1. [2025西藏中考]一个三角形花坛的面积是6 m²，它的一边a(单位:m)是这边上的高h(单位:m)的函数，则此函数的图象大致为 ()

1 B 由题意可知$\frac{1}{2}ah=6$,故$a=\frac{12}{h}$,且$h＞0$,结合选项知B正确.

2. [2024 包头中考]将抛物线 $y=x^2 + 2x$ 向下平移2个单位长度后,所得新抛物线的顶点式为 ()

A.$y=(x+1)^2 -3$
B.$y=(x+1)^2 -2$
C.$y=(x-1)^2 -3$
D.$y=(x-1)^2 -2$

2 A 将抛物线 $y=x^2 + 2x$ 向下平移2个单位长度后,得到的新抛物线为$y=x^2 + 2x - 2 = (x+1)^2 - 3$.

3. [2025甘肃中考]如图,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM.喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的直角坐标系,水流喷出的高度$y$(m)与水平距离$x$(m)之间的关系式是$y = -x^2 + 2x + \frac{7}{4}(x≥0)$,则水流喷出的最大高度是 ()

A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m

3 B $\because y = -x^2 + 2x + \frac{7}{4} = -(x-1)^2 + 2.75$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(1,2.75)$,$\therefore$ 水流喷出的最大高度是2.75 m.

4. ▶一题多解 [2025镇江中考]已知点$A(-1,y_1)$，$B(a,y_2)$在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，若$y_2 ＞ y_1$，则$a$的取值范围是（）

A.$a ＜ -1$或$a ＞ 0$
B.$-1 ＜ a ＜ 0$
C.$a ＞ 0$
D.$a ＜ -1$

4 A 通解 $\because 1＞0$,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象位于第一、三象限,$\therefore$ 点A位于第三象限. 分情况讨论:当$a＞0$,即点B在第一象限时,满足$y_2＞y_1$;当$a＜0$时,$\because$ 当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小,$y_2＞y_1$,$\therefore a ＜ -1$. 综上所述,$a$的取值范围是$a ＜ -1$或$a ＞ 0$.
另解 将A,B两点的横坐标分别代入函数表达式,得$y_1=\frac{1}{-1}=-1$,$y_2=\frac{1}{a}$,$\because y_2＞y_1$,$\therefore \frac{1}{a} ＞ -1$. 当$a＞0$时,解得$a＞-1$,$\therefore a＞0$;当$a＜0$时,解得$a ＜ -1$. 综上所述,$a$的取值范围是$a ＜ -1$或$a ＞ 0$.

5. [2025安徽中考]已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象如图所示，则（）

A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b - c ＜0$
D.$a - b + c ＜0$

5 C 根据抛物线的开口方向和对称轴位置可知,$a＞0$,$b＜0$(口诀:左同右异);根据抛物线与$y$轴交于负半轴可知,$c＜0$,$\therefore abc＞0$,故选项A错误. 设抛物线与$x$轴负半轴的交点坐标为$(m,0)$,则对称轴为直线$x=\frac{m+2}{2}$.$\because -1 ＜ m ＜ 0$,$\therefore \frac{1}{2} ＜ \frac{m+2}{2} ＜ 1$,即$\frac{1}{2} ＜ -\frac{b}{2a} ＜ 1$(关键点:根据抛物线与x轴交点的坐标,判断$-\frac{b}{2a}$的取值范围),由此可得$a ＜ -b ＜ 2a$,$\therefore a + b ＜ 0$①,$2a + b ＞ 0$,故选项B错误. 根据函数图象可知当$x=-1$时,$y＞0$,$\therefore a - b + c ＞ 0$,故选项D错误. 由$a - b + c ＞ 0$,得$-a + b - c ＜ 0$②. ① + ②,得$2b - c ＜ 0$,故选项C正确. 故选C.

6. [2024辽宁中考]如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2 + bx + 3$与x轴相交于点A,B，点B的坐标为$(3,0)$，若点C$(2,3)$在抛物线上，则AB的长为。

6 4 $\because$ 抛物线$y=ax^2 + bx + 3$过点$B(3,0)$,$C(2,3)$,$\therefore \begin{cases}9a + 3b + 3 = 0,\\4a + 2b + 3 = 3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2.\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-x^2 + 2x + 3$.$\therefore$ 抛物线的对称轴是直线$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$.$\because$ 抛物线与$x$轴的一交点为$B(3,0)$,$\therefore$ 抛物线与$x$轴的另一交点为$A(-1,0)$,$\therefore AB=3 - (-1)=4$.

7. ▶一题多解 [2023安徽中考]如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2，∠AOB=30°，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象经过斜边OB的中点C.
(1)$k=$；
(2)D为该反比例函数图象上的一点，若$DB// AC$，则$OB^2 - BD^2$的值为.

