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1.下列三角形中,不是等腰三角形的是 （
A
）答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个三角形不是等腰三角形，需依据等腰三角形的判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，或有两条边相等的三角形是等腰三角形。解题时先利用三角形内角和为180°，分别计算各选项中三角形的未知角，再逐一验证是否存在相等的角或相等的边，不存在的即为正确选项。
【解析】
根据等腰三角形判定规则：有两个角相等或两条边相等的三角形为等腰三角形，结合三角形内角和为180°分析各选项：
选项A：第三个角的度数为$180° - 50° - 35° = 95°$，该三角形三个角分别为$50°、35°、95°$，无相等的角，也无相等的边，不是等腰三角形；
选项B：第三个角的度数为$180° - 90° - 45° = 45°$，存在两个$45°$的角，是等腰三角形；
选项C：第三个角的度数为$180° - 100° - 40° = 40°$，存在两个$40°$的角，是等腰三角形；
选项D：三角形有两条边长均为5，存在相等的边，是等腰三角形。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对等腰三角形判定方法的运用，解题时结合内角和定理计算未知角后逐一排查即可，解题思路清晰，不易出错。
【难度系数】
0.8
要判断哪个三角形不是等腰三角形，需依据等腰三角形的判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，或有两条边相等的三角形是等腰三角形。解题时先利用三角形内角和为180°，分别计算各选项中三角形的未知角，再逐一验证是否存在相等的角或相等的边，不存在的即为正确选项。
【解析】
根据等腰三角形判定规则：有两个角相等或两条边相等的三角形为等腰三角形，结合三角形内角和为180°分析各选项：
选项A：第三个角的度数为$180° - 50° - 35° = 95°$，该三角形三个角分别为$50°、35°、95°$，无相等的角，也无相等的边，不是等腰三角形；
选项B：第三个角的度数为$180° - 90° - 45° = 45°$，存在两个$45°$的角，是等腰三角形；
选项C：第三个角的度数为$180° - 100° - 40° = 40°$，存在两个$40°$的角，是等腰三角形；
选项D：三角形有两条边长均为5，存在相等的边，是等腰三角形。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对等腰三角形判定方法的运用，解题时结合内角和定理计算未知角后逐一排查即可，解题思路清晰，不易出错。
【难度系数】
0.8
2.(2025·秦皇岛期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=36°,∠ C=72°$,折叠该纸片,使点$A,B$重合,折痕交$AC$边于点$D$,连接$BD$,则图中等腰三角形的个数有
3
个.答案
2.3
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先利用三角形内角和计算△ABC的内角，判断△ABC是否为等腰三角形；第二步根据折叠的性质，得到AD=BD，判断△ABD是等腰三角形，同时推出∠ABD的度数；第三步计算△BCD的内角度数，再依据等角对等边判断△BCD是否为等腰三角形，最后统计等腰三角形的总数。
【解析】
解：①在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，
由三角形内角和得：∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；
②由折叠的性质可知，折痕是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，即△ABD是等腰三角形，
∴∠ABD=∠A=36°；
③∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，即△BDC是等腰三角形。
综上，等腰三角形有△ABC、△ABD、△BDC，共3个。
【答案】
3
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定；折叠的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查了折叠的性质和等腰三角形的判定方法，解题的核心是通过角度推导得到等角，再利用“等角对等边”判断等腰三角形，是等腰三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步先利用三角形内角和计算△ABC的内角，判断△ABC是否为等腰三角形；第二步根据折叠的性质，得到AD=BD，判断△ABD是等腰三角形，同时推出∠ABD的度数；第三步计算△BCD的内角度数，再依据等角对等边判断△BCD是否为等腰三角形，最后统计等腰三角形的总数。
【解析】
解：①在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，
由三角形内角和得：∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；
