8.(模型观念)(2025·开州期末)如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,DE//BC,若AB=12,AD=5,则DE等于。

8.7

【分析】
解题时先观察已知条件：BE是角平分线、DE//BC，这类“角平分线+平行线”的组合是推导等腰三角形的常见模型。首先利用角平分线定义得到一组等角，再利用平行线的内错角相等得到另一组等角，通过等量代换得到△BDE的两个底角相等，进而得到DE=BD，最后通过线段差计算BD的长度即可得到DE的长。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE=∠EBC，
∵DE//BC，
∴∠DEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBE=∠DEB，
∴△BDE为等腰三角形，DE=BD，
又
∵BD=AB-AD=12-5=7，
∴DE=7。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题考查基础几何模型的应用，“角平分线+平行线”推导等腰三角形是高频考点，掌握该模型可大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8

9.如图，在$△ ABC$中，给出下列三个条件：①$BE=CD$；②$OB=OC$；③$∠ EBO=∠ DCO$.从中选取两个条件，判定$△ ABC$是等腰三角形的是.

9.①③或②③

【分析】
要判定△ABC是等腰三角形，核心是证明∠ABC=∠ACB（或AB=AC），我们逐一分析三个条件的两两组合：①选①和③时，可先通过AAS证△EOB≌△DOC，得到OB=OC，再利用等腰三角形等边对等角得∠OBC=∠OCB，相加即可推出∠ABC=∠ACB；②选②和③时，直接由OB=OC得∠OBC=∠OCB，结合∠EBO=∠DCO即可推出∠ABC=∠ACB；③选①和②时，属于SSA条件，无法证明三角形全等，不能推出结论，因此符合要求的组合为①③或②③。
【解析】
我们分别验证三个条件的两两组合：
1. 选取条件①$BE=CD$、③$∠EBO=∠DCO$：
∵$∠EOB=∠DOC$（对顶角相等），$BE=CD$，$∠EBO=∠DCO$，
∴$△ EOB≌△ DOC$（AAS），
∴$OB=OC$，
∴$∠OBC=∠OCB$（等腰三角形等边对等角），
∴$∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB$，即$∠ABC=∠ACB$，
∴$AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形。
2. 选取条件②$OB=OC$、③$∠EBO=∠DCO$：
∵$OB=OC$，
∴$∠OBC=∠OCB$（等腰三角形等边对等角），
又
∵$∠EBO=∠DCO$，
∴$∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB$，即$∠ABC=∠ACB$，
∴$AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形。
3. 选取条件①$BE=CD$、②$OB=OC$：
已知$BE=CD$、$OB=OC$，加对顶角$∠EOB=∠DOC$属于SSA判定，无法证明$△ EOB≌△ DOC$，不能推出$∠ABC=∠ACB$，无法判定$△ ABC$是等腰三角形。
综上，符合要求的组合为①③或②③。
【答案】
①③或②③
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题解题关键是明确等腰三角形的判定依据，结合全等三角形的判定推导角的等量关系，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免错选组合。
【难度系数】
0.7

10.(易错题)如图,已知点P是射线MN上一动点,∠AMN=30°,当∠A为时,△AMP是等腰三角形.

10.30°或75°或120°

【分析】
已知△AMP是等腰三角形，但题目未明确哪两条边为腰，因此需要分三种情况讨论两腰相等的可能：①AM=AP；②AM=MP；③AP=MP。每种情况结合已知∠AMN=30°，利用等腰三角形两底角相等的性质，以及三角形内角和为180°，分别计算∠A的度数，最终筛选出符合三角形内角取值要求的结果即可。
【解析】
△AMP为等腰三角形，分三种情况讨论：
1. 当$AM=AP$时，$∠ APM = ∠ AMN = 30°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ A = 180° - 30° - 30° = 120°$；
2. 当$AM=MP$时，两个底角$∠ MAP$和$∠ APM$相等，
则$∠ A = \frac{180° - ∠ AMN}{2} = \frac{180° - 30°}{2} = 75°$；
3. 当$AP=MP$时，$∠ A = ∠ AMN = 30°$。
三种情况的角度均符合三角形内角要求。
【答案】
$30°$或$75°$或$120°$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质 2. 三角形内角和定理 3. 分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题核心是明确等腰三角形未指定腰和底边时，要分三种情况逐一讨论，避免漏解，计算得到的角度需验证是否符合三角形内角的取值范围。
【难度系数】
0.6

