）解法一：将原方程整理，得$(x-3)^2-(5-2x)^2=0$，
由平方差公式因式分解得$(x-3+5-2x)(x-3-5+2x)=0$，
$\therefore x-3+5-2x=0$或$x-3-5+2x=0$，
解得$x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$。
解法二：将原方程整理，得$(x-3)^2=(5-2x)^2$，
开平方得$x-3=\pm(5-2x)$，
$\therefore x-3=5-2x$或$x-3=-(5-2x)$，
解得$x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$。
（2）对于方程$2x^2 -3x -6=0$，可知$a=2,b=-3,c=-6$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-6)=57＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{3\pm\sqrt{57}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{57}}{4}$，
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$。
（3）将原方程展开整理，得$x^2-7x+12=5x$，
移项得$x^2-12x=-12$，
配方得$(x-6)^2=24$，
开平方得$x-6=\pm2\sqrt{6}$，
解得$x_1=6+2\sqrt{6},x_2=6-2\sqrt{6}$。
（4）解法一：将原方程整理，得$2(5x-1)^2+3(5x-1)=0$，
提取公因式$(5x-1)$得$(5x-1)[2(5x-1)+3]=0$，
$\therefore 5x-1=0$或$2(5x-1)+3=0$，
解得$x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$。
解法二：将原方程展开整理，得$50x^2-5x-1=0$，
用十字相乘法因式分解，得$(10x+1)(5x-1)=0$，
$\therefore 5x-1=0$或$10x+1=0$，
解得$x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$。
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=\frac{8}{3}$；
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$；
(3) $x_1=6+2\sqrt{6},x_2=6-2\sqrt{6}$；
(4) $x_1=\frac{1}{5},x_2=-\frac{1}{10}$
【知识点】
一元二次方程解法，因式分解法，公式法
【点评】
本题围绕一元二次方程的多种解法设置，要求学生能够根据方程的结构特征灵活选择最优解法，简化计算过程，解题时需注意移项的符号问题，开平方时不要漏解，也不要随意约去含未知数的公因式避免漏根。
【难度系数】
0.7
6 新考向 阅读理解题
解方程$(x^2)^2 -13x^2 +36=0.$
把$x^2$看作一个整体,然后设$y=x^2(y≥0),$
则原方程可化为$y^2 -13y +36=0.$
解得$y_1=4,y_2=9.$
当$y=4$时,$x^2=4,\therefore x=\pm2.$
当$y=9$时,$x^2=9,\therefore x=\pm3.$
$\therefore$原方程的解为$x_1=2,x_2=-2,x_3=3,x_4=-3.$
这种方法称为“换元法”.换元法是数学学习中最常用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据上述方法,解决下列问题,并写出解答过程.
(1) 解方程:$81x^2=16;$
(2) 已知实数$x,y$满足$(x^2 + y^2 +3)(x^2 + y^2 -3)=27$,求$x^2 + y^2$的值;
(3) 若四个连续的正整数的积为24,求这四个连续的正整数.
解方程$(x^2)^2 -13x^2 +36=0.$
把$x^2$看作一个整体,然后设$y=x^2(y≥0),$
则原方程可化为$y^2 -13y +36=0.$
解得$y_1=4,y_2=9.$
当$y=4$时,$x^2=4,\therefore x=\pm2.$
当$y=9$时,$x^2=9,\therefore x=\pm3.$
$\therefore$原方程的解为$x_1=2,x_2=-2,x_3=3,x_4=-3.$
这种方法称为“换元法”.换元法是数学学习中最常用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据上述方法,解决下列问题,并写出解答过程.
(1) 解方程:$81x^2=16;$
(2) 已知实数$x,y$满足$(x^2 + y^2 +3)(x^2 + y^2 -3)=27$,求$x^2 + y^2$的值;
(3) 若四个连续的正整数的积为24,求这四个连续的正整数.
