1. 下列三角形中，不是等腰三角形的是（）

1. A

【分析】
要判断哪个三角形不是等腰三角形，首先明确等腰三角形的判定依据：①有两个内角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；②有两条边长度相等的三角形是等腰三角形。解题时先利用三角形内角和为180°，分别计算A、B、C三个三角形的未知内角度数，判断是否存在相等的角，再观察D选项的边长是否有相等的两条边，逐一排查即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 选项A：根据三角形内角和为180°，第三个角的度数为$180° - 50° - 35° = 95°$，三个内角分别为$50°、35°、95°$，没有相等的角，也没有相等的边，因此不是等腰三角形。
2. 选项B：第三个角的度数为$180° - 90° - 45° = 45°$，存在两个$45°$的相等内角，根据等角对等边，属于等腰三角形。
3. 选项C：第三个角的度数为$180° - 100° - 40° = 40°$，存在两个$40°$的相等内角，根据等角对等边，属于等腰三角形。
4. 选项D：三角形有两条边的长度均为5，两条边相等，因此属于等腰三角形。
综上，不是等腰三角形的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查等腰三角形的两种判定方法，只要熟练掌握三角形内角和定理和等腰三角形的判定规则，就能快速得出正确结论。
【难度系数】
0.8

2. 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）

A.∠A:∠B:∠C=1:1:3
B.BC:AC:AB=2:2:3
C.∠B=50°,∠C=80°
D.2∠A=∠B+∠C

2. D

【分析】
要判断哪个条件不能判定△ABC是等腰三角形，首先明确等腰三角形的两个判定依据：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个内角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。解题时逐个分析每个选项，结合三角形内角和定理，判断是否能推出三角形有两条边相等或者两个内角相等，找不到相等的边或角的选项即为答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 已知∠A:∠B:∠C=1:1:3，设∠A=x，∠B=x，∠C=3x，根据三角形内角和为180°，可得x+x+3x=180°，解得x=36°，即∠A=∠B=36°，有两个角相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意。
B. 已知BC:AC:AB=2:2:3，可得BC=AC，有两条边相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意。
C. 已知∠B=50°，∠C=80°，则∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°，即∠A=∠B=50°，有两个角相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意。
D. 已知2∠A=∠B+∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，将∠B+∠C替换为2∠A，可得∠A+2∠A=180°，解得∠A=60°，仅能得到∠B+∠C=120°，无法确定∠B和∠C是否相等，也无法确定是否有两条边相等，因此不能判定△ABC是等腰三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定设置，需要结合三角形内角和定理对每个选项逐一验证，解题时需注意要判定等腰三角形，必须明确存在两个相等的内角或者两条相等的边，仅得到单个内角的度数无法直接判定。
【难度系数】
0.8

3. 如图，已知$△ ABC$，有下列四组条件：①$AB=AC$；②$∠ B=56°$，$∠ BAC=68°$；③$AD ⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$；④$AD ⊥ BC$，$AD$是$BC$边上的中线. 其中，能判定$△ ABC$是等腰三角形的条件有.(填序号)

3. ①②③④

【分析】
要判断给定条件能否判定△ABC是等腰三角形，首先明确等腰三角形的核心判定依据：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个内角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。我们可以逐个分析4组条件，结合已知性质、定理推导是否满足上述判定依据即可。
【解析】
我们对四组条件逐一分析：
1. 条件①：已知$AB=AC$，直接满足“两边相等的三角形是等腰三角形”的判定，因此①可以判定$△ ABC$是等腰三角形。
2. 条件②：已知$∠ B=56°$，$∠ BAC=68°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ C=180°-∠ B-∠ BAC=180°-56°-68°=56°$，即$∠ B=∠ C$，根据等角对等边可得$AB=AC$，因此②可以判定$△ ABC$是等腰三角形。
3. 条件③：已知$AD⊥ BC$，故$∠ ADB=∠ ADC=90°$；$AD$平分$∠ BAC$，故$∠ BAD=∠ CAD$。又$AD$是公共边，可证$△ ABD≌△ ACD(\mathrm{ASA})$，因此$AB=AC$，故③可以判定$△ ABC$是等腰三角形。
4. 条件④：已知$AD⊥ BC$，故$∠ ADB=∠ ADC=90°$；$AD$是$BC$边上的中线，故$BD=CD$。又$AD$是公共边，可证$△ ABD≌△ ACD(\mathrm{SAS})$，因此$AB=AC$，故④可以判定$△ ABC$是等腰三角形。
综上，4组条件都能判定$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
①②③④
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定设置，考查了学生对基础判定定理的掌握和应用能力，解题时只需逐一验证条件是否符合等腰三角形的判定要求即可，注重对基础的考查。
【难度系数】
0.8

