1.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G.求证：∠BGC=90°+$\frac{1}{2}$∠A.

1.
∵BE,CF 分别平分∠ABC 和∠ACB,
∴∠GBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠GCB=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠BGC=180°-(∠GBC+∠GCB)=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB),在△ABC 中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴∠BGC=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A

【分析】
本题要推导∠BGC与∠A的数量关系，可按三步思考：首先根据角平分线的定义，得到∠GBC、∠GCB分别是∠ABC、∠ACB的一半；其次利用三角形内角和定理，在△BGC中将∠BGC用∠GBC与∠GCB的和表示；最后结合△ABC的内角和，把∠ABC+∠ACB替换为180°-∠A，代入化简即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵BE,CF 分别平分∠ABC 和∠ACB，
∴∠GBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠GCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BGC=180°-(∠GBC+∠GCB)=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)，
在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BGC=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A。
【答案】
∠BGC=90°+$\frac{1}{2}$∠A
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角平分线相关的经典结论推导题，解题核心是通过角平分线性质和三角形内角和定理完成角的等量代换，该结论在后续求解三角形角度的题目中可直接运用，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8

2. 如图，P 是$△ ABC$ 的两个外角$∠ EBC$ 和$∠ FCB$ 的平分线的交点，求证：$∠ P = 90° - \frac{1}{2}∠ A$.

2.
∵ BP, CP 分别平分∠EBC 和∠FCB,
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠EBC, ∠PCB=$\frac{1}{2}$∠FCB,
∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)= 180°-($\frac{1}{2}$∠EBC +$\frac{1}{2}$∠FCB)=180°-$\frac{1}{2}$(∠EBC+∠FCB)= 180°- $\frac{1}{2}$(∠A+∠ACB+∠FCB)= 180°- $\frac{1}{2}$(∠A+180°) =90°-$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠P = 90°- $\frac{1}{2}$∠A

【分析】
要证明∠P和∠A的数量关系，可按以下思路推导：①先观察∠P在△PBC中，根据三角形内角和定理，∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)，只需将∠PBC与∠PCB的和用∠A表示即可；②已知BP、CP是外角平分线，根据角平分线定义，∠PBC是∠EBC的一半，∠PCB是∠FCB的一半，因此先求∠EBC+∠FCB和∠A的关系；③∠EBC、∠FCB都是△ABC的外角，结合三角形外角性质或邻补角定义，可将两个外角的和转化为△ABC内角和与∠A的组合，代入化简即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ BP、CP分别平分∠EBC和∠FCB，
∴ $∠ PBC = \frac{1}{2}∠ EBC$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ FCB$，
在$△ PBC$中，由三角形内角和为180°可得：
$\begin{aligned}∠ P&=180° - (∠ PBC + ∠ PCB)\\&=180° - (\frac{1}{2}∠ EBC + \frac{1}{2}∠ FCB)\\&=180° - \frac{1}{2}(∠ EBC + ∠ FCB)\end{aligned}$
又
∵$∠ EBC$、$∠ FCB$是$△ ABC$的外角，
∴$∠ EBC = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ FCB = ∠ A + ∠ ABC$，
∴$∠ EBC + ∠ FCB = ∠ A + ∠ ACB + ∠ A + ∠ ABC = (∠ A + ∠ ACB + ∠ ABC) + ∠ A$，
∵$△ ABC$内角和为180°，即$∠ A + ∠ ACB + ∠ ABC = 180°$，
∴$∠ EBC + ∠ FCB = 180° + ∠ A$，
代入上式得：
$\begin{aligned}∠ P&=180° - \frac{1}{2}(180° + ∠ A)\\&=180° - 90° - \frac{1}{2}∠ A\\&=90° - \frac{1}{2}∠ A\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{∠P = 90° - \frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度推导的经典题型，核心是通过角平分线定义和三角形内、外角的性质，将未知角的关系转化为已知角的关系，熟练掌握该推导思路可以快速解决同类角度计算与证明问题。
【难度系数】
0.7

3.如图,点 P 是△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线的交点,求证:∠P=$\frac{1}{2}$∠A.

