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1.(2024·文山期末)下列多项式能用平方差公式分解因式的是（
A.$x^2 + y^2$
B.$-x^2 + y^2$
C.$-x^2 - y^2$
D.$x^2 + 2y^2$
B
）A.$x^2 + y^2$
B.$-x^2 + y^2$
C.$-x^2 - y^2$
D.$x^2 + 2y^2$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断哪个多项式能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：能用平方差公式分解因式的多项式需满足三个特征：①是二项式；②两项都可以写成某个整式的平方的形式；③两项的符号相反（一正一负）。解题时我们对照这三个特征逐个分析选项即可。
【解析】
平方差公式的因式分解形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们逐个分析选项：
A选项：$x^2 + y^2$是二项式，两项都为平方形式，但两项符号均为正，不满足异号要求，不能用平方差公式分解；
B选项：$-x^2 + y^2$可变形为$y^2 - x^2$，是二项式，两项都是平方形式且符号相反，符合平方差公式的结构，可分解为$(y+x)(y-x)$，满足要求；
C选项：$-x^2 - y^2$可变形为$-(x^2 + y^2)$，两项符号均为负，不满足异号要求，不能用平方差公式分解；
D选项：$x^2 + 2y^2$两项符号均为正，且$2y^2$不是整式的平方形式，不能用平方差公式分解。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 多项式结构判断
【点评】
本题是对平方差公式分解因式适用条件的直接考查，属于基础题型，只要熟练掌握平方差公式的结构特征，逐项排查即可快速得出正确结论。
【难度系数】
0.9
要判断哪个多项式能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：能用平方差公式分解因式的多项式需满足三个特征：①是二项式；②两项都可以写成某个整式的平方的形式；③两项的符号相反（一正一负）。解题时我们对照这三个特征逐个分析选项即可。
【解析】
平方差公式的因式分解形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们逐个分析选项：
A选项：$x^2 + y^2$是二项式，两项都为平方形式，但两项符号均为正，不满足异号要求，不能用平方差公式分解；
B选项：$-x^2 + y^2$可变形为$y^2 - x^2$，是二项式，两项都是平方形式且符号相反，符合平方差公式的结构，可分解为$(y+x)(y-x)$，满足要求；
C选项：$-x^2 - y^2$可变形为$-(x^2 + y^2)$，两项符号均为负，不满足异号要求，不能用平方差公式分解；
D选项：$x^2 + 2y^2$两项符号均为正，且$2y^2$不是整式的平方形式，不能用平方差公式分解。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 多项式结构判断
【点评】
本题是对平方差公式分解因式适用条件的直接考查，属于基础题型，只要熟练掌握平方差公式的结构特征，逐项排查即可快速得出正确结论。
【难度系数】
0.9
2.下列因式分解中错误的是 （
A.$a^2 -1=(a+1)(a-1)$
B.$1 -4b^2=(1+4b)(1-4b)$
C.$49a^2 -25b^2=(7a+5b)(7a-5b)$
D.$-9a^2 +b^2=-(3a+b)(3a-b)$
B
）A.$a^2 -1=(a+1)(a-1)$
B.$1 -4b^2=(1+4b)(1-4b)$
C.$49a^2 -25b^2=(7a+5b)(7a-5b)$
D.$-9a^2 +b^2=-(3a+b)(3a-b)$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题的核心是牢记平方差公式的结构特征：两项均为平方项，且符号相反，可分解为两个底数的和与两个底数的差的乘积，即$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$。解题时只需将每个选项的左边变形为平方差的标准形式，对照公式验证分解结果是否正确即可。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，逐个验证选项：
选项A：$a^2 -1 = a^2 - 1^2$，符合平方差结构，分解得$(a+1)(a-1)$，该选项正确。
选项B：$1 -4b^2 = 1^2 - (2b)^2$，按照公式分解应为$(1+2b)(1-2b)$，选项给出的分解结果错误。
选项C：$49a^2 -25b^2 = (7a)^2 - (5b)^2$，符合平方差结构，分解得$(7a+5b)(7a-5b)$，该选项正确。