11.(发散思维)如图,下列4个三角形中,均有AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是。

11.①③④

【分析】
已知4个三角形均为AB=AC的等腰三角形，解题时先根据三角形内角和定理算出每个三角形的底角度数，再结合等腰三角形“等角对等边”的判定方法，逐一判断能否过一个顶点作直线，拆分出两个均有两个内角相等的小等腰三角形即可。
【解析】
分别对4个三角形分析如下：
1. 图①：∠A=36°，由AB=AC得∠B=∠C=(180°-36°)÷2=72°。过点B作直线交AC于D，令∠ABD=36°，则∠A=∠ABD，△ABD是等腰三角形；此时∠DBC=72°-36°=36°，∠BDC=180°-36°-72°=72°=∠C，△BDC也是等腰三角形，符合要求。
2. 图②：∠A=60°，AB=AC，因此△ABC是等边三角形，三个内角均为60°。过任意顶点作直线拆分，得到的两个三角形无法同时满足有两个内角相等，不能得到两个等腰三角形，不符合要求。
3. 图③：∠A=90°，由AB=AC得∠B=∠C=45°。过点A作∠BAC的角平分线交BC于D，则∠BAD=∠CAD=45°，可得∠B=∠BAD、∠C=∠CAD，△ABD和△ACD均为等腰直角三角形，符合要求。
4. 图④：∠A=108°，由AB=AC得∠B=∠C=(180°-108°)÷2=36°。过点A作直线交BC于D，令∠BAD=72°，则∠ADB=180°-36°-72°=72°=∠BAD，△ABD是等腰三角形；此时∠DAC=108°-72°=36°=∠C，△ADC也是等腰三角形，符合要求。
综上，能够被一条直线分成两个小等腰三角形的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质和判定的灵活运用，需要结合角度计算构造等角来得到等腰三角形，解题时要多角度尝试拆分角度，避免漏判。
【难度系数】
0.6

12.(2024·宝鸡期中)如图,在$△ ABC$中,点E在AB上,点D在BC上,$BD=BE$,连接AD与CE且相交于点F,有$∠ BAD=∠ BCE$.求证:$△ AFC$为等腰三角形.

12.在△ABD 和△CBE 中,
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠BCE,\\∠B=∠B,\\BD=BE,\end{array} $
∴△ABD≌△CBE(AAS),
∴AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵∠BAD=∠BCE,
∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE,即∠FAC=∠FCA,
∴AF=CF,
∴△AFC是等腰三角形

【分析】
要证明△AFC是等腰三角形，根据等腰三角形的判定定理，可先证明其两个内角∠FAC=∠FCA。已知∠BAD=∠BCE，因此只需证明∠BAC=∠BCA即可，要得到这组角相等，可先证明AB=BC。观察图形可知AB、BC分别在△ABD和△CBE中，题中已给出∠BAD=∠BCE、公共角∠B=∠B、BD=BE，可先通过AAS判定△ABD≌△CBE，得到AB=BC后结合角的和差关系推导∠FAC=∠FCA，即可完成证明。
【解析】
在△ABD 和△CBE 中,
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠BCE,\\∠B=∠B,\\BD=BE,\end{array} $
∴△ABD≌△CBE(AAS),
∴AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵∠BAD=∠BCE,
∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE，即∠FAC=∠FCA,
∴AF=CF,
∴△AFC是等腰三角形。
【答案】
△AFC为等腰三角形
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形判定的综合基础题，解题核心是准确找到全等的两个三角形，通过全等得到边相等进而推导角的关系，熟练掌握全等判定定理和等腰三角形判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

13.(一线三等角)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=40°,点D在线段BC上运动(点D与B,C两点不重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA=115°时,∠BAD=;点D从点B向点C运动时,∠BDA逐渐变(填“大”或“小”);
(2)当△ABD≌△DCE时,求∠BAD的度数;
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,当∠BDA=110°时,请判断△ADE的形状,并证明.

