1. 若二次函数$y = ax^2 + bx + a^2 - 2$（$a,b$为常数）的图象如所示，则$a$的值为。

1. $-\sqrt{2}$ 因为二次函数图象开口向下,所以$a＜0$. 因为二次函数图象经过坐标原点$(0,0)$,所以$a^2 - 2 = 0$,解得$a_1 = \sqrt{2}$(舍去),$a_2 = -\sqrt{2}$.

2. 已知点$A(a,y_1)$，$B(a+1,y_2)$在反比例函数$y=\frac{m^2 +1}{x}$（$m$是常数）的图象上，且$y_1 ＜ y_2$，则$a$的取值范围是。

2. $-1 ＜ a ＜ 0$ $\because m^2 +1 ＞0,\therefore$ 反比例函数$y=\frac{m^2 +1}{x}$的图象位于第一、三象限,且在每个象限内,$y$随$x$的增大而减小. 易知$a ＜ a+1$,故根据$y_1 ＜ y_2$可知点$A$在第三象限,点$B$在第一象限,故$\begin{cases} a ＜ 0, \\ a + 1 ＞ 0, \end{cases}$ 解得$-1 ＜ a ＜ 0$.

3. 若二次函数 $ y = mx^2 + 4x + m - 1 $ 的最小值是2，则m的值是。

3. 4 依题意,得$\begin{cases} \frac{4m(m - 1) - 4^2}{4m} = 2, \\ m ＞ 0, \end{cases}$ $\therefore m = 4$.

4. 已知函数$y = mx^2 + 3mx + m - 1$的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数$m$的值为。

4. 1或$-\frac{4}{5}$ 当$m=0$时,原函数为$y=-1$,不符合题意. 当$m≠0$时,原函数为二次函数. 函数$y=mx^2 + 3mx + m - 1$的图象与坐标轴恰有两个公共点,分两种情况:①函数图象过坐标原点,则$m-1=0$,此时$m=1$;②函数图象与$x$轴,$y$轴各有一个公共点,则$\Delta=0$,且$m≠0$,即$(3m)^2 -4m(m - 1) = 0$,且$m≠0$,解得$m=0$(舍去)或$m=-\frac{4}{5}$. 综上,$m$的值为1或$-\frac{4}{5}$.

5. 已知抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+(6-\sqrt{m^2})x+m-3$与x轴有两个交点A,B,且点A,B关于y轴对称,则此抛物线的函数表达式为.

5. $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$ 因为点$A$与点$B$关于$y$轴对称,所以抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 + (6 - \sqrt{m^2})x + m - 3$的对称轴为$y$轴,即直线$x = -\frac{6 - \sqrt{m^2}}{2×(-\frac{1}{2})}=0$,解得$m=6$或$m=-6$. 当$m=6$时,抛物线的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$,此时一元二次方程$-\frac{1}{2}x^2 + 3 = 0$的根的判别式$\Delta=0^2 -4×(-\frac{1}{2})×3=6＞0$,方程$-\frac{1}{2}x^2 + 3 = 0$有两个不相等的实数根,所以抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 + 3$与$x$轴有两个交点,符合题意;当$m=-6$时,抛物线的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x^2 -9$,此时一元二次方程$-\frac{1}{2}x^2 -9 = 0$的根的判别式$\Delta=0^2 -4×(-\frac{1}{2})×(-9)=-18＜0$,方程$-\frac{1}{2}x^2 -9 = 0$没有实数根,所以抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 -9$与$x$轴无交点,不符合题意,舍去. 所以所求抛物线的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$.

6. [2024广州中考]如图,平面直角坐标系$xOy$中,矩形$OABC$的顶点$B$在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$A(1,0),C(0,2)$.将线段$AB$沿$x$轴正方向平移得线段$A'B'$(点$A$平移后的对应点为$A'$),$A'B'$交函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象于点$D$,过点$D$作$DE ⊥ y$轴于点$E$,则下列结论:①$k=2$；
②$△ OBD$的面积等于四边形$ABDA'$的面积；
③$A'E$的最小值是$\sqrt{2}$；④$∠ B'BD = ∠ BB'O$.其中正确的结论有.(填写序号)