选项D：$-9a^2 +b^2 = b^2 - (3a)^2 = (b+3a)(b-3a) = -(3a+b)(3a-b)$，变形后符合公式要求，该选项正确。
因此因式分解错误的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别与应用，解题时要注意将二次项的系数一同开平方作为底数，避免出现系数遗漏平方的低级错误。
【难度系数】
0.8
本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题的核心是牢记平方差公式的结构特征：两项均为平方项，且符号相反，可分解为两个底数的和与两个底数的差的乘积，即$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$。解题时只需将每个选项的左边变形为平方差的标准形式，对照公式验证分解结果是否正确即可。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，逐个验证选项：
选项A：$a^2 -1 = a^2 - 1^2$，符合平方差结构，分解得$(a+1)(a-1)$，该选项正确。
选项B：$1 -4b^2 = 1^2 - (2b)^2$，按照公式分解应为$(1+2b)(1-2b)$，选项给出的分解结果错误。
选项C：$49a^2 -25b^2 = (7a)^2 - (5b)^2$，符合平方差结构，分解得$(7a+5b)(7a-5b)$，该选项正确。
选项D：$-9a^2 +b^2 = b^2 - (3a)^2 = (b+3a)(b-3a) = -(3a+b)(3a-b)$，变形后符合公式要求，该选项正确。
因此因式分解错误的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别与应用，解题时要注意将二次项的系数一同开平方作为底数，避免出现系数遗漏平方的低级错误。
【难度系数】
0.8
3.因式分解：
(1)(温州中考)$m^2 - n^2 =$
(2)(菏泽中考)$x^2 -9y^2 =$
(1)(温州中考)$m^2 - n^2 =$
$(m+n)(m-n)$
；(2)(菏泽中考)$x^2 -9y^2 =$
$(x+3y)(x-3y)$
。答案
3.(1)$(m+n)(m-n)$ (2)$(x+3y)(x-3y)$
解析
【分析】
这两道因式分解题均考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先回忆平方差公式的结构特征：两个数的平方相减，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积，即$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。第(1)题属于平方差公式的基础形式，直接对应公式中的a和b即可；第(2)题先将$9y^2$变形为$(3y)^2$，再识别出对应的a和b，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$m$看作$a$，$n$看作$b$，代入得：
$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$
(2) 先将原式变形为平方差的形式：$x^2-9y^2=x^2-(3y)^2$，将$x$看作$a$，$3y$看作$b$，代入平方差公式得：
$x^2-(3y)^2=(x+3y)(x-3y)$
【答案】
(1)$(m+n)(m-n)$；(2)$(x+3y)(x-3y)$
【知识点】
平方差公式；公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题的核心是准确找到式子中对应公式的两个数，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
这两道因式分解题均考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先回忆平方差公式的结构特征：两个数的平方相减，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积，即$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。第(1)题属于平方差公式的基础形式，直接对应公式中的a和b即可；第(2)题先将$9y^2$变形为$(3y)^2$，再识别出对应的a和b，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$m$看作$a$，$n$看作$b$，代入得：
$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$
