1. 如图,二次函数$y_1 = x^2 + bx + c$的图象与x轴交于点A,B(3,0),与y轴交于点C(0,-3).

【基础设问】
(1)该二次函数的表达式为.
(2)该二次函数图象的顶点坐标为.
(3)当y随x的增大而增大时,x的取值范围为.
(4)抛物线$y_1 = x^2 + bx + c$先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的新抛物线的函数表达式为.
【能力设问】
(5)连接AC,则AC所在直线的函数表达式为$y_2 =$,$y_1 ＞ y_2$时,x的取值范围是.
(6)如图,将抛物线$y_1 = x^2 + bx + c$位于x轴下方的部分沿x轴向上翻折,抛物线的其余部分不变,翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象,若直线$y = n$与这个新图象至少有3个交点,则n的取值范围是.
【拓展设问】
(7)若点D为线段BC上一动点,过点D作y轴的平行线,与抛物线交于点E,当线段DE的长度最大时,求点E的坐标及$△ BCE$的面积.

1 解:(1)$y_1 = x^2 - 2x - 3$
将$B(3,0),C(0,-3)$分别代入$y_1 = x^2 + bx + c$,
得$\begin{cases}0 = 9 + 3b + c,\\-3 = c,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b = -2,\\c = -3.\end{cases}$ $\therefore$ 该二次函数的表达式为$y_1 = x^2 - 2x - 3$.
(2) $(1,-4)$
$\because y_1 = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$,$\therefore$ 该二次函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$.
(3) $x≥1$
$\because$ 二次函数$y_1 = x^2 - 2x - 3$的图象开口向上,对称轴为直线$x=1$,$\therefore$ 在直线$x=1$的右侧,$y$随$x$的增大而增大,$\therefore$ 当$y$随$x$的增大而增大时,$x$的取值范围是$x≥1$.
(4) $y=(x-2)^2 -2$ 由(2)知,抛物线$y_1 = x^2 + bx + c$的顶点坐标为$(1,-4)$,$\therefore$ 平移后新抛物线的顶点坐标为$(1+1,-4+2)$,即$(2,-2)$,$\therefore$ 得到的新抛物线的函数表达式为$y=(x-2)^2 -2$.
(5) $-3x-3$ $x ＜ -1$或$x ＞ 0$
设$AC$所在直线的函数表达式为$y_2 = kx + b'$,由点$C(0,-3)$,易得$b'=-3$,易知点$A(-1,0)$,$\therefore 0 = -k -3$,解得$k=-3$.
$\therefore y_2 = -3x -3$. 由题图可知,当$y_1 ＞ y_2$时,即二次函数的图象在直线$AC$的上方,$x$的取值范围为$x ＜ -1$或$x ＞ 0$.
(6) $0 ＜ n ≤4$ 由(2)知抛物线$y_1$的顶点坐标为$(1,-4)$,沿$x$轴翻折后的对应点的坐标为$(1,4)$,结合题图可知,当$n=0$时,直线$y=n$与新图象有2个交点;当$0 ＜ n ＜ 4$时,直线$y=n$与新图象有4个交点;当$n=4$时,直线$y=n$与新图象有3个交点;当$n＞4$时,直线$y=n$与新图象有2个交点. 故当$0 ＜ n ≤4$时,直线$y=n$与这个新图象至少有3个交点.
(7)易得直线$BC$的函数表达式为$y = x - 3$.
设$D(m,m-3)$,其中$0 ＜ m ＜ 3$,则$E(m,m^2 - 2m -3)$.
$\therefore DE = m - 3 - (m^2 - 2m - 3) = -m^2 + 3m = -(m-\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$.
$\because -1 ＜ 0$,$0 ＜ m ＜ 3$,$\therefore$ 当$m=\frac{3}{2}$时,$DE$有最大值$\frac{9}{4}$,
此时点$E$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$.
$\therefore S_{△ BCE} = S_{△ DCE} + S_{△ DBE} = \frac{1}{2}DE · (x_B - x_C) = \frac{1}{2} × \frac{9}{4} × (3-0) = \frac{27}{8}$.

2. 如图，一次函数$y_1 = ax + b$与反比例函数$y_2 = \frac{k}{x}$的图象相交于$A(2,8)$，$B(8,2)$两点，连接$AO$，$BO$，延长$AO$交反比例函数图象于点$C$。

【基础设问】
(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为。
(2)若过点$C$作$CD ⊥ x$轴于点$D$，则$S_{△ COD} =$。
(3)当$4 ≤ x ≤ 9$时，函数$y_1$的最小值为$m$，函数$y_2$的最大值为$n$，则$n^m =$。
【能力设问】
(4)当$y_1 ＜ y_2$时，自变量$x$的取值范围为。
(5)将一次函数$y_1 = ax + b$的图象向下平移$m$个单位长度，平移后的函数图象与反比例函数的图象在第一象限内只有一个交点，求$m$的值。
(6)若点$P$是$x$轴上一点，当$S_{△ PAC} = \frac{4}{5}S_{△ AOB}$时，请求出点$P$的坐标。

2 解:(1)$y_1 = -x + 10$ $y_2 = \frac{16}{x}$ 将$A(2,8)$,$B(8,2)$代入$y_1 = ax + b$,得$\begin{cases}2a + b = 8,\\8a + b = 2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=10,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为$y_1 = -x + 10$. 将$A(2,8)$代入$y_2 = \frac{k}{x}$,得$k=2×8=16$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y_2 = \frac{16}{x}$.
(2)8 由反比例函数中$k$的几何意义,得$S_{△ COD} = \frac{1}{2}|k| = \frac{1}{2}×16=8$.
(3)4 由题图易知,当$4≤x≤9$时,函数$y_1$,$y_2$都随着$x$的增大而减小,易得$m=1$,$n=4$,$\therefore n^m=4$.
(4)$x＞8$或$0＜x＜2$
(5)将一次函数$y_1 = -x + 10$的图象向下平移$m$个单位长度后对应直线的表达式为$y_3 = -x + 10 - m$,$\because$ 函数$y_3$与$y_2$的图象在第一象限内只有一个交点,$\therefore 10 - m ＞ 0$,即$m ＜ 10$,
令$-x + 10 - m = \frac{16}{x}$,整理得$x^2 + (m - 10)x + 16 = 0$,
易知该方程有两个相等的实数根,
$\therefore \Delta = (m - 10)^2 - 4×16 = 0$,解得$m=18$(舍去)或$m=2$.
(6)设直线$AB$与$x$轴交于点$E$.
令$y_1=0$,则$0 = -x + 10$,解得$x=10$,$\therefore E(10,0)$.
$\therefore S_{△ AOB} = S_{△ AOE} - S_{△ BOE} = \frac{1}{2}×10×8 - \frac{1}{2}×10×2 = 30$,
$\therefore S_{△ PAC} = \frac{4}{5}S_{△ AOB} = \frac{4}{5}×30 = 24$.
由题意可知$OA=OC$,$\therefore S_{△ PAC} = 2S_{△ AOP}$,
$\therefore 2S_{△ AOP} = 2×\frac{1}{2}OP · y_A = 24$,
即$2×\frac{1}{2}OP × 8 = 24$,解得$OP=3$.
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(3,0)$或$(-3,0)$.