7 (1)$\sqrt{3}$;(2)4 (1)在Rt△AOB中,$∠ AOB=30°$,$AB=2$,则$OB=4$,$OA=2\sqrt{3}$,$\therefore B(2\sqrt{3},2)$.$\because C$是$OB$的中点,$\therefore C(\sqrt{3},1)$,$\therefore k=\sqrt{3}$.
(2)通解 由(1)可知$A(2\sqrt{3},0)$,结合$C(\sqrt{3},1)$,利用待定系数法可得直线AC的函数表达式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$.$\because DB// AC$,$AB=2$,$\therefore$ 直线BD可看成是直线AC向上平移2个单位长度得到的,$\therefore$ 直线BD的函数表达式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x + 4$. 联立直线BD与反比例函数的表达式,得$-\frac{\sqrt{3}}{3}x + 4 = \frac{\sqrt{3}}{x}$,整理得$x^2 - 4\sqrt{3}x + 3 = 0$,解得$x_1=2\sqrt{3}+3$,$x_2=2\sqrt{3}-3$(舍去),$\therefore D(2\sqrt{3}+3,2-\sqrt{3})$,$\therefore BD^2=(2\sqrt{3}+3-2\sqrt{3})^2 + (2-\sqrt{3}-2)^2=9+3=12$,$\therefore OB^2 - BD^2=16-12=4$.
另解 设$D(m,\frac{\sqrt{3}}{m})$. 如图,过点D作AB的垂线,垂足为点F,则$DF=m-2\sqrt{3}$,$BF=2-\frac{\sqrt{3}}{m}$. 由$BD// AC$,易得$∠ BDF=30°$,$\therefore DF=\sqrt{3}BF$,$\therefore m-2\sqrt{3}=\sqrt{3}(2-\frac{\sqrt{3}}{m})$,整理,得$m^2 - 4\sqrt{3}m + 3=0$,解得$m_1=2\sqrt{3}+3$,$m_2=2\sqrt{3}-3$(舍去),$\therefore BF=2-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+3}=\sqrt{3}$,$\therefore BD=2BF=2\sqrt{3}$,$\therefore BD^2=12$.$\therefore OB^2 - BD^2=16-12=4$.

8. [2025安徽中考]已知抛物线 $ y = ax^2 + bx \ (a ≠ 0) $ 经过点(4,0).
(1)求该抛物线的对称轴.
(2)点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $ 分别在抛物线 $ y = ax^2 + bx $ 和 $ y = x^2 - 2x $ 上(A,B与原点都不重合).
(ⅰ)若 $ a = \frac{1}{2} $，且 $ x_1 = x_2 $，比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小；
(ⅱ)当 $ \frac{y_2}{y_1} = \frac{x_2}{x_1} $ 时，若 $ \frac{x_2}{x_1} $ 是一个与 $ x_1 $ 无关的定值，求 $ a $ 与 $ b $ 的值.

8 解:(1)由题意,得$16a + 4b = 0$,所以$b=-4a$,所以$-\frac{b}{2a}=2$,故该抛物线的对称轴是直线$x=2$.
(2)(ⅰ)由$a=\frac{1}{2}$,得$b=-4×\frac{1}{2}=-2$,所以抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2 - 2x$.
因为$x_1=x_2$,
所以$y_2 - y_1=(x_2^2 - 2x_2) - (\frac{1}{2}x_1^2 - 2x_1)=(x_1^2 - 2x_1) - (\frac{1}{2}x_1^2 - 2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$(点拨:代入比较法).
因为点A与原点不重合,
所以$x_1≠0$,
所以$\frac{1}{2}x_1^2＞0$,所以$y_2＞y_1$.
(ⅱ)由题意知,$y_1=ax_1^2 - 4ax_1$,$y_2=x_2^2 - 2x_2$.
因为$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$,所以$\frac{x_2^2 - 2x_2}{a(x_1^2 - 4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$.
因为点A,B与原点都不重合,
所以$x_1≠0$,$x_2≠0$,
所以$\frac{x_2 - 2}{a(x_1 - 4)}=1$,所以$x_2=a(x_1 - 4)+2$,
所以$\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1 - 4)+2}{x_1}=a + \frac{2 - 4a}{x_1}$.
依题意知,$a + \frac{2 - 4a}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值,
不妨将$x_1=1$和$x_1=2$分别代入$a + \frac{2 - 4a}{x_1}$,可得$2 - 3a=1 - a$,解得$a=\frac{1}{2}$.
经检验,当$a=\frac{1}{2}$时,$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$,是一个与$x_1$无关的定值,符合题意,所以$a=\frac{1}{2}$,$b=-4a=-2$.
一题多解
计算得到$\frac{x_2}{x_1}=a + \frac{2 - 4a}{x_1}$后,也可以利用以下思路求$a$的值:
依题意知,$a + \frac{2 - 4a}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值,可得$2 - 4a=0$,解得$a=\frac{1}{2}$. 故$b=-4a=-2$.