(2) 先将原式变形为平方差的形式：$x^2-9y^2=x^2-(3y)^2$，将$x$看作$a$，$3y$看作$b$，代入平方差公式得：
$x^2-(3y)^2=(x+3y)(x-3y)$
【答案】
(1)$(m+n)(m-n)$；(2)$(x+3y)(x-3y)$
【知识点】
平方差公式；公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题的核心是准确找到式子中对应公式的两个数，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.(教材 P128 例 1 变式)分解因式：
(1)$m^2n^2 - 4$；
(2)$9x^2 - \frac{1}{4}y^2$；
(3)$25x^2 - 9y^2$；
(4)$(m - 1)^2 - 16$。
(1)$m^2n^2 - 4$；
(2)$9x^2 - \frac{1}{4}y^2$；
(3)$25x^2 - 9y^2$；
(4)$(m - 1)^2 - 16$。
答案
4.(1)原式$=(mn+2)(mn-2)$ (2)原式$=(3x)^2-(\frac{1}{2}y)^2=(3x+\frac{1}{2}y)(3x-\frac{1}{2}y)$ (3)原式$=(5x)^2-(3y)^2=(5x+3y)(5x-3y)$ (4)原式$=[(m-1)+4][(m-1)-4]=(m+3)(m-5)$
解析
【分析】
这组题目均适合用平方差公式分解因式，平方差公式分解因式的形式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，解题思路如下：1. 先判断多项式是否为两项的差的形式，且两项均可写成某个整式的平方；2. 分别确定公式中对应的$a$、$b$，若有整体形式的项，可将其看作一个整体确定$a$或$b$；3. 代入平方差公式展开，最后化简每个因式到不能再分解为止。
【解析】
(1) 观察原式$m^2n^2 - 4$，$m^2n^2=(mn)^2$，$4=2^2$，符合平方差形式，代入公式得：
原式$=(mn+2)(mn-2)$
(2) 观察原式$9x^2 - \frac{1}{4}y^2$，$9x^2=(3x)^2$，$\frac{1}{4}y^2=(\frac{1}{2}y)^2$，先转化为平方差形式再代入公式：
原式$=(3x)^2 - (\frac{1}{2}y)^2=(3x+\frac{1}{2}y)(3x-\frac{1}{2}y)$
(3) 观察原式$25x^2 - 9y^2$，$25x^2=(5x)^2$，$9y^2=(3y)^2$，转化为平方差形式后代入公式：
原式$=(5x)^2 - (3y)^2=(5x+3y)(5x-3y)$
(4) 观察原式$(m - 1)^2 - 16$，将$(m-1)$看作整体，$16=4^2$，先代入平方差公式，再化简括号内的整式：
原式$=[(m-1)+4][(m-1)-4]=(m+3)(m-5)$
【答案】
(1)$(mn+2)(mn-2)$；(2)$(3x+\frac{1}{2}y)(3x-\frac{1}{2}y)$；(3)$(5x+3y)(5x-3y)$；(4)$(m+3)(m-5)$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 整体代换思想
【点评】
本组题目属于因式分解的基础题型，核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确识别两个平方项对应的整式，遇到含括号的整体项时可先整体代入再化简，最终结果要保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.85
这组题目均适合用平方差公式分解因式，平方差公式分解因式的形式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，解题思路如下：1. 先判断多项式是否为两项的差的形式，且两项均可写成某个整式的平方；2. 分别确定公式中对应的$a$、$b$，若有整体形式的项，可将其看作一个整体确定$a$或$b$；3. 代入平方差公式展开，最后化简每个因式到不能再分解为止。
【解析】
(1) 观察原式$m^2n^2 - 4$，$m^2n^2=(mn)^2$，$4=2^2$，符合平方差形式，代入公式得：
原式$=(mn+2)(mn-2)$
(2) 观察原式$9x^2 - \frac{1}{4}y^2$，$9x^2=(3x)^2$，$\frac{1}{4}y^2=(\frac{1}{2}y)^2$，先转化为平方差形式再代入公式：
原式$=(3x)^2 - (\frac{1}{2}y)^2=(3x+\frac{1}{2}y)(3x-\frac{1}{2}y)$
(3) 观察原式$25x^2 - 9y^2$，$25x^2=(5x)^2$，$9y^2=(3y)^2$，转化为平方差形式后代入公式：
原式$=(5x)^2 - (3y)^2=(5x+3y)(5x-3y)$
