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一、忽略三角形存在的条件而出错
1.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，
则该等腰三角形的周长为
1.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，
则该等腰三角形的周长为
20
.答案
1.20
解析
【分析】
首先，等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出两条边长分别为4和8，未明确说明哪条是腰、哪条是底，因此需要分两种情况讨论。其次，三角形的三边需要满足“任意两边之和大于第三边”的关系，因此每种情况都要先验证是否能构成三角形，排除不符合的情况后，再计算符合条件的三角形的周长。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为4，底边长为8，则三角形三边长为4、4、8。
∵ 4+4=8，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系，
∴ 该情况无法构成三角形，舍去。
② 若腰长为8，底边长为4，则三角形三边长为8、8、4。
∵ 4+8＞8，8+8＞4，满足三角形三边关系，
∴ 该情况成立，三角形周长为8+8+4=20。
【答案】
20
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；周长计算
【点评】
这是等腰三角形周长计算的典型易错题，解题时若忽略三角形存在的三边判定条件，容易错误得出16和20两个结果。做此类需要分类讨论的几何题时，一定要先验证结论是否符合几何图形的存在条件，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
首先，等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出两条边长分别为4和8，未明确说明哪条是腰、哪条是底，因此需要分两种情况讨论。其次，三角形的三边需要满足“任意两边之和大于第三边”的关系，因此每种情况都要先验证是否能构成三角形，排除不符合的情况后，再计算符合条件的三角形的周长。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为4，底边长为8，则三角形三边长为4、4、8。
∵ 4+4=8，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系，
∴ 该情况无法构成三角形，舍去。
② 若腰长为8，底边长为4，则三角形三边长为8、8、4。
∵ 4+8＞8，8+8＞4，满足三角形三边关系，
∴ 该情况成立，三角形周长为8+8+4=20。
【答案】
20
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；周长计算
【点评】
这是等腰三角形周长计算的典型易错题，解题时若忽略三角形存在的三边判定条件，容易错误得出16和20两个结果。做此类需要分类讨论的几何题时，一定要先验证结论是否符合几何图形的存在条件，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
2.有4条长度分别是4 cm，7 cm，8 cm和11 cm的线段，选择其中的3条线段作三角形，则可作
3
个不同的三角形。答案
2.3
解析
【分析】
要判断能构成多少个不同的三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。解题时首先枚举从4条线段中选3条的所有可能组合，再对每一组用三边关系验证（只需验证较短两边之和是否大于最长边即可，因为最长边与其余任意一边的和必然大于第三边），排除不符合的组合，统计符合条件的数量即可。
【解析】
从4条线段中任选3条，共有4种组合，逐一验证：
1. 选择4cm、7cm、8cm：较短两边和为4+7=11cm，11＞8，满足三边关系，可构成三角形；
2. 选择4cm、7cm、11cm：较短两边和为4+7=11cm，11=11，不满足三边关系，不可构成三角形；
3. 选择4cm、8cm、11cm：较短两边和为4+8=12cm，12＞11，满足三边关系，可构成三角形；
4. 选择7cm、8cm、11cm：较短两边和为7+8=15cm，15＞11，满足三边关系，可构成三角形。
综上，可构成3个不同的三角形。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题属于三角形三边关系的常规应用题，解题的关键是先不重不漏地列出所有选3条线段的组合，再严格按照三边关系验证，尤其要注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免错判。
【难度系数】
0.7
要判断能构成多少个不同的三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。解题时首先枚举从4条线段中选3条的所有可能组合，再对每一组用三边关系验证（只需验证较短两边之和是否大于最长边即可，因为最长边与其余任意一边的和必然大于第三边），排除不符合的组合，统计符合条件的数量即可。
【解析】
从4条线段中任选3条，共有4种组合，逐一验证：
1. 选择4cm、7cm、8cm：较短两边和为4+7=11cm，11＞8，满足三边关系，可构成三角形；
2. 选择4cm、7cm、11cm：较短两边和为4+7=11cm，11=11，不满足三边关系，不可构成三角形；
3. 选择4cm、8cm、11cm：较短两边和为4+8=12cm，12＞11，满足三边关系，可构成三角形；
4. 选择7cm、8cm、11cm：较短两边和为7+8=15cm，15＞11，满足三边关系，可构成三角形。
综上，可构成3个不同的三角形。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题属于三角形三边关系的常规应用题，解题的关键是先不重不漏地列出所有选3条线段的组合，再严格按照三边关系验证，尤其要注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免错判。
【难度系数】
0.7
3.有一根长为24 cm的铁丝围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么底边长是多少?
