登录
1.若分解因式$x^2 + mx -12=(x+2)(x+a)$，则a，m的值分别是（
A.－6,4
B.4,－6
C.－4,－6
D.－6,－4
D
）A.－6,4
B.4,－6
C.－4,－6
D.－6,－4
答案
1.D
解析
【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。因式分解是把多项式化成整式乘积的形式，反过来将等号右侧的整式乘积展开，得到的多项式应该和等号左侧的多项式完全相同，因此对应项的系数相等。我们先展开右侧的乘积式，再分别对应常数项和一次项系数，即可列方程求出a、m的值。
【解析】
先将等号右侧的多项式相乘展开：
$\begin{aligned}(x+2)(x+a)&=x· x + x· a + 2· x + 2· a\\&=x^2 + (a+2)x + 2a\end{aligned}$
已知$x^2 + mx -12=(x+2)(x+a)$，因此左右两边多项式的对应项系数相等：
1. 对应常数项：$2a=-12$，解得$a=-6$；
2. 对应一次项系数：$m=a+2$，将$a=-6$代入得$m=-6+2=-4$。
因此$a=-6$，$m=-4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆、多项式乘多项式、对应系数法
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题的关键是熟练掌握多项式乘法的运算规则，利用对应系数相等建立方程求解，计算量小，掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。因式分解是把多项式化成整式乘积的形式，反过来将等号右侧的整式乘积展开，得到的多项式应该和等号左侧的多项式完全相同，因此对应项的系数相等。我们先展开右侧的乘积式，再分别对应常数项和一次项系数，即可列方程求出a、m的值。
【解析】
先将等号右侧的多项式相乘展开：
$\begin{aligned}(x+2)(x+a)&=x· x + x· a + 2· x + 2· a\\&=x^2 + (a+2)x + 2a\end{aligned}$
已知$x^2 + mx -12=(x+2)(x+a)$，因此左右两边多项式的对应项系数相等：
1. 对应常数项：$2a=-12$，解得$a=-6$；
2. 对应一次项系数：$m=a+2$，将$a=-6$代入得$m=-6+2=-4$。
因此$a=-6$，$m=-4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆、多项式乘多项式、对应系数法
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题的关键是熟练掌握多项式乘法的运算规则，利用对应系数相等建立方程求解，计算量小，掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了$x$的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是$x^{□}-4y^2$（“$□$”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
D
）A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先得回忆平方差公式的结构特征：平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，能利用平方差公式分解的式子必须是两个整式的平方差的形式。本题中$4y^2=(2y)^2$，因此$x^□$必须能写成某个整式的平方，即$□$中的数必须是正偶数，再结合“指数是不大于10的正整数”的条件，筛选出所有符合要求的偶数即可。
【解析】
∵ 式子$x^□ -4y^2$能利用平方差公式分解因式，
∴ $x^□$必须是某个整式的平方，即$□$内的数为正偶数。
又
∵ 该指数是不大于10的正整数，
∴ 符合条件的指数为2、4、6、8、10，共5种可能。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 偶次幂的性质
【点评】
本题核心是考查对平方差公式结构的掌握，需要结合题目给出的指数限制条件，准确筛选出符合要求的取值，解题时注意不要忽略指数为大于2的偶数的情况。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先得回忆平方差公式的结构特征：平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，能利用平方差公式分解的式子必须是两个整式的平方差的形式。本题中$4y^2=(2y)^2$，因此$x^□$必须能写成某个整式的平方，即$□$中的数必须是正偶数，再结合“指数是不大于10的正整数”的条件，筛选出所有符合要求的偶数即可。