(4) 观察原式$(m - 1)^2 - 16$，将$(m-1)$看作整体，$16=4^2$，先代入平方差公式，再化简括号内的整式：
原式$=[(m-1)+4][(m-1)-4]=(m+3)(m-5)$
【答案】
(1)$(mn+2)(mn-2)$；(2)$(3x+\frac{1}{2}y)(3x-\frac{1}{2}y)$；(3)$(5x+3y)(5x-3y)$；(4)$(m+3)(m-5)$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 整体代换思想
【点评】
本组题目属于因式分解的基础题型，核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确识别两个平方项对应的整式，遇到含括号的整体项时可先整体代入再化简，最终结果要保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.85
5.(2024·烟台期末)已知$x+2y=13$，$x-2y=3$，则多项式$x^2 -4y^2$的值是（
A.10
B.16
C.39
D.78
C
）A.10
B.16
C.39
D.78
答案
5.C
解析
【分析】
要计算多项式$x^2 -4y^2$的值，首先观察该多项式的结构，它符合平方差公式的形式，因此可先利用平方差公式对其因式分解，分解后发现式子恰好是已知的两个代数式$x+2y$和$x-2y$的乘积，直接将已知数值整体代入即可求出结果，无需单独求解$x$和$y$的取值，能简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式对多项式因式分解：
$x^2 -4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x+2y)(x-2y)$
已知$x+2y=13$，$x-2y=3$，将两个数值代入上式得：
原式$=13×3=39$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.平方差公式因式分解 2.代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，利用平方差公式分解因式后整体代入计算，可避免解方程组的繁琐步骤，大幅提升计算效率。
【难度系数】
0.8
要计算多项式$x^2 -4y^2$的值，首先观察该多项式的结构，它符合平方差公式的形式，因此可先利用平方差公式对其因式分解，分解后发现式子恰好是已知的两个代数式$x+2y$和$x-2y$的乘积，直接将已知数值整体代入即可求出结果，无需单独求解$x$和$y$的取值，能简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式对多项式因式分解：
$x^2 -4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x+2y)(x-2y)$
已知$x+2y=13$，$x-2y=3$，将两个数值代入上式得：
原式$=13×3=39$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.平方差公式因式分解 2.代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，利用平方差公式分解因式后整体代入计算，可避免解方程组的繁琐步骤，大幅提升计算效率。
【难度系数】
0.8
6.(教材P132习题T7变式)对于任意整数$n$，多项式$(4n+5)^2 -9$都能 （
A.被6整除
B.被7整除
C.被8整除
D.被6或8整除
C
）A.被6整除
B.被7整除
C.被8整除
D.被6或8整除
答案
6.C
解析
【分析】
思路1（通法）：观察多项式的结构，是$(4n+5)$的平方减去3的平方，符合平方差公式$a^2-b^2$的形式，因此先利用平方差公式对多项式因式分解，再对分解后的因式提取公因式，观察乘积中含有的固定常数因数，结合n是整数的条件，即可判断多项式能被哪个数整除。
思路2（特殊值验证法）：代入任意整数n计算多项式的值，逐一验证选项，排除错误选项即可得到答案，该方法适合快速解题。
【解析】
解：对多项式$(4n+5)^2 -9$因式分解：
$\begin{aligned}(4n+5)^2 -9&=(4n+5)^2 - 3^2 \\&=(4n+5-3)(4n+5+3) \quad \mathrm{（平方差公式：}a^2-b^2=(a+b)(a-b)\mathrm{）} \\&=(4n+2)(4n+8) \\&=2(2n+1) × 4(n+2) \quad \mathrm{（分别提取两个因式的公因式）} \\&=8(2n+1)(n+2)\end{aligned}$
因为n是整数，所以$2n+1$和$n+2$均为整数，因此$8(2n+1)(n+2)$是8的整数倍，即多项式$(4n+5)^2 -9$能被8整除。