(2)能围成一边是6 cm的等腰三角形吗?请说明理由.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么底边长是多少?
(2)能围成一边是6 cm的等腰三角形吗?请说明理由.
答案
3.(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则x+2x+2x=24，解得x=4.8，
∴底边长为4.8 cm (2)当底边长为6 cm时，腰长为(24-6)÷2=9(cm)，因为9+9＞6，所以能围成三角形；当腰长为6 cm时，底边长为24-6×2=12(cm)，因为6+6=12，所以不能围成三角形，综上可知，能围成一边为6 cm的等腰三角形
∴底边长为4.8 cm (2)当底边长为6 cm时，腰长为(24-6)÷2=9(cm)，因为9+9＞6，所以能围成三角形；当腰长为6 cm时，底边长为24-6×2=12(cm)，因为6+6=12，所以不能围成三角形，综上可知，能围成一边为6 cm的等腰三角形
解析
【分析】
(1) 本题是等腰三角形周长的应用问题，可通过设未知数列方程求解：已知腰长是底边长的2倍，设底边长为x，即可用含x的式子表示腰长，再结合铁丝总长即三角形周长为24cm列方程，求解后验证结果符合三角形三边关系即可。
(2) 题中未明确6cm的边是底边还是腰，因此需要分两种情况讨论：①6cm为底边长；②6cm为腰长。分别计算两种情况下其余两边的长度，再根据“三角形任意两边之和大于第三边”判断能否构成三角形，最后汇总结论即可。
【解析】
(1) 设底边长为x cm，则腰长为2x cm。
根据三角形周长为24cm，列方程：
$x + 2x + 2x = 24$
解得$x=4.8$
此时三边长为4.8cm、9.6cm、9.6cm，满足三角形三边关系，结果成立。
(2) 分两种情况讨论：
① 当6cm为底边长时，腰长为$(24-6)÷2=9(\mathrm{cm})$，此时三边长为6cm、9cm、9cm，$9+9＞6$，满足三角形三边关系，可以围成三角形；
② 当6cm为腰长时，底边长为$24-6×2=12(\mathrm{cm})$，此时三边长为6cm、6cm、12cm，$6+6=12$，不满足三角形三边关系，不能围成三角形。
综上可得，可以围成一边为6cm的等腰三角形。
【答案】
(1) 底边长为4.8 cm；
(2) 能围成一边是6 cm的等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形性质、一元一次方程应用、三角形三边关系
【点评】
本题重点考查等腰三角形的周长计算和三角形三边关系的应用，解题时要注意运用分类讨论思想，不要漏了边长的两种可能情况，同时求出边长后必须验证是否符合三角形三边关系，避免得出错误结论。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是等腰三角形周长的应用问题，可通过设未知数列方程求解：已知腰长是底边长的2倍，设底边长为x，即可用含x的式子表示腰长，再结合铁丝总长即三角形周长为24cm列方程，求解后验证结果符合三角形三边关系即可。
(2) 题中未明确6cm的边是底边还是腰，因此需要分两种情况讨论：①6cm为底边长；②6cm为腰长。分别计算两种情况下其余两边的长度，再根据“三角形任意两边之和大于第三边”判断能否构成三角形，最后汇总结论即可。
【解析】
(1) 设底边长为x cm，则腰长为2x cm。
根据三角形周长为24cm，列方程：
$x + 2x + 2x = 24$
解得$x=4.8$
此时三边长为4.8cm、9.6cm、9.6cm，满足三角形三边关系，结果成立。
(2) 分两种情况讨论：
① 当6cm为底边长时，腰长为$(24-6)÷2=9(\mathrm{cm})$，此时三边长为6cm、9cm、9cm，$9+9＞6$，满足三角形三边关系，可以围成三角形；
② 当6cm为腰长时，底边长为$24-6×2=12(\mathrm{cm})$，此时三边长为6cm、6cm、12cm，$6+6=12$，不满足三角形三边关系，不能围成三角形。
综上可得，可以围成一边为6cm的等腰三角形。
【答案】
(1) 底边长为4.8 cm；
(2) 能围成一边是6 cm的等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形性质、一元一次方程应用、三角形三边关系
【点评】
本题重点考查等腰三角形的周长计算和三角形三边关系的应用，解题时要注意运用分类讨论思想，不要漏了边长的两种可能情况，同时求出边长后必须验证是否符合三角形三边关系，避免得出错误结论。
