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1.下列图形中，具有稳定性的是（
A
B
D
B
）A
B
D
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆相关几何性质：只有三角形具有稳定性，边数大于等于4的多边形都不具备稳定性。接下来只需判断四个选项对应的图形类型，选出属于三角形的选项即可。
【解析】
根据几何图形性质可得：三角形具有稳定性，四边形、五边形等边数≥4的多边形不具有稳定性。
逐一分析选项：
A. 图形为梯形，属于四边形，不具有稳定性；
B. 图形为三角形，具有稳定性；
C. 图形为五边形，不具有稳定性；
D. 图形为平行四边形，属于四边形，不具有稳定性。
因此符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对三角形稳定性这一基础特性的掌握，牢记特性即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相关几何性质：只有三角形具有稳定性，边数大于等于4的多边形都不具备稳定性。接下来只需判断四个选项对应的图形类型，选出属于三角形的选项即可。
【解析】
根据几何图形性质可得：三角形具有稳定性，四边形、五边形等边数≥4的多边形不具有稳定性。
逐一分析选项：
A. 图形为梯形，属于四边形，不具有稳定性；
B. 图形为三角形，具有稳定性；
C. 图形为五边形，不具有稳定性；
D. 图形为平行四边形，属于四边形，不具有稳定性。
因此符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对三角形稳定性这一基础特性的掌握，牢记特性即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.已知三角形的三边分别为2，$a-1$，4，那么$a$的取值范围是（
A.$3＜a＜7$
B.$3＜a≤7$
C.$3≤a＜7$
D.$3≤a≤7$
A
）A.$3＜a＜7$
B.$3＜a≤7$
C.$3≤a＜7$
D.$3≤a≤7$
答案
2.A
解析
【分析】
解答本题需运用三角形三边关系，解题思路为：首先回忆三角形三边的满足条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形其中两边为2和4，因此第三边$a-1$的取值需大于两边之差、小于两边之和，据此列出关于$a$的不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得第三边$a-1$的取值范围为：
$4 - 2 ＜ a - 1 ＜ 4 + 2$
化简得：
$2 ＜ a - 1 ＜ 6$
不等式三部分同时加1，解得：
$3 ＜ a ＜ 7$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题时要注意三边关系中的不等号为严格的大于、小于，不存在相等的情况，避免误选带等号的干扰项。
【难度系数】
0.8
解答本题需运用三角形三边关系，解题思路为：首先回忆三角形三边的满足条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形其中两边为2和4，因此第三边$a-1$的取值需大于两边之差、小于两边之和，据此列出关于$a$的不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得第三边$a-1$的取值范围为：
$4 - 2 ＜ a - 1 ＜ 4 + 2$
化简得：
$2 ＜ a - 1 ＜ 6$
不等式三部分同时加1，解得：
$3 ＜ a ＜ 7$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题时要注意三边关系中的不等号为严格的大于、小于，不存在相等的情况，避免误选带等号的干扰项。
【难度系数】
0.8
3.(2025·宁江期末)王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为6 cm和8 cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么他可以把哪根分为两截
（
A.6 cm 的木条
B.8 cm 的木条
C.两根都可以
D.两根都不行
（
B
）A.6 cm 的木条
B.8 cm 的木条
C.两根都可以
D.两根都不行
答案
3.B
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，实际判断时可简化为“较短两边之和大于最长边”。我们采用分类讨论的思路，分别假设拆分6cm的木条和8cm的木条，验证两种情况是否满足三边关系即可得出结论：拆分某根木条时，两段的长度和等于原木条长度，这两段需要和另一根完整木条组成三角形，首先要保证较短的两边之和大于最长边。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若拆分6cm的木条：设拆分后的两段长为$a\mathrm{cm}$、$b\mathrm{cm}$，则$a+b=6$。此时三根木条长度为$a$、$b$、$8\mathrm{cm}$，可得$a+b=6＜8$，不满足三角形三边关系，因此不能拆分6cm的木条。
2. 若拆分8cm的木条：设拆分后的两段长为$x\mathrm{cm}$、$y\mathrm{cm}$，则$x+y=8$。此时三根木条长度为$x$、$y$、$6\mathrm{cm}$，首先$x+y=8＞6$，只要拆分时保证两段长度都大于1cm，就能满足$x+6＞y$、$y+6＞x$，例如拆分为3cm和5cm，完全符合三边要求，因此可以拆分8cm的木条。
综上，只能把8cm的木条分为两截。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用题，解题关键是掌握三边关系的简便判断方法，通过分类讨论两种拆分情况即可快速得出结论，易错点是混淆拆分后三边的大小关系。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，实际判断时可简化为“较短两边之和大于最长边”。我们采用分类讨论的思路，分别假设拆分6cm的木条和8cm的木条，验证两种情况是否满足三边关系即可得出结论：拆分某根木条时，两段的长度和等于原木条长度，这两段需要和另一根完整木条组成三角形，首先要保证较短的两边之和大于最长边。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若拆分6cm的木条：设拆分后的两段长为$a\mathrm{cm}$、$b\mathrm{cm}$，则$a+b=6$。此时三根木条长度为$a$、$b$、$8\mathrm{cm}$，可得$a+b=6＜8$，不满足三角形三边关系，因此不能拆分6cm的木条。