【解析】
∵ 式子$x^□ -4y^2$能利用平方差公式分解因式，
∴ $x^□$必须是某个整式的平方，即$□$内的数为正偶数。
又
∵ 该指数是不大于10的正整数，
∴ 符合条件的指数为2、4、6、8、10，共5种可能。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 偶次幂的性质
【点评】
本题核心是考查对平方差公式结构的掌握，需要结合题目给出的指数限制条件，准确筛选出符合要求的取值，解题时注意不要忽略指数为大于2的偶数的情况。
【难度系数】
0.7
3.(逆向思维)两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成$(x-1)(x-9)$,另一位同学因看错了常数项而分解成$(x-2)(x-4)$,则这个二次三项式为
$x^2 -6x +9$
.答案
3.$x^2 -6x +9$
解析
【分析】
因式分解与整式乘法是互逆运算，解题时可利用这一关系推导原多项式的系数：第一位同学仅看错一次项系数，说明他的分解结果展开后，二次项、常数项和原式一致；第二位同学仅看错常数项，说明他的分解结果展开后，二次项、一次项和原式一致。我们只需分别展开两个乘积式，提取对应的正确系数即可组合出原二次三项式。
【解析】
1. 计算第一位同学分解结果的展开式：
$(x-1)(x-9)=x^2 -9x -x +9 = x^2 -10x +9$
因该同学仅看错一次项系数，故原多项式的二次项系数为1，常数项为9。
2. 计算第二位同学分解结果的展开式：
$(x-2)(x-4)=x^2 -4x -2x +8 = x^2 -6x +8$
因该同学仅看错常数项，故原多项式的一次项系数为$-6$。
3. 组合正确系数，得到原二次三项式为$x^2 -6x +9$。
【答案】
$x^2 -6x +9$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题属于因式分解的灵活应用题，核心是抓住“看错某一项时其余项系数正确”这一条件，通过逆向运算推导原式系数，很好地考查了逆向思维能力。
【难度系数】
0.7
因式分解与整式乘法是互逆运算，解题时可利用这一关系推导原多项式的系数：第一位同学仅看错一次项系数，说明他的分解结果展开后，二次项、常数项和原式一致；第二位同学仅看错常数项，说明他的分解结果展开后，二次项、一次项和原式一致。我们只需分别展开两个乘积式，提取对应的正确系数即可组合出原二次三项式。
【解析】
1. 计算第一位同学分解结果的展开式：
$(x-1)(x-9)=x^2 -9x -x +9 = x^2 -10x +9$
因该同学仅看错一次项系数，故原多项式的二次项系数为1，常数项为9。
2. 计算第二位同学分解结果的展开式：
$(x-2)(x-4)=x^2 -4x -2x +8 = x^2 -6x +8$
因该同学仅看错常数项，故原多项式的一次项系数为$-6$。
3. 组合正确系数，得到原二次三项式为$x^2 -6x +9$。
【答案】
$x^2 -6x +9$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题属于因式分解的灵活应用题，核心是抓住“看错某一项时其余项系数正确”这一条件，通过逆向运算推导原式系数，很好地考查了逆向思维能力。
【难度系数】
0.7
4.【阅读理解,自主探究】(2024·金沙县期末)把代数式通过配凑等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件,这种解题方法叫做配方法,配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用.
例1:因式分解:$a^2 +6a +8$.
解:原式$=a^2 +6a +9 -1=(a +3)^2 -1=(a +3 -1)(a +3 +1)=(a +2)(a +4)$.
例2:若$M=a^2 -2ab +2b^2 -2b +2$,利用配方法求$M$的最小值.
解:$a^2 -2ab +2b^2 -2b +2=a^2 -2ab +b^2 +b^2 -2b +1 +1=(a -b)^2 +(b -1)^2 +1$.
$\because (a -b)^2 ≥ 0,(b -1)^2 ≥ 0$,
$\therefore$当$a =b =1$时,$M$有最小值1.
请根据上述阅读材料,解决下列问题:
(1)用配方法因式分解:$a^2 -12a +35 =$
(2)若$M=a^2 -3a +1$,则$M$的最小值为
(3)已知$a^2 +2b^2 +c^2 -2ab +4b -6c +13 =0$,求$a +b +c$的值.
例1:因式分解:$a^2 +6a +8$.
解:原式$=a^2 +6a +9 -1=(a +3)^2 -1=(a +3 -1)(a +3 +1)=(a +2)(a +4)$.
例2:若$M=a^2 -2ab +2b^2 -2b +2$,利用配方法求$M$的最小值.