【难度系数】
0.7
二、因考虑问题不全面出现漏解
4.在$△ ABC$中，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$AD$是$△ ABC$的中线，把$△ ABC$的周长分为两部分，若其差为3 cm，则$AB=$
4.在$△ ABC$中，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$AD$是$△ ABC$的中线，把$△ ABC$的周长分为两部分，若其差为3 cm，则$AB=$
8 cm或2 cm
。答案
4.8 cm或2 cm
解析
【分析】
解题时首先根据三角形中线的性质可得BD=CD，AD是两个周长部分的公共边，因此两部分周长的差实质就是AB与AC的长度差。由于题目未说明哪部分周长更长，因此需要分两种情况讨论：AB比AC长3cm，或AC比AB长3cm，最后还要验证两种情况下的边长是否满足三角形三边关系，排除不符合的解。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
AD将△ABC的周长分为两部分，分别为$C_{△ABD}=AB+BD+AD$，$C_{△ACD}=AC+CD+AD$。
两部分周长的差为$|C_{△ABD}-C_{△ACD}|=|(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)|=|AB-AC|=3\mathrm{cm}$。
已知$AC=5\mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 当$AB＞AC$时，$AB-AC=3\mathrm{cm}$，解得$AB=5+3=8\mathrm{cm}$，此时三角形三边长为8cm、5cm、BC，满足三角形三边关系，解成立；
2. 当$AB＜AC$时，$AC-AB=3\mathrm{cm}$，解得$AB=5-3=2\mathrm{cm}$，此时三角形三边长为2cm、5cm、BC，满足三角形三边关系，解成立。
【答案】
8 cm或2 cm
【知识点】
三角形中线的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略周长差的两种可能性导致漏解，解题时遇到未明确大小关系的差值问题，要注意分类讨论，得出结果后需验证是否符合三角形的构成条件，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据三角形中线的性质可得BD=CD，AD是两个周长部分的公共边，因此两部分周长的差实质就是AB与AC的长度差。由于题目未说明哪部分周长更长，因此需要分两种情况讨论：AB比AC长3cm，或AC比AB长3cm，最后还要验证两种情况下的边长是否满足三角形三边关系，排除不符合的解。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
AD将△ABC的周长分为两部分，分别为$C_{△ABD}=AB+BD+AD$，$C_{△ACD}=AC+CD+AD$。
两部分周长的差为$|C_{△ABD}-C_{△ACD}|=|(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)|=|AB-AC|=3\mathrm{cm}$。
已知$AC=5\mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 当$AB＞AC$时，$AB-AC=3\mathrm{cm}$，解得$AB=5+3=8\mathrm{cm}$，此时三角形三边长为8cm、5cm、BC，满足三角形三边关系，解成立；
2. 当$AB＜AC$时，$AC-AB=3\mathrm{cm}$，解得$AB=5-3=2\mathrm{cm}$，此时三角形三边长为2cm、5cm、BC，满足三角形三边关系，解成立。
【答案】
8 cm或2 cm
【知识点】
三角形中线的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略周长差的两种可能性导致漏解，解题时遇到未明确大小关系的差值问题，要注意分类讨论，得出结果后需验证是否符合三角形的构成条件，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
5.如图，