4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为$△ ABC$内一点，$∠ ABD=∠ ACD$。
求证：$△ DBC$是等腰三角形。

4. 证明：$\because AB=AC, \therefore ∠ABC=∠ACB. \because ∠ABD=∠ACD, \therefore ∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD,$即$∠DBC=∠DCB. \therefore BD=CD. \therefore △DBC$是等腰三角形.

【分析】
要证明△DBC是等腰三角形，可通过证明该三角形有两个内角相等，进而得到两条边相等来推导。首先从已知条件AB=AC出发，利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠ABC=∠ACB；再结合题目给出的∠ABD=∠ACD，通过角的差运算就能推出∠DBC=∠DCB；最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，得到BD=CD，即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$（等腰三角形两底角相等）。
$\because ∠ ABD=∠ ACD$，
$\therefore ∠ ABC-∠ ABD=∠ ACB-∠ ACD$，
即$∠ DBC=∠ DCB$。
$\therefore BD=CD$（等角对等边），
$\therefore △ DBC$是等腰三角形。
【答案】
$△ DBC$是等腰三角形，证明过程如上。
【知识点】
等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查等腰三角形性质和判定的综合应用，解题的关键是通过角的等量代换得到待证三角形的两个底角相等，熟练掌握相关定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8

5.如图，在$△ ABC$中，D是BA延长线上的一点，$AE// BC$，AE平分$∠ DAC$。求证：$△ ABC$是等腰三角形。

5. 证明：$\because AE// BC, \therefore ∠DAE=∠B, ∠EAC=∠C. \because AE$平分$∠DAC, \therefore ∠DAE=∠EAC. \therefore ∠B=∠C. \therefore AB=AC. \therefore △ABC$是等腰三角形.

【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的判定规则，只需证明△ABC的两个内角∠B=∠C即可。首先结合已知AE//BC的条件，可利用平行线的性质得到∠B和∠DAE、∠C和∠EAC的相等关系；再结合AE平分∠DAC的条件，能得到∠DAE=∠EAC，通过等量代换即可推出∠B=∠C，进而完成证明。
【解析】
证明：$\because AE// BC$，
$\therefore ∠DAE=∠B$（两直线平行，同位角相等），$∠EAC=∠C$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AE$平分$∠DAC$，
$\therefore ∠DAE=∠EAC$（角平分线的定义）。
$\therefore ∠B=∠C$（等量代换）。
$\therefore AB=AC$（等角对等边）。
$\therefore △ABC$是等腰三角形。
【答案】
证明：$\because AE// BC, \therefore ∠DAE=∠B, ∠EAC=∠C. \because AE$平分$∠DAC, \therefore ∠DAE=∠EAC. \therefore ∠B=∠C. \therefore AB=AC. \therefore △ABC$是等腰三角形.
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础证明题，综合考查了平行线性质、角平分线定义和等腰三角形判定的应用，解题核心是通过角的等量代换得到三角形两个内角相等，熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