解:$a^2 -2ab +2b^2 -2b +2=a^2 -2ab +b^2 +b^2 -2b +1 +1=(a -b)^2 +(b -1)^2 +1$.
$\because (a -b)^2 ≥ 0,(b -1)^2 ≥ 0$,
$\therefore$当$a =b =1$时,$M$有最小值1.
请根据上述阅读材料,解决下列问题:
(1)用配方法因式分解:$a^2 -12a +35 =$
$(a-7)(a-5)$
;(2)若$M=a^2 -3a +1$,则$M$的最小值为
$-\frac{5}{4}$
;(3)已知$a^2 +2b^2 +c^2 -2ab +4b -6c +13 =0$,求$a +b +c$的值.
答案
4.(1)$(a-7)(a-5)$ (2)$-\frac{5}{4}$ (3)$\because a^2 +2b^2 +c^2 -2ab +4b -6c +13=0,\therefore (a^2 -2ab +b^2)+(b^2 +4b +4)+(c^2 -6c +9)=0,即 (a-b)^2 +(b+2)^2 +(c-3)^2=0,\because (a-b)^2≥0,(b+2)^2≥0,(c-3)^2≥0,\therefore a-b=0,b+2=0,c-3=0,解得 a=b=-2,c=3,\therefore a+b+c=-2-2+3=-1$
解析
【分析】
(1) 配方法因式分解的核心是先将二次项和一次项组合配成完全平方式，再利用平方差公式分解。本题先把$a^2-12a$配为$(a-6)^2$，再将常数项调整后用平方差分解即可。
(2) 求代数式最值时，先将含变量的项配成完全平方式，结合完全平方的非负性，当平方项为0时代数式取得最值。本题将含$a$的项配方后整理，即可得到最小值。
(3) 等式左边是多个二次、一次项的和，需要将式子拆分为几组，分别配成完全平方式，根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求出$a、b、c$的值，再代入计算$a+b+c$即可。
【解析】
(1) $a^2 -12a +35 = a^2 -12a + 36 - 1 = (a-6)^2 - 1^2 = (a-6-1)(a-6+1) = (a-7)(a-5)$
(2) $M = a^2 -3a +1 = a^2 -3a + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 1 = (a-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1 = (a-\frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$
$\because (a-\frac{3}{2})^2 ≥ 0$，$\therefore$当$(a-\frac{3}{2})^2=0$时，$M$有最小值，最小值为$-\frac{5}{4}$
(3) 对$a^2 +2b^2 +c^2 -2ab +4b -6c +13 =0$拆分配方：
$(a^2 -2ab +b^2)+(b^2 +4b +4)+(c^2 -6c +9)=0$
即$(a-b)^2 + (b+2)^2 + (c-3)^2=0$
$\because (a-b)^2≥0,(b+2)^2≥0,(c-3)^2≥0$
$\therefore a-b=0,b+2=0,c-3=0$
解得$b=-2,a=b=-2,c=3$
$\therefore a+b+c=-2+(-2)+3=-1$
【答案】
(1) $(a-7)(a-5)$；(2) $-\frac{5}{4}$；(3) $-1$
【知识点】
配方法的应用；因式分解；非负数的性质
【点评】
本题属于材料阅读类题型，需要结合示例灵活运用配方法解题，关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能根据式子特点合理拆分配方，同时要会用非负数的性质求解未知量。
【难度系数】
0.7
(1) 配方法因式分解的核心是先将二次项和一次项组合配成完全平方式，再利用平方差公式分解。本题先把$a^2-12a$配为$(a-6)^2$，再将常数项调整后用平方差分解即可。
(2) 求代数式最值时，先将含变量的项配成完全平方式，结合完全平方的非负性，当平方项为0时代数式取得最值。本题将含$a$的项配方后整理，即可得到最小值。