3.
∵ BP 平分∠ABC,
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC,
∵ CP 平分∠ACD,
∴ ∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD,
∵ ∠ACD = ∠ABC + ∠A, ∠PCD = ∠PBC + ∠P,
∴ ∠P = ∠PCD - ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ACD - $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$(∠ACD - ∠ABC) = $\frac{1}{2}$∠A,即∠P = $\frac{1}{2}$∠A

【分析】
要证明∠P与∠A的数量关系，可按以下思路推导：首先根据角平分线的定义，将∠PBC、∠PCD分别用∠ABC、∠ACD表示；再利用三角形外角的性质，分别得到△ABC中外角∠ACD和内角∠A、∠ABC的关系，以及△PBC中外角∠PCD和内角∠P、∠PBC的关系；最后通过等量代换、化简消去中间量，即可得到∠P和∠A的关系。
【解析】
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∵ CP平分∠ACD，
∴ ∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠ABC + ∠A，
又
∵ ∠PCD是△PBC的外角，
∴ ∠PCD = ∠PBC + ∠P，
∴ ∠P = ∠PCD - ∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ACD - $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$(∠ACD - ∠ABC) = $\frac{1}{2}$∠A，
即∠P = $\frac{1}{2}$∠A。
【答案】
∠P=$\frac{1}{2}$∠A，得证。
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是与三角形角平分线相关的经典结论推导题，解题核心是利用三角形外角性质建立不同角度间的等量关系，掌握该结论可快速解决同类型的角度计算、证明类问题。
【难度系数】
0.8

4.如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=30°,AE平分∠BAC,在AE的延长线上任取一点M,过点M作MD⊥BC于点D,则∠AMD的度数为。

4.5°

【分析】
要计算∠AMD的度数，可按以下步骤思考：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再根据角平分线的定义求出角平分线分∠BAC得到的∠BAE的度数；接着在△ABE中求出∠AEB的度数，利用对顶角相等得到与∠AEB相等的∠MED的度数；最后在直角△MDE中，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AMD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 30° = 110°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$ × 110° = 55°
在△ABE中，∠AEB = 180° - ∠B - ∠BAE = 180° - 40° - 55° = 85°
∵∠AEB与∠MED是对顶角
∴∠MED = ∠AEB = 85°
又
∵MD⊥BC，即∠MDE = 90°
在Rt△MDE中，∠AMD = 90° - ∠MED = 90° - 85° = 5°
【答案】
5°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础综合题，解题时需要理清各角的位置关系，结合三角形相关性质逐步推导，计算难度较低，重点考查对基础性质的掌握和角度关系的梳理能力。
【难度系数】
0.7

5.如图,在$△ ABC$中,$∠ B＞∠ C,AD\bot BC,AE$平分$∠ BAC$,试探究$∠ B,∠ C,∠ DAE$之间的关系.

5.
∵ AE 平分∠BAC,
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC,
∵∠BAC=180°-∠B-∠C,
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠C)=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠CAD=90°-∠C,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-∠C-(90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C)=$\frac{1}{2}$(∠B-∠C)

【分析】要探究∠B、∠C、∠DAE的关系，可从已知条件逐步推导：首先利用角平分线的定义表示出∠CAE与∠BAC的关系，再结合三角形内角和定理将∠BAC替换为含∠B、∠C的式子；然后根据AD是BC边上的高，利用直角三角形两锐角互余的性质表示出∠CAD；最后观察∠DAE是∠CAD与∠CAE的差，将前面得到的两个式子代入化简，即可得到三个角的数量关系。
【解析】
∵ AE 平分∠BAC，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠C)=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-∠C-(90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C)=$\frac{1}{2}$(∠B-∠C)
【答案】$\boxed{∠DAE=\frac{1}{2}(∠B-∠C)}$
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形性质
【点评】本题是三角形角度推导的典型题型，核心是通过角平分线、高线的性质完成角度转化，结合内角和定理做等量代换得出结论，掌握这类角度代换思路可快速解决同类三角形角度计算问题。
【难度系数】0.7