代入特殊值验证：当n=0时，原式$=25-9=16$，16不能被6、7整除，排除A、B、D选项。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解，整除判定
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，正确对多项式分解因式，再结合整数的性质判断整除性，也可通过特殊值法快速排除错误选项，属于基础类题型。
【难度系数】
0.75
思路1（通法）：观察多项式的结构，是$(4n+5)$的平方减去3的平方，符合平方差公式$a^2-b^2$的形式，因此先利用平方差公式对多项式因式分解，再对分解后的因式提取公因式，观察乘积中含有的固定常数因数，结合n是整数的条件，即可判断多项式能被哪个数整除。
思路2（特殊值验证法）：代入任意整数n计算多项式的值，逐一验证选项，排除错误选项即可得到答案，该方法适合快速解题。
【解析】
解：对多项式$(4n+5)^2 -9$因式分解：
$\begin{aligned}(4n+5)^2 -9&=(4n+5)^2 - 3^2 \\&=(4n+5-3)(4n+5+3) \quad \mathrm{（平方差公式：}a^2-b^2=(a+b)(a-b)\mathrm{）} \\&=(4n+2)(4n+8) \\&=2(2n+1) × 4(n+2) \quad \mathrm{（分别提取两个因式的公因式）} \\&=8(2n+1)(n+2)\end{aligned}$
因为n是整数，所以$2n+1$和$n+2$均为整数，因此$8(2n+1)(n+2)$是8的整数倍，即多项式$(4n+5)^2 -9$能被8整除。
代入特殊值验证：当n=0时，原式$=25-9=16$，16不能被6、7整除，排除A、B、D选项。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解，整除判定
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，正确对多项式分解因式，再结合整数的性质判断整除性，也可通过特殊值法快速排除错误选项，属于基础类题型。
【难度系数】
0.75
7.(2024·赫章期中)先观察下列各式:①$3^2 -1^2=4×2$;②$4^2 -2^2=4×3$;③$5^2 -3^2=4×4$;④$6^2 -4^2=4×5$;…则第$n$个等式为 (
A.$n^2-(n-1)^2=4n$
B.$(n+1)^2-n^2=4(n+1)$
C.$(n+2)^2-n^2=4(n+1)$
D.$(n+2)^2-n^2=4(n-1)$
C
)A.$n^2-(n-1)^2=4n$
B.$(n+1)^2-n^2=4(n+1)$
C.$(n+2)^2-n^2=4(n+1)$
D.$(n+2)^2-n^2=4(n-1)$
答案
7.C
解析
【分析】
这是一道等式规律探究题，我们可以从两个方向思考解题：一是直接观察已知等式左右各部分和序号n的对应关系推导第n个等式；二是用代入排除法，将n=1代入各选项排除不符合的，再验证剩余选项。
首先观察已知的4个等式，对应n=1到n=4：
左边第一个底数依次为3、4、5、6，均比对应序号大2，即n+2；第二个底数依次为1、2、3、4，和序号n相等，因此左边可表示为$(n+2)^2 - n^2$。
右边均为4乘一个数，这个数依次为2、3、4、5，均比对应序号大1，即n+1，因此右边可表示为$4(n+1)$。也可以通过平方差公式展开左边验证是否和右边相等，确认规律是否正确。
【解析】
方法一：规律推导法
观察已知等式：
当n=1时，$(1+2)^2 - 1^2 = 4×(1+1)$，即$3^2 -1^2=4×2$，符合①；
当n=2时，$(2+2)^2 - 2^2 = 4×(2+1)$，即$4^2 -2^2=4×3$，符合②；
以此类推，第n个等式的左边为$(n+2)^2 - n^2$，右边为$4(n+1)$，即第n个等式为$(n+2)^2 -n^2=4(n+1)$。
也可利用平方差公式验证：左边=$(n+2 -n)(n+2 +n)=2×(2n+2)=4(n+1)$，和右边相等，规律成立。
方法二：代入排除法
将n=1代入各选项：
A选项：左边$1^2-(1-1)^2=1$，右边$4×1=4$，左右不相等，排除；
B选项：左边$(1+1)^2 -1^2=3$，右边$4×(1+1)=8$，左右不相等，排除；
D选项：右边$4×(1-1)=0$，左边$(1+2)^2 -1^2=8$，左右不相等，排除；
仅C选项符合，代入n=2验证：左边$(2+2)^2 -2^2=12$，右边$4×(2+1)=12$，左右相等，确认C正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 规律探究
2. 平方差公式
3. 代数式化简
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，既可以通过观察式子结构和序号的对应关系推导结论，也可以用代入排除法快速锁定答案，结合平方差公式验证能进一步提高解题的正确率。