，已知∠AOD=30°，点C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中，若△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A的度数为
，已知∠AOD=30°，点C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中，若△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A的度数为60°或90°
.答案
5.60°或90°
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确△AOC是直角三角形但未指明哪个角是直角，结合已知∠AOD=30°（即△AOC中∠O=30°，不可能为直角），因此只需分两种情况讨论：①直角为∠A；②直角为∠ACO，再结合三角形内角和为180°分别计算∠A的度数即可。
【解析】
已知在△AOC中，∠O=∠AOD=30°，△AOC为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 若直角为∠A，则∠A=90°；
2. 若直角为∠ACO，根据三角形内角和为180°，可得∠A=180°-∠O-∠ACO=180°-30°-90°=60°。
综上，∠A的度数为60°或90°。
【答案】
60°或90°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角顶点的不确定性，仅考虑其中一种直角情况导致漏解，解题时遇到未明确直角顶点的直角三角形问题，需先分类讨论所有可能的直角情况，再结合相关性质计算。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确△AOC是直角三角形但未指明哪个角是直角，结合已知∠AOD=30°（即△AOC中∠O=30°，不可能为直角），因此只需分两种情况讨论：①直角为∠A；②直角为∠ACO，再结合三角形内角和为180°分别计算∠A的度数即可。
【解析】
已知在△AOC中，∠O=∠AOD=30°，△AOC为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 若直角为∠A，则∠A=90°；
2. 若直角为∠ACO，根据三角形内角和为180°，可得∠A=180°-∠O-∠ACO=180°-30°-90°=60°。
综上，∠A的度数为60°或90°。
【答案】
60°或90°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角顶点的不确定性，仅考虑其中一种直角情况导致漏解，解题时遇到未明确直角顶点的直角三角形问题，需先分类讨论所有可能的直角情况，再结合相关性质计算。
【难度系数】
0.6
6.在$△ ABC$中，$∠ A = 50°$，$∠ B = 30°$，点$D$在$AB$边上，连接$CD$，若$△ ACD$为直角三角形，则$∠ BCD =$
60°或10°
.答案
6.60°或10°
解析
【分析】
已知△ABC的两个内角度数，△ACD为直角三角形但未明确直角顶点，因此需分情况讨论直角的位置：∠A=50°不可能为直角，因此仅需考虑两种情况：①∠ADC为直角；②∠ACD为直角，再结合三角形内角和定理分别计算∠BCD的度数即可。
【解析】
首先根据三角形内角和为180°，计算△ABC中∠ACB的度数：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-30°=100°$
分两种情况讨论：
1. 当$∠ ADC=90°$时：
$∠ ADC$与$∠ BDC$为邻补角，因此$∠ BDC=180°-90°=90°$
在$△ BCD$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BCD=180°-∠ B-∠ BDC=180°-30°-90°=60°$
2. 当$∠ ACD=90°$时：
$∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=100°-90°=10°$
综上，$∠ BCD$的度数为$60°$或$10°$。
【答案】
$60°$或$10°$
【知识点】
三角形内角和定理、分类讨论思想、直角三角形定义
【点评】
本题易错点是忽略直角三角形未指定直角顶点的情况，导致漏解，解题时要注意梳理所有符合条件的情况，结合三角形内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.6