13.(1)25° 小 (2)$\because AB=AC,∠B=40^{\circ },\therefore ∠B=∠C=40^{\circ },∠BAC=100^{\circ },\because △ABD≌△DCE,\therefore AD=DE,\therefore ∠DAE=∠DEA,\because ∠ADE=40^{\circ },\therefore ∠DAE=∠DEA=70^{\circ },\therefore ∠BAD=∠BAC-∠DAE=100^{\circ }-70^{\circ }=30^{\circ }$ (3)当∠BDA=110°时,△ADE是等腰三角形,$\because AB=AC,\therefore ∠C=∠B=40^{\circ }$,又$\because ∠BDA=110^{\circ },\therefore ∠DAC=110^{\circ }-40^{\circ }=70^{\circ }$,在△ADE中,$∠ADE=40^{\circ },∠DAE=70^{\circ },\therefore ∠AED=180^{\circ }-40^{\circ }-70^{\circ }=70^{\circ },\therefore ∠AED=∠DAE,\therefore DA=DE,\therefore △ADE$是等腰三角形

【分析】
(1) 在△ABD中，已知∠B和∠BDA的度数，根据三角形内角和为180°即可直接计算∠BAD的度数；点D从B向C运动时，∠BDA与∠ADC互为邻补角，∠ADC随D右移逐渐增大，因此∠BDA逐渐减小。
(2) 首先根据等腰三角形AB=AC的性质，得到∠B=∠C=40°，计算出顶角∠BAC的度数；再利用全等三角形对应边相等的性质得到AD=DE，可知△ADE为等腰三角形，结合∠ADE=40°算出∠DAE的度数，最后用∠BAC减去∠DAE即可得到∠BAD的度数。
(3) 要判断△ADE的形状，先利用三角形外角的性质算出∠DAE的度数，再在△ADE中计算∠AED的度数，观察角的相等关系即可判断三角形形状。
【解析】
(1) 在△ABD中，∠B=40°，∠BDA=115°，根据三角形内角和为180°，得$∠ BAD=180°-∠ B-∠ BDA=180°-40°-115°=25°$；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小。
(2) $\because AB=AC,∠ B=40°$，$\therefore ∠ B=∠ C=40°$，$∠ BAC=180°-40°×2=100°$。
$\because △ ABD≌△ DCE$，$\therefore AD=DE$，$\therefore ∠ DAE=∠ DEA$。
$\because ∠ ADE=40°$，$\therefore ∠ DAE=(180°-40°)÷2=70°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ BAC-∠ DAE=100°-70°=30°$。
(3) 当$∠ BDA=110°$时，$△ ADE$是等腰三角形，证明如下：
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ C=∠ B=40°$。
$\because ∠ BDA$是$△ ADC$的外角，$\therefore ∠ BDA=∠ C+∠ DAC$，即$∠ DAC=∠ BDA-∠ C=110°-40°=70°$，即$∠ DAE=70°$。
在$△ ADE$中，$∠ ADE=40°,∠ DAE=70°$，
$\therefore ∠ AED=180°-40°-70°=70°$，
$\therefore ∠ AED=∠ DAE$，$\therefore DA=DE$，
$\therefore △ ADE$是等腰三角形。
【答案】
(1) $25°$，小；(2) $∠ BAD=30°$；(3) $△ ADE$是等腰三角形
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质
【点评】
本题结合动点情境，综合考察了三角形角度计算、全等三角形性质和等腰三角形的判定，需要熟练掌握角的和差关系及相关几何性质，是等腰三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7