2. 若拆分8cm的木条：设拆分后的两段长为$x\mathrm{cm}$、$y\mathrm{cm}$，则$x+y=8$。此时三根木条长度为$x$、$y$、$6\mathrm{cm}$，首先$x+y=8＞6$，只要拆分时保证两段长度都大于1cm，就能满足$x+6＞y$、$y+6＞x$，例如拆分为3cm和5cm，完全符合三边要求，因此可以拆分8cm的木条。
综上，只能把8cm的木条分为两截。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用题，解题关键是掌握三边关系的简便判断方法，通过分类讨论两种拆分情况即可快速得出结论，易错点是混淆拆分后三边的大小关系。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$△ ABC$中,BC边上的高为 （
A.线段AE
B.线段BE
C.线段BF
D.线段CF
A
）A.线段AE
B.线段BE
C.线段BF
D.线段CF
答案
4.A
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。找BC边上的高时，先确定对边为BC，对应的顶点是A，再找从A向BC所在直线作的垂线段即可。
【解析】
根据三角形高的定义，BC边上的高是从顶点A向BC所在直线作垂线，顶点A与垂足E之间的线段即为BC边上的高，也就是线段AE。
B选项线段BE不是从顶点A出发，C选项线段BF、D选项线段CF分别是从B、C出发的线段，均不符合BC边上高的要求，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题核心是准确理解三角形高的定义，判断某条边上的高时，要明确对应顶点和对边，高是顶点到对边所在直线的垂线段。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。找BC边上的高时，先确定对边为BC，对应的顶点是A，再找从A向BC所在直线作的垂线段即可。
【解析】
根据三角形高的定义，BC边上的高是从顶点A向BC所在直线作垂线，顶点A与垂足E之间的线段即为BC边上的高，也就是线段AE。
B选项线段BE不是从顶点A出发，C选项线段BF、D选项线段CF分别是从B、C出发的线段，均不符合BC边上高的要求，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题核心是准确理解三角形高的定义，判断某条边上的高时，要明确对应顶点和对边，高是顶点到对边所在直线的垂线段。
【难度系数】
0.9
5.如图,在$△ ABC$中,已知点$D,E,F$分别是$BC,AD,BE$上的中点,且$△ ABE$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$,则$△ CEF$的面积为（
A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$6\ \mathrm{cm}^2$
C.$8\ \mathrm{cm}^2$
D.$10\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$6\ \mathrm{cm}^2$
C.$8\ \mathrm{cm}^2$
D.$10\ \mathrm{cm}^2$
答案
5.C
解析
【分析】
本题可利用三角形中线的性质解题：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（依据是等底同高的三角形面积相等）。解题思路如下：①先根据E是AD的中点，结合中线性质求出△BDE和△CDE的面积，进而得到△BCE的面积；②再根据F是BE的中点，利用中线性质求出△CEF的面积即可。
【解析】
解：
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△ BED}=S_{△ ABE}=8\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CDE}=S_{△ ACE}$。
又
∵D是BC的中点，即AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=S_{△ ABE}+S_{△ BED}=8+8=16\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CDE}=8+8=16\ \mathrm{cm}^2$。
∵F是BE的中点，即CF是△BCE的中线，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的面积性质，等底同高三角形面积计算
【点评】
本题多次运用三角形中线分三角形为等面积两部分的性质求解，解题时需理清各个中点对应的中线，以及中线分割的两个三角形的面积关系，避免混淆对应三角形即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
本题可利用三角形中线的性质解题：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（依据是等底同高的三角形面积相等）。解题思路如下：①先根据E是AD的中点，结合中线性质求出△BDE和△CDE的面积，进而得到△BCE的面积；②再根据F是BE的中点，利用中线性质求出△CEF的面积即可。
【解析】
解：
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△ BED}=S_{△ ABE}=8\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CDE}=S_{△ ACE}$。
又
∵D是BC的中点，即AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=S_{△ ABE}+S_{△ BED}=8+8=16\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CDE}=8+8=16\ \mathrm{cm}^2$。
∵F是BE的中点，即CF是△BCE的中线，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线的面积性质，等底同高三角形面积计算
【点评】
本题多次运用三角形中线分三角形为等面积两部分的性质求解，解题时需理清各个中点对应的中线，以及中线分割的两个三角形的面积关系，避免混淆对应三角形即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