②由折叠的性质可知，折痕是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，即△ABD是等腰三角形，
∴∠ABD=∠A=36°；
③∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，即△BDC是等腰三角形。
综上，等腰三角形有△ABC、△ABD、△BDC，共3个。
【答案】
3
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定；折叠的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查了折叠的性质和等腰三角形的判定方法，解题的核心是通过角度推导得到等角，再利用“等角对等边”判断等腰三角形，是等腰三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
3. 跨学科 地理(2025·开封期末)上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处。从A，B望灯塔C，测得$∠ NAC=42°$，$∠ NBC=84°$。则从海岛B到灯塔C的距离是
30
海里。答案
3.30
解析
【分析】
解题时可分三步思考：1. 先根据船的航行速度和时间，计算出海岛A到海岛B的距离；2. 观察图形可知∠NBC是△ABC的外角，利用三角形外角的性质，可求出∠C的度数；3. 对比∠C和∠NAC的度数，发现两角相等，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，即可得到BC和AB的长度关系，进而求出B到C的距离。
【解析】
首先计算AB的长度：
船从A到B的航行时间为$10时 - 8时 = 2小时$，
由路程=速度×时间，得$AB = 15 × 2 = 30$海里。
再求∠C的度数：
∵∠NBC是△ABC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ NBC = ∠ NAC + ∠ C$，
代入角度数得$84° = 42° + ∠ C$，解得$∠ C = 42°$。
最后判定等腰三角形求BC：
∵$∠ C = ∠ NAC = 42°$，根据等角对等边，
∴$BC = AB = 30$海里。
【答案】
30
【知识点】
等角对等边；三角形外角性质；路程计算
【点评】
本题结合实际航行场景，考查了等腰三角形的判定和三角形外角的性质，解题的关键是通过角度推导得到等角，进而转化为线段相等关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步思考：1. 先根据船的航行速度和时间，计算出海岛A到海岛B的距离；2. 观察图形可知∠NBC是△ABC的外角，利用三角形外角的性质，可求出∠C的度数；3. 对比∠C和∠NAC的度数，发现两角相等，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，即可得到BC和AB的长度关系，进而求出B到C的距离。
【解析】
首先计算AB的长度：
船从A到B的航行时间为$10时 - 8时 = 2小时$，
由路程=速度×时间，得$AB = 15 × 2 = 30$海里。
再求∠C的度数：
∵∠NBC是△ABC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ NBC = ∠ NAC + ∠ C$，
代入角度数得$84° = 42° + ∠ C$，解得$∠ C = 42°$。
最后判定等腰三角形求BC：
∵$∠ C = ∠ NAC = 42°$，根据等角对等边，
∴$BC = AB = 30$海里。
【答案】
30
【知识点】
等角对等边；三角形外角性质；路程计算
【点评】
本题结合实际航行场景，考查了等腰三角形的判定和三角形外角的性质，解题的关键是通过角度推导得到等角，进而转化为线段相等关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
4.(几何直观)如图,AC与BD相交于点E,AD=BC,AC=BD,求证:△EAB是等腰三角形.
答案
4.在△ABD 和△BAC 中,AD = BC, BD = AC, AB = BA,
∴△ABD ≌△BAC(SSS),
∴∠ABD=∠BAC,即∠ABE=∠BAE,
∴AE=BE,
∴△EAB是等腰三角形
∴△ABD ≌△BAC(SSS),
∴∠ABD=∠BAC,即∠ABE=∠BAE,
∴AE=BE,
∴△EAB是等腰三角形
解析
【分析】
要证明△EAB是等腰三角形，根据等腰三角形的判定规则，只需证明该三角形内有两个内角相等或者两条边相等即可。观察图形可知AB是△ABD和△BAC的公共边，结合已知AD=BC、AC=BD，可先通过SSS判定△ABD与△BAC全等，再利用全等三角形对应角相等的性质得到∠ABD=∠BAC，即可推导得出△EAB为等腰三角形。
【解析】
在$△ ABD$和$△ BAC$中，
$\begin{cases}AD = BC\\BD = AC\\AB = BA\end{cases}$
$\therefore△ ABD ≌ △ BAC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore∠ ABD=∠ BAC$，即$∠ ABE=∠ BAE$，
$\therefore AE=BE$，