答案
(1) $\because 81x^2=16,\therefore$化二次项系数为1,得$x^2=\frac{16}{81}$.直接开平方,得$x_1=\frac{4}{9},x_2=-\frac{4}{9}$
(2) 设$t=x^2+y^2\ (t≥0)$.
$\because (x^2+y^2+3)(x^2+y^2-3)=27,\therefore (t+3)(t-3)=27. \therefore t^2-9=27. \therefore t^2=36. \therefore t=6$或$t=-6$(舍去). $\therefore x^2+y^2=6$
(3) 设最小的正整数为$x$,则其他三个正整数分别为$x+1$,$x+2$,$x+3$.由题意,得$x(x+1)(x+2)(x+3)=24,\therefore [x(x+3)][(x+1)(x+2)]=24. \therefore (x^2+3x)(x^2+3x+2)=24$.令$m=x^2+3x\ (m＞0)$,则$m(m+2)=24,\therefore m^2+2m-24=0. \therefore (m+6)(m-4)=0$,解得$m=4$或$m=-6$(舍去). $\therefore x^2+3x=4. \therefore x^2+3x-4=0$,解得$x_1=1,x_2=-4$(舍去). $\therefore$这四个连续的正整数为1,2,3,4
(2) 设$t=x^2+y^2\ (t≥0)$.
$\because (x^2+y^2+3)(x^2+y^2-3)=27,\therefore (t+3)(t-3)=27. \therefore t^2-9=27. \therefore t^2=36. \therefore t=6$或$t=-6$(舍去). $\therefore x^2+y^2=6$
(3) 设最小的正整数为$x$,则其他三个正整数分别为$x+1$,$x+2$,$x+3$.由题意,得$x(x+1)(x+2)(x+3)=24,\therefore [x(x+3)][(x+1)(x+2)]=24. \therefore (x^2+3x)(x^2+3x+2)=24$.令$m=x^2+3x\ (m＞0)$,则$m(m+2)=24,\therefore m^2+2m-24=0. \therefore (m+6)(m-4)=0$,解得$m=4$或$m=-6$(舍去). $\therefore x^2+3x=4. \therefore x^2+3x-4=0$,解得$x_1=1,x_2=-4$(舍去). $\therefore$这四个连续的正整数为1,2,3,4
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程解法及换元法思想设置三个小问，解题思路如下：
(1) 第一问是缺一次项的一元二次方程，先将$x^2$的系数化为1，再用直接开平方法求解即可，注意开平方得到两个互为相反数的根；
(2) 第二问观察方程结构，发现$x^2+y^2$作为整体重复出现，且平方和具有非负性，因此用换元法设$t=x^2+y^2(t≥0)$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程求解，最后根据$t$的非负性舍去负根；
(3) 第三问先设最小的正整数为$x$，依次表示出四个连续正整数，列乘积等式后将首尾两项、中间两项分别相乘，得到含有相同整体$x^2+3x$的式子，再用换元法设$m=x^2+3x$，转化为关于$m$的一元二次方程求解，最后根据正整数的要求舍去不符合的根，得到结果。
【解析】
(1) 解：$\because 81x^2=16$，
化二次项系数为1，得$x^2=\frac{16}{81}$，
直接开平方，得$x_1=\frac{4}{9},x_2=-\frac{4}{9}$。
(2) 解：设$t=x^2+y^2\ (t≥0)$，
$\because (x^2+y^2+3)(x^2+y^2-3)=27$，
$\therefore (t+3)(t-3)=27$，
展开得$t^2-9=27$，
移项得$t^2=36$，
解得$t=6$或$t=-6$，
$\because t≥0$，$\therefore t=-6$舍去，
$\therefore x^2+y^2=6$。
(3) 解：设最小的正整数为$x$，则其他三个正整数分别为$x+1,x+2,x+3$，