(3) 等式左边是多个二次、一次项的和，需要将式子拆分为几组，分别配成完全平方式，根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求出$a、b、c$的值，再代入计算$a+b+c$即可。
【解析】
(1) $a^2 -12a +35 = a^2 -12a + 36 - 1 = (a-6)^2 - 1^2 = (a-6-1)(a-6+1) = (a-7)(a-5)$
(2) $M = a^2 -3a +1 = a^2 -3a + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 1 = (a-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1 = (a-\frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$
$\because (a-\frac{3}{2})^2 ≥ 0$，$\therefore$当$(a-\frac{3}{2})^2=0$时，$M$有最小值，最小值为$-\frac{5}{4}$
(3) 对$a^2 +2b^2 +c^2 -2ab +4b -6c +13 =0$拆分配方：
$(a^2 -2ab +b^2)+(b^2 +4b +4)+(c^2 -6c +9)=0$
即$(a-b)^2 + (b+2)^2 + (c-3)^2=0$
$\because (a-b)^2≥0,(b+2)^2≥0,(c-3)^2≥0$
$\therefore a-b=0,b+2=0,c-3=0$
解得$b=-2,a=b=-2,c=3$
$\therefore a+b+c=-2+(-2)+3=-1$
【答案】
(1) $(a-7)(a-5)$；(2) $-\frac{5}{4}$；(3) $-1$
【知识点】
配方法的应用；因式分解；非负数的性质
【点评】
本题属于材料阅读类题型，需要结合示例灵活运用配方法解题，关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能根据式子特点合理拆分配方，同时要会用非负数的性质求解未知量。
【难度系数】
0.7
5.(创新思维)因式分解是数学解题的一种重要工具,掌握不同因式分解的方法对数学解题有着重要的意义.我们常见的因式分解方法有:提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等.在此介绍一种方法叫“试根法”.例:$x^3 - 3x^2 + 3x -1$,当$x=1$时,整式的值为0,所以该多项式有因式$(x-1)$,设$x^3 -3x^2 +3x -1=(x-1)(x^2 +ax +1)$,展开后可得$a=-2$,所以$x^3 -3x^2 +3x -1=(x-1)(x^2 -2x +1)=(x-1)^3$.根据上述引例,请你分解因式:
(1)$2x^3 -3x +1$;
(2)$x^3 +3x^2 +3x +1$.
(1)$2x^3 -3x +1$;
(2)$x^3 +3x^2 +3x +1$.
答案
5.(1)当$x=1$时,整式的值为0,$\therefore$多项式有因式$(x-1)$.设$2x^3 -3x +1=(x-1)(2x^2 +ax -1)$,展开后可得$a=2$,$\therefore 2x^3 -3x +1=(x-1)(2x^2 +2x -1)$ (2)当$x=-1$时,整式的值为0,$\therefore$多项式$x^3 +3x^2 +3x +1$中有因式$(x+1)$,设$x^3 +3x^2 +3x +1=(x+1)(x^2 +mx +1)=x^3 +(m+1)x^2 +(1+m)x +1$,$\therefore m+1=3$.$\therefore m=2$.$\therefore x^3 +3x^2 +3x +1=(x+1)(x^2 +2x +1)=(x+1)^3$
解析
【分析】
解决本题使用题目介绍的试根法，解题思路分为三步：第一步试根，优先代入x=1、x=-1等简单整数，若代入后多项式的值为0，即可确定多项式含有对应一次因式；第二步设分解形式，将多项式写成已找到的一次因式与同系数匹配的二次因式相乘的形式，二次因式中的未知系数用参数表示；第三步求参数，将等式右边展开，根据左右两边多项式对应项的系数相等列方程，求出参数后再验证剩余因式是否可继续分解，最终得到分解结果。
【解析】