$\therefore△ EAB$是等腰三角形。
【答案】
在△ABD 和△BAC 中,AD = BC, BD = AC, AB = BA,
∴△ABD ≌△BAC(SSS),
∴∠ABD=∠BAC,即∠ABE=∠BAE,
∴AE=BE,
∴△EAB是等腰三角形
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的关键是挖掘出图形中公共边的隐含条件，通过证明三角形全等得到对应角相等，再结合等腰三角形的判定完成推导，侧重考查学生的几何直观与基础逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明△EAB是等腰三角形，根据等腰三角形的判定规则，只需证明该三角形内有两个内角相等或者两条边相等即可。观察图形可知AB是△ABD和△BAC的公共边，结合已知AD=BC、AC=BD，可先通过SSS判定△ABD与△BAC全等，再利用全等三角形对应角相等的性质得到∠ABD=∠BAC，即可推导得出△EAB为等腰三角形。
【解析】
在$△ ABD$和$△ BAC$中，
$\begin{cases}AD = BC\\BD = AC\\AB = BA\end{cases}$
$\therefore△ ABD ≌ △ BAC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore∠ ABD=∠ BAC$，即$∠ ABE=∠ BAE$，
$\therefore AE=BE$，
$\therefore△ EAB$是等腰三角形。
【答案】
在△ABD 和△BAC 中,AD = BC, BD = AC, AB = BA,
∴△ABD ≌△BAC(SSS),
∴∠ABD=∠BAC,即∠ABE=∠BAE,
∴AE=BE,
∴△EAB是等腰三角形
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的关键是挖掘出图形中公共边的隐含条件，通过证明三角形全等得到对应角相等，再结合等腰三角形的判定完成推导，侧重考查学生的几何直观与基础逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
5.(教材 P80 例 2 变式)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点 E 在 CA 延长线上,$EP ⊥ BC$,垂足为 P,EP 交 AB 于点 F.求证:$△ AEF$是等腰三角形.
答案
5.$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C,\because EP⊥BC,\therefore ∠EPB=∠EPC=90^{\circ },\therefore ∠B+∠BFP=90^{\circ },∠C+∠E=90^{\circ },\therefore ∠BFP=∠E,\because ∠AFE=∠BFP,\therefore ∠E=∠AFE,\therefore AF=AE,\therefore △AEF$是等腰三角形
解析
【分析】
要证明△AEF是等腰三角形，根据等腰三角形的判定定理，只需证明该三角形中有两个内角相等即可。首先由等腰△ABC的性质可得底角∠B=∠C，再结合EP⊥BC的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余，可得∠BFP与∠E分别和∠B、∠C互余，根据等角的余角相等可推出∠BFP=∠E，最后结合对顶角相等的性质，等量代换得到∠E=∠AFE，即可判定△AEF为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠EPB=∠EPC=90°，
∴∠B+∠BFP=90°，∠C+∠E=90°，
∴∠BFP=∠E，
∵∠AFE=∠BFP，
∴∠E=∠AFE，
∴AF=AE，
∴△AEF是等腰三角形。
【答案】
△AEF是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题型，解题的关键是灵活运用等角的余角相等、对顶角相等完成角的等量代换，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解决这类几何证明题的基础。
【难度系数】
0.8
要证明△AEF是等腰三角形，根据等腰三角形的判定定理，只需证明该三角形中有两个内角相等即可。首先由等腰△ABC的性质可得底角∠B=∠C，再结合EP⊥BC的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余，可得∠BFP与∠E分别和∠B、∠C互余，根据等角的余角相等可推出∠BFP=∠E，最后结合对顶角相等的性质，等量代换得到∠E=∠AFE，即可判定△AEF为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠EPB=∠EPC=90°，
∴∠B+∠BFP=90°，∠C+∠E=90°，
∴∠BFP=∠E，
∵∠AFE=∠BFP，
∴∠E=∠AFE，
∴AF=AE，
∴△AEF是等腰三角形。
【答案】
△AEF是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题型，解题的关键是灵活运用等角的余角相等、对顶角相等完成角的等量代换，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解决这类几何证明题的基础。