由题意得$x(x+1)(x+2)(x+3)=24$，
分组得$[x(x+3)][(x+1)(x+2)]=24$，
整理得$(x^2+3x)(x^2+3x+2)=24$，
令$m=x^2+3x\ (m＞0)$，则$m(m+2)=24$，
整理得$m^2+2m-24=0$，
因式分解得$(m+6)(m-4)=0$，
解得$m=4$或$m=-6$，
$\because m＞0$，$\therefore m=-6$舍去，
$\therefore x^2+3x=4$，即$x^2+3x-4=0$，
因式分解得$(x+4)(x-1)=0$，
解得$x_1=1,x_2=-4$，
$\because x$是正整数，$\therefore x=-4$舍去，
$\therefore$这四个连续的正整数为1,2,3,4。
【答案】
(1) $x_1=\frac{4}{9},x_2=-\frac{4}{9}$
(2) $x^2+y^2=6$
(3) 四个连续正整数为1,2,3,4
【知识点】
直接开平方法；换元法；一元二次方程应用
【点评】
本题以阅读材料形式引入换元法，既考查一元二次方程的基础解法，也考查整体思想的应用，解题时要注意结合题目隐含的取值范围（如平方和非负、正整数等）舍去不符合要求的根，兼顾计算简便性和解的合理性。
【难度系数】
0.7
本题围绕一元二次方程解法及换元法思想设置三个小问，解题思路如下：
(1) 第一问是缺一次项的一元二次方程，先将$x^2$的系数化为1，再用直接开平方法求解即可，注意开平方得到两个互为相反数的根；
(2) 第二问观察方程结构，发现$x^2+y^2$作为整体重复出现，且平方和具有非负性，因此用换元法设$t=x^2+y^2(t≥0)$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程求解，最后根据$t$的非负性舍去负根；
(3) 第三问先设最小的正整数为$x$，依次表示出四个连续正整数，列乘积等式后将首尾两项、中间两项分别相乘，得到含有相同整体$x^2+3x$的式子，再用换元法设$m=x^2+3x$，转化为关于$m$的一元二次方程求解，最后根据正整数的要求舍去不符合的根，得到结果。
【解析】
(1) 解：$\because 81x^2=16$，
化二次项系数为1，得$x^2=\frac{16}{81}$，
直接开平方，得$x_1=\frac{4}{9},x_2=-\frac{4}{9}$。
(2) 解：设$t=x^2+y^2\ (t≥0)$，
$\because (x^2+y^2+3)(x^2+y^2-3)=27$，
$\therefore (t+3)(t-3)=27$，
展开得$t^2-9=27$，
移项得$t^2=36$，
解得$t=6$或$t=-6$，
$\because t≥0$，$\therefore t=-6$舍去，
$\therefore x^2+y^2=6$。
(3) 解：设最小的正整数为$x$，则其他三个正整数分别为$x+1,x+2,x+3$，
由题意得$x(x+1)(x+2)(x+3)=24$，
分组得$[x(x+3)][(x+1)(x+2)]=24$，
整理得$(x^2+3x)(x^2+3x+2)=24$，
令$m=x^2+3x\ (m＞0)$，则$m(m+2)=24$，
整理得$m^2+2m-24=0$，
因式分解得$(m+6)(m-4)=0$，
解得$m=4$或$m=-6$，
$\because m＞0$，$\therefore m=-6$舍去，
$\therefore x^2+3x=4$，即$x^2+3x-4=0$，
因式分解得$(x+4)(x-1)=0$，
解得$x_1=1,x_2=-4$，
$\because x$是正整数，$\therefore x=-4$舍去，
$\therefore$这四个连续的正整数为1,2,3,4。
【答案】
(1) $x_1=\frac{4}{9},x_2=-\frac{4}{9}$
(2) $x^2+y^2=6$
(3) 四个连续正整数为1,2,3,4
【知识点】
直接开平方法；换元法；一元二次方程应用
【点评】
本题以阅读材料形式引入换元法，既考查一元二次方程的基础解法，也考查整体思想的应用，解题时要注意结合题目隐含的取值范围（如平方和非负、正整数等）舍去不符合要求的根，兼顾计算简便性和解的合理性。
【难度系数】
0.7
