13.已知$x^2 + x + 1 = 0$，求$x^{2030} + x^{2029} + x^{2028} + x^{2027} + \dots + x^2 + x + 1$的值。

13.原式$=(x^{2030} + x^{2029} + x^{2028})+(x^{2027} + x^{2026} + x^{2025})+\dots+(x^2 +x +1)=x^{2028}(x^2 +x +1)+x^{2025}(x^2 +x +1)+\dots+(x^2 +x +1)=0$

【分析】
首先观察已知条件给出$x^2+x+1=0$，再看待求多项式，是按$x$的降幂从$x^{2030}$到常数项1排列的和，总共有$2030+1=2031$项。由于$2031$是3的整数倍，我们可以每3项分为一组，每组都能提取公因式，凑出$x^2+x+1$的结构，再将已知条件$x^2+x+1=0$整体代入，就能快速求出结果。
【解析】
观察待求式共有2031项，每3项分为一组，可得：
$\begin{aligned}原式&=(x^{2030} + x^{2029} + x^{2028})+(x^{2027} + x^{2026} + x^{2025})+\dots+(x^2 +x +1)\\&=x^{2028}(x^2 +x +1)+x^{2025}(x^2 +x +1)+\dots+1×(x^2 +x +1)\end{aligned}$
将$x^2+x+1=0$整体代入上式，可得每一组的运算结果都为0，因此：
$原式=0+0+\dots+0=0$
【答案】
$0$
【知识点】
提公因式法，整体代入求值，多项式化简
【点评】
本题主要考查因式分解在代数式求值中的应用，解题的核心是抓住多项式的项数特征进行合理分组，提取公因式后结合已知条件整体代入计算，能有效锻炼学生的观察归纳能力和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.6

14.(整体思想)(2024·云南期末)阅读下列材料:在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式$(x^2 - 4x + 1)(x^2 - 4x + 7) + 9$进行因式分解的过程.
解:设$x^2 - 4x = y$,
原式$=(y + 1)(y + 7) + 9$(第一步),
$= y^2 + 8y + 16$(第二步),
$= (y + 4)^2$(第三步),
$= (x^2 - 4x + 4)^2$(第四步).
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的;
A.提取公因式法
B.平方差公式法
C.完全平方公式法
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果:;
(3)请你用换元法对多项式$(x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2) + 1$进行因式分解.

14.(1)C
(2)$(x-2)^4$
(3)设$x^2 + 2x = y$,原式$=y(y+2)+1=y^2 +2y +1=(y+1)^2=(x^2 +2x +1)^2=(x+1)^4$

【分析】
(1) 观察第二步到第三步的变形：$y^2+8y+16=(y+4)^2$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，据此即可判断所用因式分解方法；
(2) 因式分解要求分解到每个整式因式都不能再分解为止，第四步得到的$(x^2-4x+4)^2$中，$x^2-4x+4$还可继续用完全平方公式分解，进一步化简即可得最终结果；
(3) 按照换元法的思路，先找到多项式中重复出现的整体$x^2+2x$，设其为$y$，代入原式化简后用完全平方公式因式分解，再将$y$换回关于$x$的多项式，继续分解到不能再分解即可。
【解析】
(1) 第二步式子$y^2+8y+16$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的特征（其中$a=y$，$b=4$），因此第二步到第三步运用了完全平方公式法因式分解，故选C。
(2) 小涵的第四步结果为$(x^2-4x+4)^2$，其中$x^2-4x+4=(x-2)^2$，因此代入得：
$(x^2-4x+4)^2=[(x-2)^2]^2=(x-2)^4$
(3) 解：设$x^2 + 2x = y$，
原式$=y(y+2)+1$
$=y^2 +2y +1$
$=(y+1)^2$
将$y=x^2+2x$代回，得：
$(y+1)^2=(x^2 +2x +1)^2$
又$\because x^2+2x+1=(x+1)^2$，
$\therefore$原式$=[(x+1)^2]^2=(x+1)^4$
【答案】
(1)C
(2)$(x-2)^4$
(3)$(x+1)^4$
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式、因式分解的定义
【点评】
本题通过阅读材料考查换元法的应用，核心是运用整体思想找到多项式中重复的部分换元，降低因式分解的难度，解题时要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7

15. 新考向 新定义 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为神秘数.如：$4=2^2 - 0^2$；$12=4^2 - 2^2$；$20=6^2 - 4^2$；因此，4，12，20这三个数都是神秘数.
(1)28和2028这两个数是不是神秘数？为什么？
(2)设两个连续偶数为$2k$和$2k+2$（其中$k$为非负整数），则由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，请说明理由；
(3)两个连续奇数的平方差（取正数）是不是神秘数？请说明理由.