【难度系数】
0.7
这是一道等式规律探究题，我们可以从两个方向思考解题：一是直接观察已知等式左右各部分和序号n的对应关系推导第n个等式；二是用代入排除法，将n=1代入各选项排除不符合的，再验证剩余选项。
首先观察已知的4个等式，对应n=1到n=4：
左边第一个底数依次为3、4、5、6，均比对应序号大2，即n+2；第二个底数依次为1、2、3、4，和序号n相等，因此左边可表示为$(n+2)^2 - n^2$。
右边均为4乘一个数，这个数依次为2、3、4、5，均比对应序号大1，即n+1，因此右边可表示为$4(n+1)$。也可以通过平方差公式展开左边验证是否和右边相等，确认规律是否正确。
【解析】
方法一：规律推导法
观察已知等式：
当n=1时，$(1+2)^2 - 1^2 = 4×(1+1)$，即$3^2 -1^2=4×2$，符合①；
当n=2时，$(2+2)^2 - 2^2 = 4×(2+1)$，即$4^2 -2^2=4×3$，符合②；
以此类推，第n个等式的左边为$(n+2)^2 - n^2$，右边为$4(n+1)$，即第n个等式为$(n+2)^2 -n^2=4(n+1)$。
也可利用平方差公式验证：左边=$(n+2 -n)(n+2 +n)=2×(2n+2)=4(n+1)$，和右边相等，规律成立。
方法二：代入排除法
将n=1代入各选项：
A选项：左边$1^2-(1-1)^2=1$，右边$4×1=4$，左右不相等，排除；
B选项：左边$(1+1)^2 -1^2=3$，右边$4×(1+1)=8$，左右不相等，排除；
D选项：右边$4×(1-1)=0$，左边$(1+2)^2 -1^2=8$，左右不相等，排除；
仅C选项符合，代入n=2验证：左边$(2+2)^2 -2^2=12$，右边$4×(2+1)=12$，左右相等，确认C正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 规律探究
2. 平方差公式
3. 代数式化简
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，既可以通过观察式子结构和序号的对应关系推导结论，也可以用代入排除法快速锁定答案，结合平方差公式验证能进一步提高解题的正确率。
【难度系数】
0.7
8.用平方差公式计算：$\frac{10000}{252^2 - 248^2}$
答案
8.原式$=\frac{10000}{(252+248)(252-248)}=\frac{10000}{500×4}=5$
解析
【分析】
观察算式可知，分母为$252^2 - 248^2$，恰好符合平方差公式$a^2-b^2$的结构特征，因此可先利用平方差公式对分母进行因式分解，将其转化为两个数的和与差的乘积，避免计算较大数的平方，简化运算过程，最后计算除法即可得到结果。
【解析】
先利用平方差公式分解分母：
$252^2 - 248^2=(252+248)(252-248)$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{10000}{(252+248)(252-248)}\\&=\frac{10000}{500×4}\\&=\frac{10000}{2000}\\&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
平方差公式分解因式；有理数简便运算
【点评】
本题考查平方差公式在运算中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用因式分解能有效简化计算，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.85
观察算式可知，分母为$252^2 - 248^2$，恰好符合平方差公式$a^2-b^2$的结构特征，因此可先利用平方差公式对分母进行因式分解，将其转化为两个数的和与差的乘积，避免计算较大数的平方，简化运算过程，最后计算除法即可得到结果。
【解析】
先利用平方差公式分解分母：
$252^2 - 248^2=(252+248)(252-248)$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{10000}{(252+248)(252-248)}\\&=\frac{10000}{500×4}\\&=\frac{10000}{2000}\\&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
平方差公式分解因式；有理数简便运算
【点评】
本题考查平方差公式在运算中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用因式分解能有效简化计算，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.85
9.若$a-b=2$.求$a^2 - b^2 - 4b$的值.