已知△ABC的两个内角度数，△ACD为直角三角形但未明确直角顶点，因此需分情况讨论直角的位置：∠A=50°不可能为直角，因此仅需考虑两种情况：①∠ADC为直角；②∠ACD为直角，再结合三角形内角和定理分别计算∠BCD的度数即可。
【解析】
首先根据三角形内角和为180°，计算△ABC中∠ACB的度数：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-30°=100°$
分两种情况讨论：
1. 当$∠ ADC=90°$时：
$∠ ADC$与$∠ BDC$为邻补角，因此$∠ BDC=180°-90°=90°$
在$△ BCD$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BCD=180°-∠ B-∠ BDC=180°-30°-90°=60°$
2. 当$∠ ACD=90°$时：
$∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=100°-90°=10°$
综上，$∠ BCD$的度数为$60°$或$10°$。
【答案】
$60°$或$10°$
【知识点】
三角形内角和定理、分类讨论思想、直角三角形定义
【点评】
本题易错点是忽略直角三角形未指定直角顶点的情况，导致漏解，解题时要注意梳理所有符合条件的情况，结合三角形内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.6
7.平面内有三个点M,N,P,若$PM=3$,$PN=7$,则$MN$的取值范围是
$4≤ MN≤ 10$
.答案
7.$4≤ MN≤ 10$
解析
【分析】
解题时需先考虑平面内三点的位置关系，分三点共线和三点不共线两种情况讨论：①三点共线时，分点M在线段PN上和点M在PN外两种情况计算MN的长度；②三点不共线时，三点构成三角形，结合三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到MN的取值范围，最后综合两种情况得到完整的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当M、N、P三点在同一直线上时：
①若点M在线段PN上，则$MN=PN-PM=7-3=4$；
②若点M在线段NP的延长线上（P在M、N之间），则$MN=PM+PN=3+7=10$。
2. 当M、N、P三点不在同一直线上时，三点构成$△ PMN$，根据三角形三边关系可得：
$PN-PM ＜ MN ＜ PM+PN$，代入数值得$7-3 ＜ MN ＜ 3+7$，即$4 ＜ MN ＜10$。
综合两种情况，可得$MN$的取值范围。
【答案】
$4≤ MN≤ 10$
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略三点共线的极端情况，导致取值范围漏写等号，解答此类三点距离范围的问题时，一定要全面考虑所有可能的点的位置关系。
【难度系数】
0.6
解题时需先考虑平面内三点的位置关系，分三点共线和三点不共线两种情况讨论：①三点共线时，分点M在线段PN上和点M在PN外两种情况计算MN的长度；②三点不共线时，三点构成三角形，结合三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到MN的取值范围，最后综合两种情况得到完整的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当M、N、P三点在同一直线上时：
①若点M在线段PN上，则$MN=PN-PM=7-3=4$；
②若点M在线段NP的延长线上（P在M、N之间），则$MN=PM+PN=3+7=10$。
2. 当M、N、P三点不在同一直线上时，三点构成$△ PMN$，根据三角形三边关系可得：
$PN-PM ＜ MN ＜ PM+PN$，代入数值得$7-3 ＜ MN ＜ 3+7$，即$4 ＜ MN ＜10$。
综合两种情况，可得$MN$的取值范围。
【答案】
$4≤ MN≤ 10$
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略三点共线的极端情况，导致取值范围漏写等号，解答此类三点距离范围的问题时，一定要全面考虑所有可能的点的位置关系。
【难度系数】
0.6
8.在$△ ABC$中，$∠ ABC = ∠ ACB$，BD是AC边上的高，且$∠ ABD = 30°$，求$∠ BAC$的度数.