15.(1)28和2028都是神秘数,理由如下:设28是$x$和$x-2$两数的平方差得到,则$x^2 -(x-2)^2=28$,解得$x=8$,$\therefore x-2=6$,即$28=8^2 -6^2$,设2028是$y$和$y-2$两数的平方差得到,则$y^2 -(y-2)^2=2028$,解得$y=508$,$y-2=506$,即$2028=508^2 -506^2$,$\therefore 28,2028$都是神秘数
(2)$\because (2k+2)^2 -(2k)^2=(2k+2-2k)(2k+2+2k)=4(2k+1)$,$\therefore$由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数,且是奇数倍
(3)不是.理由如下:设两个连续奇数为$2k+1$和$2k-1$,则$(2k+1)^2 -(2k-1)^2=8k=4×2k$,即两个连续奇数的平方差是4的倍数,且是偶数倍,不满足两个连续偶数构造的神秘数为4的奇数倍这一条件.$\therefore$两个连续奇数的平方差不是神秘数

【分析】
(1) 判断一个数是否为神秘数，需紧扣神秘数的定义：能表示为两个连续偶数平方差的正整数。可设该数为连续偶数$x$和$x-2$的平方差，列方程求解，若$x$为偶数则该数是神秘数。
(2) 要证明两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，将给定的两个连续偶数代入平方差公式，展开化简后判断是否含因数4即可。
(3) 先设出两个连续奇数，计算其平方差并化简，再和第(2)问得到的神秘数特征对比，特征不符则不是神秘数。
【解析】
(1) 设28是两个连续偶数$x$和$x-2$的平方差，列方程：$x^2 -(x-2)^2=28$，利用平方差公式展开化简得$4x-4=28$，解得$x=8$，则$x-2=6$，即$28=8^2 -6^2$。同理设2028是$y$和$y-2$的平方差，列方程$y^2 -(y-2)^2=2028$，解得$y=508$，$y-2=506$，即$2028=508^2 -506^2$，均符合神秘数定义。
(2) 对两个连续偶数的平方差因式分解：$(2k+2)^2 -(2k)^2=(2k+2-2k)(2k+2+2k)=4(2k+1)$，$k$为非负整数时$2k+1$是正整数，因此结果是4的倍数。
(3) 设两个连续奇数为$2k+1$和$2k-1$，计算平方差得$(2k+1)^2 -(2k-1)^2=8k=4×2k$，可知两个连续奇数的平方差是4的偶数倍，和神秘数是4的奇数倍的特征不符，因此不是神秘数。
【答案】
(1)28和2028都是神秘数,理由如下:设28是$x$和$x-2$两数的平方差得到,则$x^2 -(x-2)^2=28$,解得$x=8$,$\therefore x-2=6$,即$28=8^2 -6^2$,设2028是$y$和$y-2$两数的平方差得到,则$y^2 -(y-2)^2=2028$,解得$y=508$,$y-2=506$,即$2028=508^2 -506^2$,$\therefore 28,2028$都是神秘数
(2)$\because (2k+2)^2 -(2k)^2=(2k+2-2k)(2k+2+2k)=4(2k+1)$,$\therefore$由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数,且是奇数倍
(3)不是.理由如下:设两个连续奇数为$2k+1$和$2k-1$,则$(2k+1)^2 -(2k-1)^2=8k=4×2k$,即两个连续奇数的平方差是4的倍数,且是偶数倍,不满足两个连续偶数构造的神秘数为4的奇数倍这一条件.$\therefore$两个连续奇数的平方差不是神秘数
【知识点】
平方差公式，因式分解应用，新定义理解
【点评】
本题以新定义为载体考查平方差公式的灵活运用，解题核心是紧扣新定义，通过因式分解化简式子后结合整数性质判断，能有效锻炼逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7