(1) 对$2x^3 - 3x + 1$，先试根：当$x=1$时，$2×1^3 -3×1 +1=2-3+1=0$，因此该多项式含有因式$(x-1)$。
设$2x^3 -3x +1=(x-1)(2x^2 +ax -1)$，将右边展开得：
$\begin{aligned}(x-1)(2x^2 +ax -1)&=2x^3 +ax^2 -x -2x^2 -ax +1\\&=2x^3 +(a-2)x^2 +(-1-a)x +1\end{aligned}$
对比左边$2x^3 +0x^2 -3x +1$的对应系数，得$a-2=0$，解得$a=2$。
代入得$2x^3 -3x +1=(x-1)(2x^2 +2x -1)$，其中$2x^2+2x-1$在有理数范围内无法继续分解。
(2) 对$x^3 +3x^2 +3x +1$，先试根：当$x=-1$时，$(-1)^3 +3×(-1)^2 +3×(-1)+1=-1+3-3+1=0$，因此该多项式含有因式$(x+1)$。
设$x^3 +3x^2 +3x +1=(x+1)(x^2 +mx +1)$，将右边展开得：
$\begin{aligned}(x+1)(x^2 +mx +1)&=x^3 +mx^2 +x +x^2 +mx +1\\&=x^3 +(m+1)x^2 +(m+1)x +1\end{aligned}$
对比左边$x^3 +3x^2 +3x +1$的对应系数，得$m+1=3$，解得$m=2$。
代入得$x^3 +3x^2 +3x +1=(x+1)(x^2 +2x +1)$，其中$x^2+2x+1=(x+1)^2$，因此最终分解结果为$(x+1)^3$。
【答案】
(1)$(x-1)(2x^2+2x-1)$；(2)$(x+1)^3$
【知识点】
试根法因式分解，待定系数法，完全平方公式
【点评】
本题属于方法创新型题目，通过给出新的因式分解方法，考查学生的阅读理解能力和知识迁移应用能力，解题时需注意模仿示例的步骤，确保对应系数匹配正确，同时要检查因式是否分解彻底。
【难度系数】
0.7
解决本题使用题目介绍的试根法，解题思路分为三步：第一步试根，优先代入x=1、x=-1等简单整数，若代入后多项式的值为0，即可确定多项式含有对应一次因式；第二步设分解形式，将多项式写成已找到的一次因式与同系数匹配的二次因式相乘的形式，二次因式中的未知系数用参数表示；第三步求参数，将等式右边展开，根据左右两边多项式对应项的系数相等列方程，求出参数后再验证剩余因式是否可继续分解，最终得到分解结果。
【解析】
(1) 对$2x^3 - 3x + 1$，先试根：当$x=1$时，$2×1^3 -3×1 +1=2-3+1=0$，因此该多项式含有因式$(x-1)$。
设$2x^3 -3x +1=(x-1)(2x^2 +ax -1)$，将右边展开得：
$\begin{aligned}(x-1)(2x^2 +ax -1)&=2x^3 +ax^2 -x -2x^2 -ax +1\\&=2x^3 +(a-2)x^2 +(-1-a)x +1\end{aligned}$
对比左边$2x^3 +0x^2 -3x +1$的对应系数，得$a-2=0$，解得$a=2$。
代入得$2x^3 -3x +1=(x-1)(2x^2 +2x -1)$，其中$2x^2+2x-1$在有理数范围内无法继续分解。
(2) 对$x^3 +3x^2 +3x +1$，先试根：当$x=-1$时，$(-1)^3 +3×(-1)^2 +3×(-1)+1=-1+3-3+1=0$，因此该多项式含有因式$(x+1)$。
设$x^3 +3x^2 +3x +1=(x+1)(x^2 +mx +1)$，将右边展开得：
$\begin{aligned}(x+1)(x^2 +mx +1)&=x^3 +mx^2 +x +x^2 +mx +1\\&=x^3 +(m+1)x^2 +(m+1)x +1\end{aligned}$
对比左边$x^3 +3x^2 +3x +1$的对应系数，得$m+1=3$，解得$m=2$。
代入得$x^3 +3x^2 +3x +1=(x+1)(x^2 +2x +1)$，其中$x^2+2x+1=(x+1)^2$，因此最终分解结果为$(x+1)^3$。
【答案】
(1)$(x-1)(2x^2+2x-1)$；(2)$(x+1)^3$
【知识点】
试根法因式分解，待定系数法，完全平方公式
【点评】
本题属于方法创新型题目，通过给出新的因式分解方法，考查学生的阅读理解能力和知识迁移应用能力，解题时需注意模仿示例的步骤，确保对应系数匹配正确，同时要检查因式是否分解彻底。
【难度系数】
0.7
