⑤ 为了测量如图墙体是否与地面垂直，即 $ MO $ 是否垂直 $ PN $ 于点 $ O $，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个测量小组的设计方案如下表.
| 工具 | μlticolumn{3}{c}{若干条无弹性的绳子} |
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| 小组 | 第一小组 | 第二小组 | 第三小组 |
| 测量方案 | 模仿古埃及人结绳的方法，在一条绳子上打13个结，得到12条线段，且用叠合法使得这12条线段都相等，设每一条线段长为$ a $。如下图放置这总长是$ 12a $的绳子，使在$ OM $上的绳子$ OA=4a $，在$ ON $上的绳子$ OB=3a $；若$ AB=5a $，则$ AO ⊥ OB $，即$ MO ⊥ PN $于点 $ O $，否则不垂直。 | 如下图，在射线 $ OM $，$ ON $ 上分别取点 $ A, B $，放置绳子 $ AB $，对折 $ AB $ 得到相等的两段 $ AC $，$ BC $，放置绳子 $ OC $，用叠合法比较 $ OC $与$ BC $的长度。若$ OC=BC $，则墙体与地面垂直，即$ MO ⊥ PN $于点 $ O $，否则不垂直。 | |
| 测量示意图 | | | |
（1）你觉得第一、二小组的方案可行吗？如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请分别说明理由.
（2）请你代表第三小组，写出一个应用原理不同于上述第一、二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性.

（1）第一、二小组的方案均可行.
第一小组的方案：$(4a)^2 + (3a)^2 = (5a)^2$，则$OA^2 + OB^2 = AB^2$，$△ AOB$为直角三角形.
$∠ AO ⊥ BO$，即$∠ MO ⊥ PN$.
第二小组的方案：$AC = BC = OC$，则有$∠ COB = ∠ CBO$，$∠ CAO = ∠ COA$.
又$∠ CAO + ∠ COA + ∠ COB + ∠ CBO = 180°$，
则$∠ CAO + ∠ CBO = ∠ COA + ∠ COB = 90°$，
$∠ AO ⊥ BO$，即$∠ MO ⊥ PN$.
（2）有理即可.