6.(2025·裕安期末)已知△ABC的内角分别为∠A,∠B,∠C,下列条件:①∠A=2∠B=3∠C;②∠C=2∠B;③∠A+∠B=∠C;④∠A:∠B:∠C=3:4:5.能判定△ABC是直角三角形的是 (
A.①
B.②
C.③
D.④
C
)A.①
B.②
C.③
D.④
答案
6.C
解析
【分析】
要判定△ABC是否为直角三角形，核心是看是否存在内角为90°，结合三角形内角和为180°的性质，我们只需将每个给出的角的关系代入内角和公式，计算最大角的度数，判断是否等于90°即可。
【解析】
根据三角形内角和定理：$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐一分析条件：
1. 条件①：设$∠ A=2∠ B=3∠ C=x$，则$∠ B=\frac{x}{2}$，$∠ C=\frac{x}{3}$，代入内角和得：
$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=180°$，解得$x=\frac{1080°}{11}\approx98.2°≠90°$，不能判定为直角三角形。
2. 条件②：仅给出$∠ C=2∠ B$，没有$∠ A$的相关限制，比如当$∠ B=20°$时，$∠ C=40°$，$∠ A=120°$，此时为钝角三角形，无法确定一定是直角三角形。
3. 条件③：将$∠ A+∠ B=∠ C$代入内角和公式，得$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，可判定为直角三角形。
4. 条件④：设$∠ A=3k$，$∠ B=4k$，$∠ C=5k$，代入内角和得$3k+4k+5k=180°$，解得$k=15°$，最大角$∠ C=5×15°=75°＜90°$，为锐角三角形，不能判定。
综上只有条件③符合要求，故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题型，解题关键是灵活运用三角形内角和定理，结合已知角的数量关系推导最大内角的度数，注意仅给出部分角的关系时，不能直接判定三角形形状，需验证所有可能的情况。
【难度系数】
0.8
要判定△ABC是否为直角三角形，核心是看是否存在内角为90°，结合三角形内角和为180°的性质，我们只需将每个给出的角的关系代入内角和公式，计算最大角的度数，判断是否等于90°即可。
【解析】
根据三角形内角和定理：$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐一分析条件：
1. 条件①：设$∠ A=2∠ B=3∠ C=x$，则$∠ B=\frac{x}{2}$，$∠ C=\frac{x}{3}$，代入内角和得：
$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=180°$，解得$x=\frac{1080°}{11}\approx98.2°≠90°$，不能判定为直角三角形。
2. 条件②：仅给出$∠ C=2∠ B$，没有$∠ A$的相关限制，比如当$∠ B=20°$时，$∠ C=40°$，$∠ A=120°$，此时为钝角三角形，无法确定一定是直角三角形。
3. 条件③：将$∠ A+∠ B=∠ C$代入内角和公式，得$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，可判定为直角三角形。
4. 条件④：设$∠ A=3k$，$∠ B=4k$，$∠ C=5k$，代入内角和得$3k+4k+5k=180°$，解得$k=15°$，最大角$∠ C=5×15°=75°＜90°$，为锐角三角形，不能判定。
综上只有条件③符合要求，故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题型，解题关键是灵活运用三角形内角和定理，结合已知角的数量关系推导最大内角的度数，注意仅给出部分角的关系时，不能直接判定三角形形状，需验证所有可能的情况。
【难度系数】
0.8
7.(2025·咸阳期末)如图,点D,B,C在同一条直线上,若∠A=60°,∠C=40°,∠D=20°,则∠1的度数为 (
A.65°
B.60°
C.55°
D.50°
B
)A.65°
B.60°
C.55°
D.50°
答案
7.B
解析
【分析】
要计算∠1的度数，首先可利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC的度数，再结合三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），建立∠ABC、∠D和∠1的数量关系，代入已知角度即可求出∠1的大小。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=60°，∠C=40°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 60° - 40° = 80°$
因为∠ABC是△DBE的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此：
$∠ ABC = ∠ D + ∠ 1$
已知∠D=20°，代入计算得：
$∠ 1 = ∠ ABC - ∠ D = 80° - 20° = 60°$
故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的关键是找准角度之间的关系，熟练运用三角形内角和与外角性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要计算∠1的度数，首先可利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC的度数，再结合三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），建立∠ABC、∠D和∠1的数量关系，代入已知角度即可求出∠1的大小。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=60°，∠C=40°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 60° - 40° = 80°$
因为∠ABC是△DBE的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此：
$∠ ABC = ∠ D + ∠ 1$
已知∠D=20°，代入计算得：
$∠ 1 = ∠ ABC - ∠ D = 80° - 20° = 60°$
故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的关键是找准角度之间的关系，熟练运用三角形内角和与外角性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