【难度系数】
0.8
6.(创新思维)已知:如图,线段a和∠α,求作:等腰△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠α.(用尺规作图,不写作法,但要保留作图痕迹)
答案
6.△ABC如图所示
解析
【分析】
要作出满足条件的等腰△ABC，首先明确已知条件：AB=AC=a，两边的夹角∠A=∠α，因此可按照“两边及夹角作三角形”的思路操作：①先作一个角等于已知角∠α，得到顶角∠A；②在∠A的两条边上分别截取长度等于a的线段，得到点B、C；③连接BC即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作∠MAN=∠α；
2. 在射线AM上截取AB=a，在射线AN上截取AC=a；
3. 连接BC，此时△ABC即为所求的等腰三角形，需保留对应作图痕迹。
【答案】
△ABC如图所示
【知识点】
作一个角等于已知角；作一条线段等于已知线段；等腰三角形定义
【点评】
本题属于基础尺规作图题，考查对基本作图方法的掌握与应用，解题的关键是明确已知的边、角条件，结合基本作图步骤逐步完成作图，注意作图后要保留对应的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要作出满足条件的等腰△ABC，首先明确已知条件：AB=AC=a，两边的夹角∠A=∠α，因此可按照“两边及夹角作三角形”的思路操作：①先作一个角等于已知角∠α，得到顶角∠A；②在∠A的两条边上分别截取长度等于a的线段，得到点B、C；③连接BC即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作∠MAN=∠α；
2. 在射线AM上截取AB=a，在射线AN上截取AC=a；
3. 连接BC，此时△ABC即为所求的等腰三角形，需保留对应作图痕迹。
【答案】
△ABC如图所示
【知识点】
作一个角等于已知角；作一条线段等于已知线段；等腰三角形定义
【点评】
本题属于基础尺规作图题，考查对基本作图方法的掌握与应用，解题的关键是明确已知的边、角条件，结合基本作图步骤逐步完成作图，注意作图后要保留对应的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
7.(教材P81例3变式)已知:如图,线段$a$,$∠α$,求作:$△ ABC$,使$∠ A=∠α$,$AB=AC$,且$BC$边上的高$AD=a$.
答案
7.作法:①作∠EAF=∠α;②作∠EAF的平分线AG,在AG上截取AD=a;③过点D作AG的垂线,交∠EAF的两边于点B,C,△ABC即为所求
解析
【分析】
要作出满足条件的等腰△ABC，可结合等腰三角形“三线合一”的性质梳理作图思路：①首先确定等腰三角形的顶角：先作一个角等于已知角∠α，得到顶角∠A；②由于AB=AC，BC边上的高AD同时是∠BAC的角平分线，因此作∠A的角平分线，在角平分线上截取AD=a，就确定了高AD的位置与长度；③最后根据高的定义，BC垂直于AD，因此过点D作AD的垂线，与∠A的两边相交即可得到点B、C，完成作图。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作∠EAF=∠α，确定等腰三角形的顶角；
2. 作∠EAF的平分线AG，在AG上截取线段AD，使AD=a，确定BC边上高的位置；
3. 过点D作AG的垂线，分别交AE于点B、交AF于点C，连接AB、AC，所得△ABC即为所求。
【答案】
作法:①作∠EAF=∠α;②作∠EAF的平分线AG,在AG上截取AD=a;③过点D作AG的垂线,交∠EAF的两边于点B,C,△ABC即为所求
【知识点】
作一个角等于已知角；等腰三角形三线合一；尺规作垂线
【点评】
本题属于基础尺规作图题，解题的核心是利用等腰三角形三线合一的性质，将多个作图要求拆解为基本尺规作图的组合，熟悉基本尺规作图的操作和等腰三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要作出满足条件的等腰△ABC，可结合等腰三角形“三线合一”的性质梳理作图思路：①首先确定等腰三角形的顶角：先作一个角等于已知角∠α，得到顶角∠A；②由于AB=AC，BC边上的高AD同时是∠BAC的角平分线，因此作∠A的角平分线，在角平分线上截取AD=a，就确定了高AD的位置与长度；③最后根据高的定义，BC垂直于AD，因此过点D作AD的垂线，与∠A的两边相交即可得到点B、C，完成作图。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作∠EAF=∠α，确定等腰三角形的顶角；
2. 作∠EAF的平分线AG，在AG上截取线段AD，使AD=a，确定BC边上高的位置；
3. 过点D作AG的垂线，分别交AE于点B、交AF于点C，连接AB、AC，所得△ABC即为所求。
【答案】
作法:①作∠EAF=∠α;②作∠EAF的平分线AG,在AG上截取AD=a;③过点D作AG的垂线,交∠EAF的两边于点B,C,△ABC即为所求
【知识点】
作一个角等于已知角；等腰三角形三线合一；尺规作垂线
【点评】
本题属于基础尺规作图题，解题的核心是利用等腰三角形三线合一的性质，将多个作图要求拆解为基本尺规作图的组合，熟悉基本尺规作图的操作和等腰三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
