6. ▶一题多解 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且$OP=1$，设$M=ac(a+b+c)$，则M的取值范围为（）


A.$M ＜ -1$
B.$-1 ＜ M ＜ 0$
C.$M ＜ 0$
D.$M ＞ 0$

6 D 通解 由函数图象可知,当$x=1$时,$y=a+b+c＜0$. 对于$y=ax^2+bx+c$,令$y=0$,则$ax^2+bx+c=0$,设该一元二次方程的两根分别为$x_1,x_2$,由图象可得,$x_1x_2=\frac{c}{a}＜0$(根与系数之间的关系),所以$ac＜0$,所以$ac(a+b+c)＞0$,即$M＞0$.
另解 因为抛物线开口向下,所以$a＜0$. 因为抛物线与$y$轴的交点在正半轴上,所以$c＞0$. 由函数图象可知,当$x=1$时,函数值为负,即$a+b+c＜0$,所以$M=ac(a+b+c)＞0$.

7. [2025烟台中考] 如图,二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间,顶点P的坐标为(1,n).下列结论:① $ abc ＜ 0 $;②对于任意实数m,都有 $ am^2 + bm - a - b ≥ 0 $;③ $ 3b ＜ 2c $;④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B,且△PAB是等边三角形,则 $ n = -\frac{3}{a} $.其中所有正确结论的序号是 ()


A.①②
B.①③
C.①④
D.①③④

7 D 逐个分析如下.
|结论|分析|正误|
| ---- | ---- | ---- |
|①|$\because$ 抛物线开口向下,$\therefore a＜0$. 又$\because -\frac{b}{2a}=1$,$\therefore b＞0$. $\because$ 抛物线与$y$轴交于正半轴,$\therefore c＞0$,$\therefore abc＜0$.|$\surd$|
|②|对于$y=ax^2+bx+c$,当$x=1$时,$y_{\mathrm{最大值}}=a+b+c$,$\therefore$ 对于任意实数$m$,都有$am^2+bm+c≤ a+b+c$,$\therefore am^2+bm -a -b≤0$.|$×$|
|③|观察函数图象,当$x=-1$时,$y=a-b+c＞0$①.$\because -\frac{b}{2a}=1$,$\therefore a=-\frac{b}{2}$②,将②代入①,得$-\frac{b}{2}-b+c＞0$,整理得$3b＜2c$.|$\surd$|
|④|易得$A(1-\frac{\sqrt{3}}{3}n,0)$,$B(1+\frac{\sqrt{3}}{3}n,0)$(点拨:利用三角函数求得). 根据根与系数的关系可得$(1-\frac{\sqrt{3}}{3}n)(1+\frac{\sqrt{3}}{3}n)=\frac{c}{a}$①. $\because$ 抛物线的顶点坐标为$(1,n)$,$\therefore a+b+c=n$②,将$b=-2a$代入②,整理得$c=n+a$③,将③代入①,整理得$1-\frac{n^2}{3}=\frac{n}{a}+1$,$\therefore n=-\frac{3}{a}$.|$\surd$|

8. [2026 池州贵池区期末] 二次函数 $y = ax^2 + bx + c(a ＞ 0)$ 的大致图象如所示，顶点坐标为 $(-2, -9a)$，下列结论：① $a + c ＜ b$；②经过 $M(-c, b - 4a)$，$N(a - b + c, b^2 - 4ac)$ 两点的直线一定不经过第三象限；③若方程 $ax^2 + bx + c = -1$ 有两个根 $x_1, x_2$，且 $x_1 ＜ x_2$，则一定满足 $-5 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ 1$；④若方程 $|ax^2 + bx + c| = m$ 有四个根，则这四个根的和为 $-4$。其中正确的结论是（）

A.①②③
B.①③
C.①③④
D.②④

8 A 由题图可得,当$x=-1$时,$y＜0$,$\therefore a-b+c＜0$,$\therefore a+c＜b$,故①正确. $\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的图象的顶点坐标为$(-2,-9a)$,$\therefore -\frac{b}{2a}=-2$,$\frac{4ac-b^2}{4a}=-9a$,$\therefore b=4a$,$c=-5a$,$\therefore y=ax^2+4ax-5a$. $\because a＞0$,$\therefore -c=5a＞0$,$b-4a=0$,$a-b+c=a-4a-5a=-8a＜0$,$b^2-4ac=16a^2+20a^2=36a^2＞0$,$\therefore$ 点$M$在$x$轴正半轴,点$N$在第二象限,$\therefore$ 经过$M(-c,b-4a)$,$N(a-b+c,b^2-4ac)$两点的直线一定不经过第三象限,故②正确. 对于$y=ax^2+4ax-5a$,令$y=0$,则$ax^2+4ax-5a=0$,$\therefore x=-5$或$x=1$,$\therefore$ 抛物线交$x$轴于点$(-5,0)$,$(1,0)$,$\therefore$ 若方程$a(x+5)(x-1)=-1$有两个根$x_1,x_2$,且$x_1＜x_2$,则$-5＜x_1＜x_2＜1$,故③正确. 若方程$|ax^2+bx+c|=m$有四个根,则$0＜m＜9a$. 设方程$ax^2+bx+c=m$的两根分别为$x_1,x_2$,则$\frac{x_1+x_2}{2}=-2$,$\therefore x_1+x_2=-4$;设方程$ax^2+bx+c=-m$的两根分别为$x_3,x_4$,则$\frac{x_3+x_4}{2}=-2$,$\therefore x_3+x_4=-4$,$\therefore$ 这四个根的和为$-8$,故④错误. 综上,正确的结论是①②③.

9. 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从点A出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是 ()

9 B 当点$P$在$AB$上移动时,$0＜x≤3$,点$D$到直线$PA$的距离$y=4$;当点$P$在$BC$上移动时,$3＜x≤5$,$\because S_{△ APD}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$,$\therefore \frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}×3×4$,$\therefore xy=12$,即$y=\frac{12}{x}$. 观察图象知,选项B符合题意.

10. 如图，$△ ABC$和$△ DEF$都是边长为2的等边三角形，它们的边$BC$，$EF$在同一条直线$l$上，点$C$，$E$重合。现将$△ ABC$沿着直线$l$向右移动，直至点$B$与$F$重合时停止移动。在此过程中，设点$C$移动的距离为$x$，两个三角形重叠部分的面积为$y$，则$y$随$x$变化的函数图象大致为（）

10 A 当$0＜x＜2$时,,设$AC,DE$相交于点$G$,易知$△ CEG$是等边三角形,$\therefore y=S_{△ CEG}=\frac{1}{2}x·\frac{\sqrt{3}x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$,该段函数图象为抛物线,其开口向上,对称轴为$y$轴;当$2＜x＜4$时,,设$AB,DF$相交于点$H$,$BF=4-x$,易知$△ BFH$是等边三角形,$\therefore y=S_{△ BFH}=\frac{1}{2}(4-x)·\frac{\sqrt{3}(4-x)}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}(x-4)^2$,该段函数图象为抛物线,其开口向上,对称轴为直线$x=4$. 特殊地,当$x=2$时,$△ ABC$与$△ DEF$完全重合,$y$的值最大,为$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$;当$x=0$或$4$时,$y=0$.
提分大招
对于该题,只需判断出当$0＜x＜2$时,$y$与$x$之间的函数关系式,即可排除选项B,C,D.