答案
8.有两种情况:若△ABC是锐角三角形，
，∠BAC=90°−30°=60°；若△ABC是钝角三角形，
，易得∠BAC=90°+30°=120°，故∠BAC=60°或120°解析
【分析】
本题需要结合三角形高的位置分情况讨论：首先由BD是AC边上的高可得对应角为90°，当△ABC是锐角三角形时，高BD落在三角形内部，可直接利用直角三角形两锐角互余求∠BAC；当△ABC是钝角三角形时，高BD落在三角形外部，需先求∠BAC的邻补角，再计算∠BAC的度数。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时，如图①：
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，两个锐角互余，即∠BAC + ∠ABD = 90°，
已知∠ABD=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°；
2. 当△ABC为钝角三角形时，如图②：
∵BD是AC边上的高，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ABD = 90°，
∴∠BAD=90°-30°=60°，
∵∠BAC与∠BAD组成平角，即∠BAC + ∠BAD = 180°，
∴∠BAC=180°-60°=120°。
综上，∠BAC的度数为60°或120°。
【答案】
有两种情况:若△ABC是锐角三角形，，∠BAC=90°−30°=60°；若△ABC是钝角三角形，，易得∠BAC=90°+30°=120°，故∠BAC=60°或120°
【知识点】
直角三角形性质，三角形的高，分类讨论
【点评】
本题易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形的高在三角形外部的可能，解题时要结合图形特征分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题需要结合三角形高的位置分情况讨论：首先由BD是AC边上的高可得对应角为90°，当△ABC是锐角三角形时，高BD落在三角形内部，可直接利用直角三角形两锐角互余求∠BAC；当△ABC是钝角三角形时，高BD落在三角形外部，需先求∠BAC的邻补角，再计算∠BAC的度数。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时，如图①：
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，两个锐角互余，即∠BAC + ∠ABD = 90°，
已知∠ABD=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°；
2. 当△ABC为钝角三角形时，如图②：
∵BD是AC边上的高，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ABD = 90°，
∴∠BAD=90°-30°=60°，
∵∠BAC与∠BAD组成平角，即∠BAC + ∠BAD = 180°，
∴∠BAC=180°-60°=120°。
综上，∠BAC的度数为60°或120°。
【答案】
有两种情况:若△ABC是锐角三角形，
，∠BAC=90°−30°=60°；若△ABC是钝角三角形，，易得∠BAC=90°+30°=120°，故∠BAC=60°或120°【知识点】
直角三角形性质，三角形的高，分类讨论
【点评】
本题易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形的高在三角形外部的可能，解题时要结合图形特征分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9.在$△ ABC$中，$∠ C≠90°$，高$BD$和$CE$所在的直线交于点$H$，求$∠ BHC$和$∠ A$有什么关系.
(1)写出探究过程；
(2)探究归纳:非直角三角形的两条边上高线所夹的角与第三边所对的角________；
(3)模型应用:在钝角$△ ABC$中，$∠ A=45°$，高$BD$和$CE$所在的直线交于点$H$，则$∠ BHC$的度数为________.
(1)写出探究过程；
(2)探究归纳:非直角三角形的两条边上高线所夹的角与第三边所对的角________；
(3)模型应用:在钝角$△ ABC$中，$∠ A=45°$，高$BD$和$CE$所在的直线交于点$H$，则$∠ BHC$的度数为________.
答案
9.(1)$∠BHC+∠A=180°$或$∠BHC=∠A$.当$△ABC$为锐角三角形时，
，$\because CE⊥ AB$，$\therefore ∠ABD+∠BHE=90°$,$\because BD⊥ AC$,$\therefore ∠ABD+∠A=90°$,$\therefore ∠A=∠BHE$,$\because ∠BHC+∠BHE=180°$,$\therefore ∠BHC+∠A=180°$;当$△ABC$为钝角三角形时，
，$\because CE⊥ AB$,$\therefore ∠BHC+∠ABD=90°$,$\because BD⊥ AC$,$\therefore ∠A+∠ABD=90°$,$\therefore ∠BHC=∠A$ (2)相等或互补 (3)$45°$解析