6. ①②④ 逐项分析如下,故结论①②④正确.
|序号|分析|正误|
| ---- | ---- | ---- |
|①|由题意知,点$B$的坐标为$(1,2). \because$ 点$B$在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore k=1×2=2$.|√|
|②|易知$S_{△ AOB}=S_{△ A'OD},\therefore S_{△ OBD}=S_{四边形OBDA'}-S_{△ A'OD}=S_{四边形OBDA'}-S_{△ AOB}=S_{四边形ABDA'}$.|√|
|③|易知四边形$OA'DE$是矩形,$\therefore A'E=OD$.易知当点$D$在直线$y=x$上时,$OD$最短,即$A'E$最短. 令$\frac{2}{x}=x$,得$2=x^2,\therefore x=\sqrt{2}$(负值舍去),$\therefore$ 此时点$D$的坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2}),\therefore OD=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=2,\therefore A'E$的最小值为2.|×|
|④|如图,连接$A'C,A'B,CD$. 易知$S_{△ A'BC}=S_{△ OBC}=S_{△ AOB}=S_{△ A'OD}=S_{△ A'DC},\therefore BD// CA'$(点拨:结合同底等高的两个三角形面积相等可得高相等,进而得到平行),$\therefore ∠ B'BD = ∠ B'CA'$. 易知四边形$B'COA'$是矩形,$\therefore ∠ B'CA' = ∠ CB'O,\therefore ∠ B'BD = ∠ BB'O$.|√|

7. 如图,已知抛物线$y = ax^2 + bx + 4(a≠0)$与x轴交于点$A(1,0)$和B,与y轴交于点C,对称轴为直线$x=\frac{5}{2}$.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,连接OQ,当线段PQ的长度最大时,判断四边形OCPQ的形状,并说明理由.
(3)如图2,在(2)的条件下,D是OC的中点,过点Q的直线与抛物线交于点E,且$∠DQE=2∠ODQ$.在y轴上是否存在点F,使得$△BEF$为等腰三角形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

7. 解题思路:(1)根据抛物线的对称轴和点$A$的坐标,运用待定系数法列方程组求解即可;(2)设点$P$的横坐标为$t$,根据直线$BC$和抛物线的函数表达式,用含$t$的式子表示出$PQ$的长,从而确定其最大值,根据$PQ$取最大值时与$OC$的关系判断四边形$OCPQ$的形状;(3)根据轴对称的性质求出直线$QE$的函数表达式,再联立抛物线的函数表达式,求出点$E$的坐标;因等腰三角形的腰不确定,故需分类讨论.
解:(1)根据题意,得$\begin{cases} a + b + 4 = 0, \\ -\frac{b}{2a} = \frac{5}{2}, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = 1, \\ b = -5. \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的函数表达式为$y = x^2 -5x + 4$.
(2)当线段$PQ$的长度最大时,四边形$OCPQ$是平行四边形. 理由如下:
易得$B(4,0),C(0,4)$,
$\therefore OC=4$,直线$BC$的函数表达式为$y = -x + 4$.
$\because$ 点$P$在线段$BC$上,$\therefore$ 可设$P(t,-t+4)(0＜t＜4)$.
$\because PQ// y$轴,$\therefore Q(t,t^2 -5t +4)(0＜t＜4)$,
$\therefore PQ = (-t +4) - (t^2 -5t +4) = -t^2 +4t = -(t-2)^2 +4$.
$\because -1＜0,\therefore$ 当$t=2$时,$PQ$取最大值4. $\therefore OC=PQ$.
又$\because OC// PQ$,
$\therefore$ 当线段$PQ$的长度最大时,四边形$OCPQ$是平行四边形.
(3)在$y$轴上存在点$F$,使得$△ BEF$为等腰三角形.
$\because C(0,4)$,$D$是$OC$的中点,$\therefore D(0,2)$.
如图,由(2)可得,$Q(2,-2)$,$P(2,2)$.
$\because PQ// OC,\therefore ∠ ODQ = ∠ PQD$.
又$\because ∠ DQE = 2∠ ODQ,\therefore ∠ PQD = ∠ PQE$.
设点$D(0,2)$关于$PQ$的对称点为$M$,则$M(4,2)$.
易知直线$QE$过点$M(4,2)$和$Q(2,-2)$,
$\therefore$ 直线$QE$的函数表达式为$y=2x-6$.
由点$E$是直线$QE$与抛物线$y=x^2 -5x +4$的交点,可得$E(5,4)$.
假设$y$轴上存在点$F(0,m)$使$△ BEF$为等腰三角形.
①若$BF=EF$,则$BF^2=EF^2$,$\therefore 4^2 + m^2 =5^2 + (4 - m)^2$.
解得$m=\frac{25}{8}. \therefore F(0,\frac{25}{8})$.
②若$BF=BE$,则$BF^2=BE^2$,$\therefore 4^2 + m^2 = (5-4)^2 +4^2$.
解得$m=\pm1. \therefore F(0,1)$或$F(0,-1)$.
③若$EF=BE$,则$EF^2=BE^2$,
$\therefore 5^2 + (4 - m)^2 = (5-4)^2 +4^2$,化简,得$m^2 -8m +24=0$.
$\because \Delta=(-8)^2 -4×1×24=-32＜0$,
$\therefore$ 方程无实数解,故在$y$轴上不存在点$F$,使$EF=BE$.
综上所述,在$y$轴上存在点$F$,使得$△ BEF$为等腰三角形,点$F$的坐标为$(0,\frac{25}{8})$,$(0,1)$或$(0,-1)$.