6.根据下列条件，不能得到等边三角形的是 （）

A.有两个角是$60°$的三角形
B.有一个角是$60°$的等腰三角形
C.有两个角相等的等腰三角形
D.腰长和底边长相等的等腰三角形

6. C

【分析】
这道题考查等边三角形的判定，解题时先回忆等边三角形的判定定理：①三边相等的三角形是等边三角形；②三个内角都相等的三角形是等边三角形；③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。再结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理，逐一分析每个选项是否满足等边三角形的判定条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形内角和为180°，若两个角是60°，则第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个角都为60°，符合“三个角都相等的三角形是等边三角形”，能得到等边三角形，不符合题意；
B. 该选项是等边三角形的判定定理之一，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，能得到等边三角形，不符合题意；
C. 等腰三角形本身就有两个底角相等，若这两个相等的角不是60°，比如等腰三角形顶角为90°，两个底角均为45°，此时是等腰直角三角形，不是等边三角形，因此不能必然得到等边三角形，符合题意；
D. 等腰三角形两腰长度相等，若腰长和底边长相等，则三角形三边长度都相等，符合“三边相等的三角形是等边三角形”，能得到等边三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.等边三角形的判定 2.三角形内角和定理 3.等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础概念题，核心是区分普通等腰三角形和等边三角形的判定条件，解题的关键是熟练掌握等边三角形的三类判定方法，不要混淆等腰三角形的固有性质和等边三角形的特殊判定要求。
【难度系数】
0.8

7.如图，∠AON=60°,OA=5,P为射线ON上的一个动点.当OP的长为时,△AOP为等边三角形.

7. 5

【分析】
要解决这个问题，我们可以从等边三角形的判定定理入手思考：已知∠AOP=∠AON=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，只需让△AOP为等腰三角形即可判定它是等边三角形。已知OA=5，因此只需让OP与OA相等，就满足两边相等且夹角为60°的条件，即可得到等边三角形，进而求出OP的长度，也可以直接利用等边三角形三边相等的性质推导。
【解析】
解：已知∠AON=60°，即△AOP中∠AOP=60°。
根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
当OP=OA时，△AOP满足等腰三角形且有一个内角为60°，因此△AOP为等边三角形。
∵OA=5，
∴OP=OA=5。
【答案】
5
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查等边三角形的判定和性质的应用，掌握相关定理是解题的核心。
【难度系数】
0.9

8.(教材P145例1变式)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AB,交BC于点D,AE⊥AC,交BC于点E.
求证:△ADE是等边三角形.

8. 证明：$\because AB=AC, ∠BAC=120°, \therefore ∠B=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=30°. \because AD⊥AB, AE⊥AC, \therefore ∠BAD=∠CAE=90°. \therefore ∠ADB=∠AEC=60°. \therefore ∠EAD=180°-∠ADB-∠AEC=60°. \therefore ∠ADE=∠AED=∠EAD. \therefore △ADE$是等边三角形.

【分析】
要证明△ADE是等边三角形，可通过证明其三个内角均为60°的思路推导：首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和，求出△ABC的底角∠B、∠C的度数；再结合AD⊥AB、AE⊥AC的垂直条件，计算出∠ADB、∠AEC的度数，二者恰好是△ADE的两个内角；最后利用三角形内角和求出∠EAD的度数，验证三个内角均为60°即可完成判定。
【解析】
证明：$\because AB=AC, ∠BAC=120°, \therefore ∠B=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=30°. \because AD⊥AB, AE⊥AC, \therefore ∠BAD=∠CAE=90°. \therefore ∠ADB=∠AEC=60°. \therefore ∠EAD=180°-∠ADB-∠AEC=60°. \therefore ∠ADE=∠AED=∠EAD. \therefore △ADE$是等边三角形.
【答案】
$\because AB=AC, ∠BAC=120°, \therefore ∠B=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=30°. \because AD⊥AB, AE⊥AC, \therefore ∠BAD=∠CAE=90°. \therefore ∠ADB=∠AEC=60°. \therefore ∠EAD=180°-∠ADB-∠AEC=60°. \therefore ∠ADE=∠AED=∠EAD. \therefore △ADE$是等边三角形.
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形判定的基础综合题，核心是通过已知角度条件逐步推导待证三角形的内角度数，梳理清角与角之间的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.75