【分析】
本题需分情况讨论求解：首先根据△ABC为锐角三角形或钝角三角形，确定两条高线交点H的位置，再结合高线垂直的性质得到直角，利用同角的余角相等推导角的数量关系，最后归纳规律并代入求解应用类问题。解题时要注意不要遗漏钝角三角形的情况，每一步推导需结合直角三角形两锐角互余、邻补角的性质进行。
【解析】
(1)分两种情况探究：
①当△ABC为锐角三角形时（对应图①）：
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC=∠ADB=90°。
在Rt△BEH中，∠ABD+∠BHE=90°；在Rt△ABD中，∠ABD+∠A=90°。
根据同角的余角相等，可得∠A=∠BHE。
又
∵∠BHC+∠BHE=180°（邻补角互补），
∴∠BHC+∠A=180°。
②当△ABC为钝角三角形时（对应图②）：
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠HEB=∠HDC=90°。
在Rt△BHC中，∠BHC+∠ABD=90°；在Rt△ABD中，∠A+∠ABD=90°。
根据同角的余角相等，可得∠BHC=∠A。
综上，∠BHC与∠A的关系为∠BHC+∠A=180°或∠BHC=∠A。
(2)由(1)的结论可知，非直角三角形的两条边上高线所夹的角与第三边所对的角相等或互补。
(3)已知△ABC为钝角三角形，∠A=45°，根据钝角三角形下的结论∠BHC=∠A，可得∠BHC=45°。
【答案】
(1)$∠BHC+∠A=180°$或$∠BHC=∠A$.当$△ABC$为锐角三角形时，，$\because CE⊥ AB$，$\therefore ∠ABD+∠BHE=90°$,$\because BD⊥ AC$,$\therefore ∠ABD+∠A=90°$,$\therefore ∠A=∠BHE$,$\because ∠BHC+∠BHE=180°$,$\therefore ∠BHC+∠A=180°$;当$△ABC$为钝角三角形时，，$\because CE⊥ AB$,$\therefore ∠BHC+∠ABD=90°$,$\because BD⊥ AC$,$\therefore ∠A+∠ABD=90°$,$\therefore ∠BHC=∠A$
(2)相等或互补
(3)$45°$
【知识点】
三角形的高；余角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，易错点是仅考虑锐角三角形的情况，忽略钝角三角形中高线交点在三角形外的情况导致漏解，解题的关键是结合高线的垂直性质，利用直角三角形两锐角互余推导角的等量关系。
【难度系数】
0.6
本题需分情况讨论求解：首先根据△ABC为锐角三角形或钝角三角形，确定两条高线交点H的位置，再结合高线垂直的性质得到直角，利用同角的余角相等推导角的数量关系，最后归纳规律并代入求解应用类问题。解题时要注意不要遗漏钝角三角形的情况，每一步推导需结合直角三角形两锐角互余、邻补角的性质进行。
【解析】
(1)分两种情况探究：
①当△ABC为锐角三角形时（对应图①）：
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC=∠ADB=90°。
在Rt△BEH中，∠ABD+∠BHE=90°；在Rt△ABD中，∠ABD+∠A=90°。
根据同角的余角相等，可得∠A=∠BHE。
又
∵∠BHC+∠BHE=180°（邻补角互补），
∴∠BHC+∠A=180°。
②当△ABC为钝角三角形时（对应图②）：
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠HEB=∠HDC=90°。
在Rt△BHC中，∠BHC+∠ABD=90°；在Rt△ABD中，∠A+∠ABD=90°。
根据同角的余角相等，可得∠BHC=∠A。
综上，∠BHC与∠A的关系为∠BHC+∠A=180°或∠BHC=∠A。
(2)由(1)的结论可知，非直角三角形的两条边上高线所夹的角与第三边所对的角相等或互补。
(3)已知△ABC为钝角三角形，∠A=45°，根据钝角三角形下的结论∠BHC=∠A，可得∠BHC=45°。
【答案】
(1)$∠BHC+∠A=180°$或$∠BHC=∠A$.当$△ABC$为锐角三角形时，
，$\because CE⊥ AB$，$\therefore ∠ABD+∠BHE=90°$,$\because BD⊥ AC$,$\therefore ∠ABD+∠A=90°$,$\therefore ∠A=∠BHE$,$\because ∠BHC+∠BHE=180°$,$\therefore ∠BHC+∠A=180°$;当$△ABC$为钝角三角形时，，$\because CE⊥ AB$,$\therefore ∠BHC+∠ABD=90°$,$\because BD⊥ AC$,$\therefore ∠A+∠ABD=90°$,$\therefore ∠BHC=∠A$(2)相等或互补
(3)$45°$
【知识点】
三角形的高；余角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，易错点是仅考虑锐角三角形的情况，忽略钝角三角形中高线交点在三角形外的情况导致漏解，解题的关键是结合高线的垂直性质，利用直角三角形两锐角互余推导角的等量关系。
【难度系数】
0.6