答案
9.$\because a-b=2,\therefore a^2-b^2-4b=(a+b)(a-b)-4b=2(a+b)-4b=2a-2b=2(a-b)=4$
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，发现其中的$a^2-b^2$符合平方差公式的形式，因此优先用平方差公式对其因式分解，再将已知条件$a-b=2$整体代入化简，逐步整理代数式，最终将代数式转化为仅含$(a-b)$的形式，再次整体代入即可求出结果，无需单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
$\because a-b=2$
$\therefore a^2-b^2-4b$
$=(a+b)(a-b)-4b$
$=2(a+b)-4b$
$=2a+2b-4b$
$=2a-2b$
$=2(a-b)$
$=2×2=4$
【答案】
$4$
【知识点】
平方差公式因式分解、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是灵活运用平方差公式对代数式变形，通过整体代入的思路简化计算，避免了单独求未知数的繁琐，是因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构，发现其中的$a^2-b^2$符合平方差公式的形式，因此优先用平方差公式对其因式分解，再将已知条件$a-b=2$整体代入化简，逐步整理代数式，最终将代数式转化为仅含$(a-b)$的形式，再次整体代入即可求出结果，无需单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
$\because a-b=2$
$\therefore a^2-b^2-4b$
$=(a+b)(a-b)-4b$
$=2(a+b)-4b$
$=2a+2b-4b$
$=2a-2b$
$=2(a-b)$
$=2×2=4$
【答案】
$4$
【知识点】
平方差公式因式分解、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是灵活运用平方差公式对代数式变形，通过整体代入的思路简化计算，避免了单独求未知数的繁琐，是因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
10. $4x^2 - (y - z)^2$的一个因式是 （
A.$2x - y - z$
B.$4x - y + z$
C.$2x + y + z$
D.$2x + y - z$
D
）A.$2x - y - z$
B.$4x - y + z$
C.$2x + y + z$
D.$2x + y - z$
答案
10.D
解析
【分析】
观察待分解的式子，发现4x²可转化为(2x)²，原式符合“两个数的平方差”的结构，因此可以用平方差公式分解因式。首先明确平方差公式a² - b²=(a+b)(a-b)中的a、b分别对应2x和(y-z)，代入公式分解后化简，再和选项对照即可找到正确的因式。
【解析】
我们利用平方差公式进行因式分解，平方差公式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
第一步：将原式变形为平方差的形式：
$4x^2 - (y-z)^2 = (2x)^2 - (y-z)^2$
此处对应公式中$a=2x$，$b=y-z$。
第二步：代入平方差公式分解：
$=(2x + (y-z))(2x - (y-z))$
第三步：去括号化简两个因式：
$=(2x + y - z)(2x - y + z)$
对比选项，$2x + y - z$是原式的一个因式，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解、去括号法则
【点评】
本题考查平方差公式的应用，解题的核心是准确判断式子的结构特征，正确对应平方差公式中的a和b，分解后去括号时要注意符号，避免因符号错误选错答案。
【难度系数】
0.8
观察待分解的式子，发现4x²可转化为(2x)²，原式符合“两个数的平方差”的结构，因此可以用平方差公式分解因式。首先明确平方差公式a² - b²=(a+b)(a-b)中的a、b分别对应2x和(y-z)，代入公式分解后化简，再和选项对照即可找到正确的因式。
【解析】
我们利用平方差公式进行因式分解，平方差公式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
第一步：将原式变形为平方差的形式：
$4x^2 - (y-z)^2 = (2x)^2 - (y-z)^2$
此处对应公式中$a=2x$，$b=y-z$。
第二步：代入平方差公式分解：
$=(2x + (y-z))(2x - (y-z))$
第三步：去括号化简两个因式：
$=(2x + y - z)(2x - y + z)$
对比选项，$2x + y - z$是原式的一个因式，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解、去括号法则
【点评】
本题考查平方差公式的应用，解题的核心是准确判断式子的结构特征，正确对应平方差公式中的a和b，分解后去括号时要注意符号，避免因符号错误选错答案。
【难度系数】
0.8
